线性代数 卢刚版(高教第二版）课后答案第四章B组题.doc

第四章矩阵的特征值和特征向量习 题 四 (B)1、判断下述结论是否正确 （1）实数域上的n阶矩阵一定有n个特征向量； 解 ： 错 。n阶矩阵的特征多项式在实数域上不一定有n个根。（2）与有相同的特征值和特征向量； 解 ： 错。 若与有相同的特征值和特征向量，设是的属于的特征向量（则 ， ， =，而只有当是对称矩阵时才有=。（3） 若是的一个特征值，则齐次线性方程组的非零解就是的属于的特征向量； 解： 错。 齐次线性方程组的基础解系的线性组合才是的属于的特征向量（4）的一个特征向量； 解： 错。 若的一个特征向量，则 , ， , 与题设矛盾。（5）若不是的一个特征值，则可逆。解： 对。 若不可逆 则det=0与若不是的特征值矛盾。2、 设=，求的对应于其特征值的特征子空间的基。解： 矩阵的特征多项式为： det（=。由det（可得的特征值 ，对于=1，解齐次线性方程组（）X=0，可得方程组的一个基础解系 ，对于，解齐次线性方程组（）X=0，可得方程组的一个基础解系 3、 设=，求的特征值为1，2，3。试求x的值。解： 矩阵的特征多项式为：det（= 又的特征值为1，2，3时， det（=0 由此解得x=4 。4、 已知的一个特征向量。试确定a, b值和a所对应的特征值，并判断是否可对角化？ 解： 的一个特征向量， ， 即， 解此线性方程组可得。 则矩阵的特征多项式为 。 由det（可得的特征值， 对于=，解齐次线性方程组（）X=0，可得方程组的一个基础解系 。 对应于=的线性无关的特征向量只有一个， 不能对角化。5、 已知三阶矩阵的特征值为-1，1，2，矩阵。试求的特征值和det。 解： ， =（）（）， =（）（）， =（）（）， 又的特征值为， det（）=det（）（）=0， det（）=det（）（）=0， det（）=det（）（）=0，的特征值为1，1，2，的特征值为2，4，10，det=（2）。6、 试证：1） 果为奇数阶正交矩阵，且det=1，则1是的一个特征值。 证明：由为奇数阶正交矩阵，知，且ATA。 detdetdetAdet(AT- E )=detdet=det(A - E)=, 又因为A为奇数阶矩阵。所以det。即： =0, 1是A的一个特征值。2） 果为n阶正交矩阵，且det=，则是的一个特征值。 证明： 由为n阶正交矩阵，知，且ATA。detdetdetdet=， 即， 是的一个特征值。7、 判断下述结论是否正确，并简述理由。（1）如果，则存在对角矩阵，使，都相似于；解： 错。 由不能得出存在对角矩阵，使A，B都相似于，由 不能 得出都能对角化，因此也不能保证，都相似于。（2） 如果，则有相同的特征值和特征向量； 解： 错。 若，则有相同的特征值，但未必有相同的特征向量，设的属于的特征向量为（，由于，则存在可逆矩阵P，使得A=PB，于是PB，即B 由此可知矩阵B的属于的特征向量为 。（3）如果AB，则对任意的常数，有；解：错 。若，则，而由不能得出（4）如果，则对任意的常数，有。解： 对。 由于，则存在可逆矩阵P，使得 ， ， P（， P（， ， 如果，则对任意的常数，有。8、 设n阶矩阵A=（1）求A的特征值和特征向量；（2）A是否可以对角化？若可以，试求出可逆矩阵P，使为对角矩阵。解：（1）A的特征多项式为 det= =， 由det（可得A的特征值，。 对于=0，解齐次线性方程组（0EA）X=0，可得方程组的一个基础解系 对于=na，解齐次线性方程组（naEA）X=0，可得方程组的一个基础解系。（2）A可以对角化。 令P=（ 即 P=时， 则为对角矩阵。9、 设向量，都是非零向量，且满足条件，记n阶矩阵A=，求（1）及其特征值； 解：=， 。 而 A= A， A2的特征多项式为det（EA2）=， 由此可得A2的特征值为=0（n重）。（2）利用（1）的结论，求A的特征值和特征向量；解：设为A的特征值，为与之应的A的特征向量，即A=x， 由于，因此，又，=0，A的全部特征值为0。由题设知不妨设解方程（）X=0 由=，得到同解方程组 。 令分别取 ， ， ， 则 于是得到A的属于特征值的全部特征向量为 ，为不全等于零的任意常数。（3）是否可以对角化 解： ， A不能对角化。10、 A为三阶矩阵，A的特征值为1，3，5。试求行列式det（的值，其中 解： detA=，对应的特征值为。而矩阵， det（=13。11、 设矩阵AB，其中 A （1）求的值； 解：矩阵A的特征多项式为 ， 又 矩阵AB A，B有相同的特征值。 A的特征值为2，2，b， 时，det（， 由此解得 。（2）求可逆矩阵P，使。 解： 由（1）知：A的特征值为2，2，6， 对于，解齐次线性方程组（2EA）X=0，可得 方程组的一个基础解系为。对于=6，解齐次线性方程组（6EA）X=0，可得方 程组的一个基础解系。 令 P= ， 则。12、设矩阵A=，已知A的一个特征值为3， （1）求y的值；（2）求矩阵P。使为对角矩阵；解 （1） 3为A的一个特征值， ， y=2。（2）， 。 要使 A=， 则 由。 对于，解齐次线性方程组（）=0可得方程组的一个基础解系为，将向量组正交化单位化得。对于，解齐次线性方程组（）=0，可得 方程组的一个基础解系。 将单位化得。 令= ， 则。13、 设为同阶矩阵。（1） 如果可逆，证明与相似； 证明：。 ， 与相似。（2） 如果不可逆，试问 与是否相似？证明你的结论。证明：相似。用反证法。设AB与BA不相似，则对任意的可逆矩阵P，都有P1ABPBA，上式两边取行列式，得det(P1ABP) det(BA),即det(AB) det(BA)，矛盾，所以假设不成立，于是AB与BA相似。14、如果实对称矩阵的特征值的绝对值均为1，证明是正交矩阵。证明：设的属于的特征向量为，则 =。 = ，即，又=， 。 又 ， ，又 ， ， 是正交矩阵。15 设是两个实对称矩阵，试证：存在正交矩阵，使的充分必要条件是有相同的特征值。证明：充分性；设实对称矩阵有相同的特征值，则 存在正交矩阵使得 ， ， 于是，又存在，所以有：即：（其中。 必要性：设有，即，相似，从而有相同的特征值。 综合上面的证明知：命题成立。16、 设A为n阶实对称矩阵，且试证：存在正交矩阵， 使。证明： 设的属于的特征向量为，则 = 。 又 = =， =0或1 。 又由于为n阶实对称矩阵，故存在正交矩阵。17、设