21.2.3　因式分解法教学设计及课后习题.2.3　因式分解法.doc

21.2.3因式分解法1.了解因式分解法的概念.2.会用因式分解法解一元二次方程.3.能根据一元二次方程的特征,选择适当的解一元二次方程的方法.1.经历探索用因式分解法解一元二次方程的过程,发展合情推理的能力,体会“降次”化归的思想方法.2.通过灵活选择解方程的方法,体会解决问题的灵活性和多样性.1.通过探究因式分解法解一元二次方程,学会与他人合作,能与他人交流思维的过程和结果的能力.2.经历探索知识的形成过程,培养学生主动探究的精神与积极参与的意识.【重点】用因式分解法解一元二次方程.【难点】根据一元二次方程的特征,选择适当的解一元二次方程的方法.【教师准备】预想学生解一元二次方程中选择灵活方法的困难.多媒体课件1和课件2. 【学生准备】复习总结学过的解一元二次方程的方法.导入一:复习提问:1.因式分解的方法有几种?【师生活动】 教师提问,学生回答,教师点评.2.将下列各式分解因式.(1)5x2-4x;(2)x2-4x +4;(3)4x(x-1)-2+2x;(4)x2-4;(5)(2x-1)2- x2.【师生活动】学生独立完成,小组内交流答案,对出现的错误组长帮忙解决,老师点评易错点.导入二:(教材问题2)根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2,根据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?学生口答所列方程为10x-4.9x2=0,思考如何解这个方程.(配方法、公式法)设计意图通过复习相关知识,有利于学生熟练正确地将多项式进行因式分解,从而降低本节课的难度,为学习新知识打下基础;以与物理学有关的实际问题导入新课,让学生体会各学科知识之间的联系,感受数学与生活之间的联系,激发学生学习的兴趣.过渡语除配方法和公式法以外,能否找到更简单的方法解这个方程?一、共同探究思考:还有什么方法解问题中的一元二次方程10x-4.9x2=0?思路一 教师引导学生思考回答下列问题.(1)上面方程中有没有常数项?(2)等式左边的各项有没有相同因式?能不能分解因式?(3)如果AB=0,那么;如果(x+1)(x-1)=0,那么x+1=0或,即x=-1或.(4)尝试将方程左边分解因式,看能不能达到降次的目的. 【师生活动】学生在教师的引导下逐一思考回答问题,教师及时补充,然后让学生大胆尝试解方程,对出现的问题教师有针对性地解决.思路二复习提问:如果AB=0,那么.方程能不能化成这种形式?小组合作交流,大胆尝试,教师对解决问题有困难的学生及时给予帮助,并将小组交流结果展示,对学生展示结果教师提出质疑,并引导学生解决.解:将方程左边分解因式,得x(10-4.9x)=0,x=0或10-4.9x=0,x1=0,x2=100492.04.物体经过2.04秒落回地面.设计意图通过小组讨论或教师引导,观察方程的特点,然后找到解决的途径,让学生亲自经历知识的形成过程,培养学生观察问题、分析问题的能力和探索精神.二、思考(1)上述解方程的方法第一步是如何变形的?(2)上述解法是如何达到降次的目的的?(3)什么样的方程适合用这种方法求解?【师生活动】小组讨论交流,教师及时引导,师生共同得出结论.我们可以发现,上述方程的解法不是用开平方降次,而是先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.过渡语根据刚才解方程的思路和因式分解法解方程的概念,你能不能总结因式分解法解方程的步骤是什么?【师生活动】学生思考回答,教师补充,归纳后以课件展示.【课件1】因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右边化为0;(2)将方程的左边进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转化为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.设计意图以问题的形式引导学生思考,降低了新知识的难度,小组的讨论交流,让学生体验知识的形成过程,在课堂上发挥主体作用,体验成功的快乐,使本节课重点进一步得到强化,同时探究过程培养了学生分析问题的能力和归纳总结的能力.三、例题讲解【课件2】(教材例3)解下列方程.(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x-14=x2-2x+34.【师生活动】学生独立完成后小组交流答案,教师课件展示,规范做题格式.解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0,即x-2=0或x+1=0,x1=2,x2=-1.(2)移项、合并同类项,得4x2-1=0,因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0,即2x+1=0或2x-1=0,x1=-12,x2=12.知识拓展1.当方程的左边能分解因式,方程的右边为0时,常常用因式分解法解一元二次方程,因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.2.解一元二次方程时,四种解法的使用顺序是:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,一般先考虑用因式分解法,如果是特殊形式(x+a)2=b(b0),用直接开平方法,最一般方法是公式法,配方法在题目没有特殊要求时一般不用.