2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第37讲　空间直角坐标系与空间向量

第七章第37讲空间直角坐标系与空间向量立体几何知识整合·体系建构1．(教材经典题改编)已知点M在z轴上，且点M到点A(1,0,2)与到点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标是

(

)A．(0,0,3)

B．(0,0,2)C．(0,0，－2)

D．(0,0，－3)【解析】D【解析】B4．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝______．【解析】l∥α或l⊂α【解析】101．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得__________．(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：___________，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_________________，{a，b，c}叫做空间中的___________．a＝λbp＝xa＋ybp＝xa＋yb＋zc一个基底2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝03．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝04．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：题型突破·思维拓展目标1空间向量的线性运算及共线、共面定理下列说法正确的是

(

)1－1A．①②

B．②③C．①③

D．①②③【解析】【答案】C【解答】1－2(2)判断点M是否在平面ABC内．【解答】1－2应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较目标2空间向量数量积的运算及应用如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．(1)求AC1的长；2【解答】如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．(2)求证：AC1⊥BD；2【解答】如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．(3)求BD1与AC夹角的余弦值．2【解答】空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．变式2

(教材经典题)如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则BC′与CA′所成角的余弦值为_____．【解析】0目标3利用空间向量证明平行与垂直问题已知四面体SABC中，E，F，G，H，M，N分别是对应棱的中点，且EF＝GH＝MN．求证：SA⊥BC，SB⊥AC，SC⊥AB．

【解答】3－1

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥

AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，G是EF的中点．(1)求证：AG⊥平面ABCD．

【解答】

因为AE＝AF，G是EF的中点，所以AG⊥EF．又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．由平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AG⊂平面ADEF，可得AG⊥平面ABCD．3－2

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥

AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，G是EF的中点．【解答】

由(1)得AG⊥平面ABCD，因为AD，AB⊂平面ABCD，所以AG⊥AD，AG⊥AB．又四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG，AD，AB两两垂直．3－2线、面位置关系的证明(1)基底法证线面垂直：选取合适的基底，直接用数量积判断线线的垂直关系，进而得到线面垂直；(2)法向量法证平行和垂直：关键是建立恰当的坐标系并准确写出点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素．1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2，AA1＝2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，则BC1与CA1所成角的余弦值为

(

)【解析】【答案】B2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成角为30°．(1)求证：CM∥平面PAD；【解答】

由题意知CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成角为30°．(2)求证：平面PAB⊥平面PAD．【解答】配套精练【解析】A．－8

B．－4 C．－2

D．8A2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关系正确的是 (

)A．AD⊥B1C

B．A1D⊥BD C．AC1⊥A1C

D．AC1⊥CD1【解析】【答案】D【解析】C4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，设BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为

(

)【解析】A二、多项选择题5．(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，则 (

)A．AD⊥A1C

B．B1C1⊥平面AA1DC．AD∥A1B1

D．CC1∥平面AA1D【解析】图(1)对于B，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥B1C1，因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC，故AD⊥B1C1，又AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面AA1D，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；对于D，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1∥AA1，又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确；对于C，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB＝A矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故C错误．图(1)图(2)图(2)【答案】BD【解析】【答案】AD【解析】图(1)图(2)图(2)图(4)【答案】ABD三、填空题【解析】－1【解析】2【解析】四、解答题【解答】

如图(1)，连接BC1，BA1，则B1C，BC1互相平分，而D为CB1的中点，故D为BC1的中点．又E为A1C1的中点，所以DE∥BA1，又DE⊄平面ABB1A1，BA1⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1．(1)若D，E分别是CB1，A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1；图(1)

【解答】(2)若DE⊥CB1，DE⊥A1C1，求DE的长．图(2)12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别为线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12，点H在线段DB1上，DH∶HB1＝1∶2．(1)求线段PQ的长度；【解答】12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别为线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12，点H在线段D