三角形的内心与旁心讲稿.doc

【几何十讲】三角形的五心-A（角分线心）内心与旁心 陶平生三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置从赛题统计方面来看，其中又以角分线心的问题最为突出，必须熟悉其基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用本讲座介绍内心与旁心问题的内心为，而边外的旁心分别为；分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交外接圆于，交于，显然，三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直，并且有、；、；、；、；、；、；（称为对称比定理）、，（俗称“鸡爪”定理）（注意，中最后一等式仅当外角分线与边有交点时使用）例、中，是的平分线，点分别在上，满足，分别是的中点；证明： 证：如图，延长到，使，在上取点，使，则，取的中点，则也是的中点，据中位线可知，则，因此共线，因，所以，例、是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点；证明：分别是的内心与旁心证一：如图，连，由，则圆心在上，设直径交于，并简记的三内角为，由，所以，得，且，故，而，注意，所以，因此，同理得，故与重合，即圆心在上，而，所以平分；同理得平分，即是的内心，是的旁心证二：如图，因为，故的外接圆圆心在上，连，则由为内心知， 则，于是四点共圆，所以，又 因，则，于是点在上，即为与的交点设与交于另一点，而由知，分别为的中点，所以因此，点分别为的内心与旁心例、如图，四边形中，自对角线的交点，作于，线段交于，交于，是线段上的任意一点.证明：点到线段的距离等于到线段、的距离之和.证：易知，四边形共圆，共圆，因此，.即平分；又由共圆，得，即平分.设于，于，于，过点作，交于，交于；过点作，交于，交于；再作于于，则由平行线及角平分线的性质得，.为证，只要证 .由平行线的比例性质得，因此 ，由于与的对应边平行，且平分，故是的平分线.从而 ，即所证结论成立.例、如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形证：由于点皆在的中垂线上，设直线交于，交于，则是的中点，是的中点; 因是的内心，故共线，且.又 是的中垂线，则，而为的内、外角平分线，故有，则为的直径，所以，又因，则. 作于，则有，且，所以，故得 ，因此，是的中位线，从而 ，而，则.故为直角三角形证二：记，因是的中垂线，则，由条件 延长交于，并记，则，对圆内接四边形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中点，而为外心，所以，故为直角三角形例、如图，四边形内接于，而与外切于点，且都内切于，若对角线分别是、的内、外公切线；证明：点是的内心证：先证引理：若内切于，的弦切于，延长交于，则是的中点，且如图，作两圆的公切线，因是的切线，则，而，所以，即是的中点，又由:，得到回到本题，设，分别切于，切于，据引理知直线过的中点，则，而，所以，故在，的根轴上，即在内公切线上，所以与重合，即是的中点，故平分；又由，得，于是 ，即，而，所以，因此平分，从而是的内心例、如图，是所在平面上的一点，设点关于该三角形的三条内角平分线的对称点为；证明：三线共点证：如图，是所在平面上的一点，设点关于该三角形的三条内角平分线的对称点为；证明：三线共点证明：设，只要证三点共线连，用记号表示三角形的面积，即要证，由于关于角分线对称，则 ，因 ，于是 由于关于角分线对称，则 故，于是 ，因此, 因 ，则，因此由得， 由于关于角分线对称，则 ，所以，又由，得，因此 据，立得 ，因此所证的结论成立例、（年全国高中数学联赛）内接于, 自作的切线, 又以为圆心,为半径作交直线于，交直线于；则四边形的四条边所在直线分别通过的内心及三个旁心. 以下，我们仍按情况给出图形和解答（其实在所有情形下结论都成立）证明:、如图,设的平分线交于，因，则点关于直线对称，又因在上, 则，因此共圆, 由于为的切线，则，又由，所以，因此为的内心. 、据条件知，为矩形,设角平分线交直线于，连，由(1)知, 点关于直线对称，故，则为的外角平分线，因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，由，则共圆. ，故共线, 因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，连，因 故共圆.