【志鸿全优设计】高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质目标导学 新人教A版选修11.doc

2.3.2抛物线的简单几何性质问题导学一、求抛物线的标准方程及其几何性质活动与探究1过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦，称为抛物线的通径求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径的长为8的抛物线的标准方程，并指出它的焦点坐标和准线方程迁移与应用1抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，且抛物线上的横坐标为5的点到焦点的距离是6，则此抛物线的方程为()ay22xby24xcy22xdy24x或y236x2已知抛物线的方程为yax2(a0)，求该抛物线的焦点坐标和准线方程(1)抛物线y22px(p0)的通径长为2p，这是标准方程中系数2p的一种几何意义利用通径画抛物线很方便且准确(2)对于抛物线标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用，要做到准确、熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等二、抛物线几何性质的应用活动与探究2已知a，b是抛物线y22px(p0)上两点，o为坐标原点，若|oa|ob|，且aob的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线ab的方程迁移与应用已知抛物线y22px(x0)与圆x2y24相交于a，b两点，且|ab|2，则p()a3 b c d(1)抛物线的几何性质包括抛物线的焦点、准线、范围、对称轴、顶点、离心率、开口方向等，它的应用比较广泛，这一部分的题型仍以直线与抛物线的关系为载体，涉及求直线方程、弦长、平行、对称、最值等解题时，结合题意大胆设出参数和抛物线上点的坐标，利用条件化简整理，从而得以求解(2)抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题过程中又容易忽视这些隐含条件，如抛物线的对称性、准线与对称轴垂直等解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件三、直线与抛物线的综合应用活动与探究3(1)已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a，b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()ax1 bx1cx2 dx2(2)如图，直线l：yxb与抛物线c：x24y相切于点a求实数b的值；求以点a为圆心，且与抛物线c的准线相切的圆的方程迁移与应用1一条直线过点，且与抛物线y2x交于a，b两点若|ab|4，则弦ab的中点到直线x0的距离等于()a b2 c d42已知抛物线y22x，过点q(2,1)作一条直线交抛物线于a，b两点，试求弦ab的中点的轨迹方程(1)直线与抛物线的相交弦问题可归结为两类，一类是过焦点的弦，另一类是不过焦点的弦，即一般的弦长问题求过抛物线焦点的弦长问题，一般是把弦分成两条焦半径，利用焦半径公式和根与系数的关系求解，一般弦长问题可直接根据弦长公式求解(2)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，还要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性(3)对于抛物线的焦点弦，应熟悉一些常见的结论，并可直接应用于选择题和填空题的解答，如，设ab是过抛物线y22px(p0)的焦点f的一条弦，a(x1，y1)，b(x2，y2)(点a，b为直线与抛物线的交点)，则有：y1y2p2；x1x2；|ab|x1x2p(为直线ab的倾斜角)答案：课前预习导学【预习导引】1ffffxxyyx0，yrx0，yry0，xry0，xrx轴y轴(0,0)预习交流1(1)提示：“五个一”是指：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1(2)提示：b预习交流2(1)提示：当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线只有一个公共点，所以直线与抛物线有一个公共点时，可能直线与抛物线相切，也可能直线平行于抛物线的对称轴，故应是必要不充分条件(2)提示：设a(x1，y1)，b(x2，y2)可直接利用弦长公式|ab|x1x2|；可利用定义转化为到准线的距离和如抛物线方程为y22px(p0)时，|ab|x1x2p课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：通径长为8，即2p8，对称轴为x轴，即焦点在x轴上，由此可得抛物线的标准方程，但注意抛物线的开口方向不确定，需分两种情况考虑解：(1)当焦点在x轴的正半轴上时，设方程为y22px(p0)，当x时，yp，由2p8，得p4故抛物线的标准方程为y28x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2(2)当焦点在x轴的负半轴上时，设方程为y22px(p0)，同理可得抛物线的方程为y28x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2迁移与应用1b解析：由题意，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，56，p2抛物线的方程为y24x2解：抛物线方程yax2(a0)可化为x2y(a0)当a0时，p，抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为y当a0时，p，抛物线开口向下，焦点坐标为，准线方程为y综上所述，抛物线yax2的焦点坐标为，准线方程为y活动与探究2思路分析：由于抛物线关于x轴对称，|oa|ob|，说明abo为等腰三角形，所以a，b关于x轴对称，于是利用焦点是三角形的垂心，构造关于a点横坐标的关系式即可求解解：|oa|ob|，且a，b在抛物线y22px(p0)上，a，b点关于x轴对称abx轴abo的垂心是抛物线的焦点f，afob设a(x0，y0)，则b(x0，y0)，且y2px0kafkob1，解得x0p直线ab的方程为xp迁移与应用b解析：抛物线y22px与圆x2y24都关于x轴对称，则a，b关于x轴对称又|ab|2，不妨设a在第一象限，则a的纵坐标为，代入圆x2y24，得a的横坐标为1再将x1，y代入y22px(p0)中得p活动与探究3(1)思路分析：联立直线与抛物线方程，消去x得到关于y的方程，利用中点坐标公式求出pb解析：如图，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab中点m(x0，y0)，则ab直线方程为yx由消去x得y22pyp20，y1y22py0pp2所求准线方程为x1(2)思路分析：联立方程消y，根据相切0求b；利用第一问求出a点坐标，进而求出圆半径得圆的方程解：由得x24x4b0(*)因为直线l与抛物线c相切，所以(4)24(4b)0解得b1由可知b1，故方程(*)即为x24x40解得x2，代入x24y，得y1故点a(2,1)因为圆a与抛物线c的准线相切，所以圆a的半径r等于圆心a到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2所以圆a的方程为(x2)2(y1)24迁移与应用1c解析：抛物线方程为y2x，其焦点坐标为，准线方程为x直线ab过抛物线焦点由抛物线的定义知，弦ab的中点到直线x的距离为2弦ab的中点到直线x0的距离等于22解：方法一：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，弦ab的中点为m(x，y)，则y1y22y，kab两式相减，得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，2y2，即2y2，即2x当abx轴时，ab的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为2x方法二：设直线ab的方程为y1k(x2)，由得y2y12k0由已知可知恒成立设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab的中点为p(x，y)，y1y2，y1y2，x1x2(yy)(y1y2)22y1y2，消去参数k，得2x当abx轴时，ab的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为2x当堂检测1以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2y22x2y0的圆心的抛物线的方程是()ay22xbx22y或y22xcx2y或y2xdy2x或x2y答案：c解析：圆x2y22x2y0的圆心为(1,1)，代入四个选项检验知，点(1,1)在抛物线x2y或y2x上，故选c2抛物线y2ax的焦点坐标为，则抛物线ax2y0的准线方程为()a by1c dy1答案：a解析：抛物线y2ax的焦点坐标是，代入ax2y0得x22y，所求准线方程为3过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于a，b两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()a有且仅有一条b有且仅有两条c有无穷多条d不存在答案：b解析：由定义|ab|527，|ab|min4，这样的直线有且仅有两条4若抛物线y2mx与椭圆有一个共同的焦点，则m_答案：8解析：椭圆的焦点为(2,0)当抛物线焦点为(2,0)时，m8，当抛物线焦点为(2,0)时，m85过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