高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.2向量数量积的运算律教案新人教B版.docx

8.1.2向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.【知识导学】知识点平面向量数量积的运算律已知向量a，b，c与实数，则交换律abba结合律(a)b(ab)a(b)分配律(ab)cacbc【新知拓展】对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设a，b，c均为非零向量且acbc，不能得到ab.事实上，如图所示，a，b，c，ABOC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分别为|a|cosAOD，|b|cosBOD，此时|b|cosBOD|a|cosAODOD.即acbc.但很显然ba.(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(ab)ca(bc)，这是由于ab，bc都是实数，(ab)c表示与c方向相同或相反的向量，a(bc)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于向量a，b，c等式(ab)ca(bc)恒成立()(2)若abac，则bc，其中a0.()(3)(ab)(ab)a2b2.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知|a|2，b在a上的投影的数量为2，则a(ab)_.(2)已知|a|3，|b|4，则(ab)(ab)_.(3)已知|a|6，|b|8，a，b120，则|a2b2|_，|ab|_，|a2b2|_.答案(1)8(2)7(3)282100题型一 求向量的夹角例1已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角解设a，b的夹角为，单位向量的夹角为60，e1e2|e1|e2|cos60.ab(e1e2)(e22e1)e1e2e2e2e1e2e2ee1e212，|a| .|b| .cos.0，120.金版点睛求向量a，b夹角的思路(1)解题流程(2)解题思想：由于|a|，|b|及ab都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及ab的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量已知|a|3，|b|5，|ab|7，求ab及a与b的夹角解|ab|7，(ab)2a22abb2|a|22ab|b|2342ab49，ab.设a与b的夹角为，则cos.又0，故a与b的夹角60.题型二 求向量的模例2已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a，b120.求：(1)向量b的模；(2)向量b的模解(1)a24，|a|24，即|a|2.把x1代入方程x2|a|xab0，得1|a|ab0，ab3，则ab|a|b|cosa，b2|b|cos1203，|b|3.(2)由(1)知|b|3，|b|b|3|.金版点睛极化恒等式求模长(1)两个结论(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2.证明(ab)2(ab)(ab)aaabbabba22abb2.(ab)(ab)aaabbabba2b2.说明：下列结论也是成立的：(ab)2a22abb2，(ab)(cd)acadbcbd.(2)由上述结论，我们不难得到4ab(ab)2(ab)2，即ab(ab)2(ab)2我们把该恒等式称为“极化恒等式”(3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等提醒：向量的模是非负实数；一个向量自身的数量积，等于它模的平方(1)已知|a|6，|b|1，ab9，则a，b()A120B150C60D30(2)已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.答案(1)B(2)见解析解析(1)cosa，b，又0a，b180，所以a，b150，故选B.(2)解法一：|ab| 5.|ab| 5.解法二：以a，b为邻边作ABCD，设AC，BD相交于点E，如图所示|a|b|且DAB，ABD为正三角形，|ab|5，|ab|2|2 2 5.题型三 用向量数量积解决垂直问题例3已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120，求证：(ab)c.证明证法一：|a|b|c|1，且a，b，c之间的夹角均为120，(ab)cacbc|a|c|cos120|b|c|cos1200.(ab)c.证法二：如图，设a，b，c，连接AB，AC，BC的三条线段围成正三角形ABC，O为ABC的中心，OCAB.又ab，(ab)c.金版点睛要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式若O为ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形DA，B，C均不是答案C解析由()(2)0，得()0，又，()()0，即|2|20.|.ABC为等腰三角形1若向量a的方向是正北方向，向量b的方向是西偏南30方向，且|a|b|1，则(3a)(ab)等于()A.BC.D答案B解析由题意知a与b的夹角为120，ab.(3a)(ab)3a23ab.2若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量a的模是()A2B4C6D12答案C解析(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|461672.解得|a|6.3已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|ab|等于()A1B.C.D2答案A解析|ab|1.4已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_.答案8或5解析由3ab7c0，可得7c(3ab)，则49c29a22b26ab.由a，b，c为单位向量，得a2b2c21，则49926cos，即23400，解得8或5.5已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a与b的夹角