因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右边化为0;(2)将方程的左边进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转化为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.1.方程x(x+2)=0的根是()A.x=2B.x=0C.x1=0,x2=-2D.x1=0,x2=2解析:由题意可得x=0或x+2=0,解得x1=0,x2=-2.故选C.2.方程(x-5)(x-6)=(x-5)的解是()A.x=5B.x=5或x=6C.x=7D.x=5或x=7解析:移项,得(x-5)(x-6)-(x-5)=0,方程左边提公因式得(x-5)(x-6-1)=0,即x-5=0或x-7=0,解得x1=5,x2=7.故选D.3.用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程,求解.解析:方程左边提公因式得(x+3)(5-2x)=0,所以x+3=0或5-2x=0.答案:x+3=05-2x=04.方程x2-16=0的解是.解析:方程左边用平方差公式分解因式得(x+4)(x-4)=0,所以x+4=0或x-4=0,解得x1=4,x2=-4.故填x1=4,x2=-4.5.用因式分解法解下列方程.(1)x2+x=0;(2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3;(4)4x2-121=0;(5)3x(2x+1)=4x+2;(6)(x+4)2=(5-2x)2.解:(1)将方程左边分解因式,得x(x+1)=0,x=0或x+1=0.x1=0,x2=-1.(2)将方程左边分解因式,得x(x-23)=0,x=0或x-23=0.x1=0,x2=23.(3)移项,得3x2-6x+3=0,将方程左边分解因式,得3(x-1)2=0 x1=x2=1.(4)将方程左边分解因式,得(2x+11)(2x-11)=0,2x+11=0或2x-11=0.x1=-112,x2=112.(5)移项,得3x(2x+1)-(4x+2)=0,将方程左边分解因式,得(2x+1)(3x-2)=0,2x+1=0或3x-2=0.x1=-12,x2=23.(6)移项,得(x+4)2-(5-2x)2=0,将方程左边分解因式,得(x+4+5-2x)(x+4-5+2x)=0,-x+9=0或3x-1=0.x1=9,x2=13.21.2.3因式分解法一、共同探究二、思考因式分解法解一元二次方程的步骤三、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第14页练习的1题.【选做题】教材第14页练习的2题.二、课后作业【基础巩固】1.一元二次方程5x2-2x=0的解是()A.x1=0,x2=25B.x1=0,x2=-52C.x1=0,x2=52D.x1=0,x2=-252.方程3x(x+1)=3x+3的解为()A.x=1B.x=-1C.x1=0,x2=-1D.x1=1,x2=-13.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为()A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=04.方程(x+4)(x-5)=1的根为()A.x=-4B.x=5C.x1=-4,x2=5D.以上结论都不对5.方程x(x-1)=x的解是.6.将二次三项式x2+20x-96分解因式的结果为;如果令x2+20x-96=0,那么它的两个根是.7.方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是.8.若(m+n)(m+n+5)=0,则m+n=.9.若(2x+3y)2+4(2x+3y)+4=0,则2x+3y的值为.10.用因式分解法解下列方程.(1)(x-1)(x-2)=0;(2)x2-3x=0;(3)x2-4x+4=0;(4)x2-5x+4=0.【能力提升】11.某养鸡专业户建一个面积为150 m2的长方形养鸡场.为了节约材料,养鸡场的一边靠着原有的一面墙,墙长a m,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆的长为35 m,那么养鸡场的长与宽各为多少?(其中a20)12.我们知道x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0就可转化为(x-a)(x-b)=0,请你用上面的方法解下列方程.(1)x2-3x-4=0;(2)x2-7x+6=0;(3)x2+4x-5=0.【拓展探究】13.为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,则y2=(x2-1)2,原方程化为y2-5y+4=0,解此方程,得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,x2=2,x=2.当y=4时,x2-1=4,x2=5,x=5.原方程的解为x1=-2,x2=2,x3=-5,x4=5.以上方法就叫换元法,达到了降次的目的,体现了转化的思想.(1)运用上述方法解方程x4-3x2-4=0;(2)既然可以将x2-1看作一个整体,你能直接运用因式分解法解(1)中的方程吗?【答案与解析】1.A(解析:将方程左边分解因式,得x(5x-2)=0,方程的解为x1=0,x2=25.