所以共线, 即是的外角平分线, 因此为边外的旁心例、中，是角平分线上的任一点，分别是延长线上的点，且，；若分别是的中点；证明：证二：，所以证一：如图，延长，分别与交于，注意关于顶点的等高性及等角性，由面积比定理，（记号表示面积），所以 又由，得 ，所以 ，由、得，即 （注：式也可这样得到：，所以）取的中点，据中位线知，,由，作角分线，则，因，所以其角分线，因，得例、如图，内切圆切于，设是的直径，若交于；证明：证：过作，点分别在上；设的半径为，连，由于分别平分一对互补角，所以，且，则，；同理，则，所以，则 ；又由，得，所以 ，据得，所以，即，由此得，即，也就是例、（年东南赛）已知、分别是的外接圆和内切圆；证明：过上的任意一点，都可作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆证：如图，设，分别是的外接圆和内切圆半径，延长交于，则，延长交于；则，即；过分别作的切线，在上，连，则平分，只要证，也与相切；设，则是的中点，连，则，所以，由于在角的平分线上，因此点是的内心，（这是由于，而，所以，点是的内心）即弦与相切例、是内的一点，若，证明： 证：在的延长线上分别取点，使，设是的旁心，连，则，得，故，因此，平分，故也是的旁心；又由，即平分；设点到直线的距离为，则以为圆心，为半径的圆与都相切；设切点分别为，则 ，又， 则 由此四式得, 例、如图，分别是的外心与内心，是边上的高，在线段上；求证：的外接圆半径等于边上的旁切圆半径（年全国高中数学联赛）证：如图，设为旁心，交于，交于，则是的中点，连，则，作于，则，所以；而由角平分线的对称比定理，则，又由角平分线性质，所以，即的外接圆半径等于边上的旁切圆半径例、（年中国数学奥林匹克试题）设锐角的三边长互不相等，为其外心，点在线段的延长线上，使得，过点分别作，垂足分别为，作，垂足为，记的外接圆半径为，类似地可得；求证：证：首先，易知四点共圆；事实上，作的外接圆，设它与直线的交点异于点，据等角对等弦得，又，故关于直线（即）对称，得，矛盾若，由，得共圆，又由，得，所以，于是；而由，得 ，且，于是，故，所以，因此是的垂心，故的外接圆半径与的外接圆半径相等，都为；（注）今考虑，设角分线交于，因在角分线上，且，则为的内心，又由，则是的旁心，因此由角平分线的对称比定理，即，故得，因此，；据对称性，若设，则有；注意在中，所以，即有（注）、这里用到三角形的一个性质：若非直角的垂心为，则与具有相等的外接圆.例、设与的边分别切于点，又与的外接圆相切于点；证明：线段过的内心（曼海因定理）证：如图，自点引切线，设分别交于，则，而，所以，于是为的中点，则为的平分线；同理，是的平分线的交点即为的内心以下证三点共线连，据“鸡爪”定理，又由，得，因此，所以，所以，；同理可得，；于是，所以，故三点共线且知是的中点（因，而是角的平分线）例、中，是内心，是的中点，角的平分线交三角形的外接圆于，是关于的对称点（设点在圆内），延长交外接圆于；证明：三线段中，必有一线段是其余两线段的和证：连，作，（其中在上，在上），则， 而，则共圆于是 ，由此；由“鸡爪”定理， ，注意是中点，有 ，则 由，；因此式成为例、中，于，分别是与的内心，直线交于，交于，若；证明：为直角 证：如图，设交于，交于，交于，据截， ，截， ，由角分线定理，有，据条件，因此由得，于是，由此，中，中，注意到，因此，因此，与相等或互补如果与相等，则，这时由得到，与条件矛盾！故只有与互补，因此四点共圆，所以 例、等腰梯形中，分别是的内心，是直线上的一点，的外接圆交的延长线于；证明： （美国-第届）证：，故共圆，则，因此，而，所以，由此，证二、（基本量法）设分别交于，改记，由角平分线性质得，；，于是 ， 相乘得，而，又由相交弦，则，于是，因此，所以例、如图，四边形内接于圆，的内心依次为；证明：是矩形证：由于是的内心，则据内心性质，有，是的内心，因，所以，于是共圆，因此；同理，；所以；于是；同理可得，因此四边形是矩形例、三角形中，是的中点，分别是边上的点，且的外接 圆 交 线 段于若点满足：证明：证明：在圆中，由于弦故圆周角，因此，与分别共圆，于是 设点在边上的射影分别为，则，故由 得，设的内心为 今证四点共圆：连 因分别共圆，则，又由， 所以因此而所以因为故得，因此四点共圆，于是延长交的外接圆于则为该外接圆的直径, 于是且因此, 点O是所在圆的圆心, 从而为的切线. 延长交于T, 则,所以 , 又由,得, 因故 . 延长到,使，则为平行四边形, . 由 得 . 由 、得 所以，, 即.例、（第届）如图，两个半径不相等的圆与交于两点，两点分别在上，且线段以为中点；延长交于点，延长交于点；设线段的中垂线分别为；证明：、与相交；、若与的交点为，则三条线段能构成一个直角三角形证：如图，连，则，、设是与的外接圆的交点，因，所以，于是（即）为的平分线，且是的中点，而（否则，若，则，并由此得到与的外接圆是等圆，与条件矛盾），因此的中点不在角平分线上，且是的中垂线，即为；所以是与的交点（以下改记为），即与相交；（且据上述知，共圆）、若的内心为，则，所以共圆，其圆心为，（因据鸡爪定理，即在以为圆心的圆周上，而在上，所以），记半径为，据圆幂定理，在中，；又在圆中，所以，据此得，但，因此，即，三条线段能构成一个直角三角形例、如图，在锐角中，的平分线与边交于，点分别在边上，使得四点共圆；证明：的外心与的内心重合的充分必要条件是 （第届试题）证：设的内心为，内切圆半径为，的外心为；必要性，如果的外心与的内心重合，因，则，所以与的三边皆相交，得三条等弦（因内心到三弦距离相等），记，据圆幂定理，即有，由此，所以，于是充分性，若，记与分别为的内心与旁心（边之外），则；在上取点，使，则，于是