故选A.)2.D(解析: 由已知得3x(x+1)-3(x+1)=0,3(x+1)(x-1)=0,x+1=0或x-1=0,x1=1,x2=-1.故选D.)3.A(解析:(x+5)(x-7)=0,x+5=0或x-7=0,x1=-5,x2=7.故选A.)4.D(解析:(x+4)(x-5)=1,x2-x=21,x-122=854,x=1852.故选D.)5.x1=0,x2=2(解析: x(x-1)=x,x(x-1)-x=0,x(x-1-1)=0,即x=0或x-2=0,x1=0,x2=2.)6.(x+24)(x-4)-24,4(解析: x2+20x-96=(x+24)(x-4).x2+20x-96=0,(x+24)(x-4)=0,x+24=0或x-4=0,x1=-24,x2=4.)7.x1=3,x2=-2(解析:移项,得(x-1)(x+2)-2(x+2)=0,(x+2)(x-1-2)=0,x1=3,x2=-2.故填x1=3,x2=-2.)8.0或-5(解析:由题意得m+n=0或m+n+5=0,m+n=0或m+n=-5.故填0或-5.)9.-2(解析:把2x+3y看成一个整体,有(2x+3y+2)2=0,所以2x+3y+2=0,即2x+3y=-2.故填-2.)10.解:(1)x-1=0或x-2=0,x1=1,x2=2.(2)x(x-3)=0,x=0或x-3=0.x1=0,x2=3.(3)(x-2)2=0,x1=x2=2.(4)(x-1)(x-4)=0,x-1=0或x-4=0.x1=1,x2=4.11.解:设养鸡场垂直于墙的一边长为x m,则与墙相对的边的长为(35-2x)m,依题意,得x(35-2x)=150,即2x2-35x+150=0,所以(2x-15)(x-10)=0,所以x=7.5或x=10,当x=7.5时,35-2x=20,当x=10时,35-2x=15,因为a20,所以两根都满足条件.答:养鸡场的长与宽分别为20 m,7.5 m或15 m,10 m.12.解:(1)x2-3x-4=(x-4)(x+1),(x-4)(x+1)=0,x-4=0或x+1=0,x1=4,x2=-1.(2)x2-7x+6=(x-6)(x-1),(x-6)(x-1)=0,x-6=0或x-1=0,x1=6,x2=1.(3)x2+4x-5=(x+5)(x-1),(x+5)(x-1)=0,x+5=0或x-1=0,x1=-5,x2=1.13.解:(1)x4-3x2-4=0.设x2=y,则y2=x4,原方程化为y2-3y-4=0,解此方程,得y1=-1,y2=4.当y=4时,x2=4,x=2.当y=-1时,x2=-1,无实数解.原方程的解为x1=-2,x2=2.(2)因式分解,得(x2+1)(x2-4)=0,x2+1=0或x2-4=0,x2+1=0无解,原方程的解为x1=2,x2=-2.在本节课的教学过程中,先对因式分解进行复习,然后由实际问题引出新方程,解决这个实际问题需要学习新知识,激发了学生的学习动机,而新知识与旧知识一元一次方程有内在联系,引导学生用比较、概括的方法获得新知识.整节课都是以问题形式层层深入,在老师的引导下,学生自主探究结论,所以学生在课堂上发挥了主体作用,老师在课堂上只是指挥家、引领者的身份,这样有利于培养学生分析问题、解决问题的能力和创新精神.后边的例题巩固提高了本节课的重点,例题的解决不是老师讲授完成的,而是学生在独立思考的基础上由小组合作、共同交流完成,提高了学生解决问题的灵活性,树立了学习的信心.在课堂中有时处理问题过于急躁,过分关注学生的学习结果,而忽略了过程,处理有些知识点时,给学生留有思考的时间太少,造成练习解方程时,部分学生出现计算错误较多.并且对于学生出现的问题只是及时的加以强化,没有再出类似的问题让学生解决,不能更有效地体现课堂教学的实效性.不能关注到每一位学生,在课堂上比较活跃的还是部分学生,应该让人人学到有价值的数学.数学教学的真谛是数学思维过程的教学,所以教学设计要注重培养学生准确运用所学新知识来分析问题、解决问题,用新方法解方程时,给学生足够思考时间,同时重视引导学生思考如何对所学新知识加以复习、巩固,进一步了解这部分知识在解决问题时所起的作用.教学本身就是一个动态生成的过程,在解题过程中,尽量让有典型问题的学生进行展示,这样正好是教师的第一手资料,以使教学更能有效进行.练习(教材第14页)1.解:(1)x2+x=0,x(x+1)=0,x1=0,x2=-1.(2)x2-23x=0,x(x-23)=0,x1=0,x2=23.(3)3x2-6x=-3,x2-2x+1=0,(x-1)2=0,x1=x2=1.(4)4x2-121=0,(2x-11)(2x+11)=0,x1=112,x2=-112.(5)3x(2x+1)=4x+2,3x(2x+1)-2(2x+1)=0,(2x+1)(3x-2)=0,x1=-12,x2=23.(6)(x-4)2=(5-2x)2,(x-4)2-(5-2x)2=0,(x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0,(1-x)(3x-9)=0,x1=1,x2=3.2.解:设小圆形场地的半径为R m,则大圆形场地的半径为(R+5)m,依题意得2R2=(R+5)2,2R2=(R+5)2,(2R)2-(R+5)2=0,(2R+R+5)(2R-R-5)=0,R1=5-52(舍),R2=5+52.答:小圆形场地的半径为(5+52)m.1.本节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程,解法的基本思路是将一元二