函数与方程(解答题).doc

函数与方程（解答题）1. 已知函数的最大值为正实数，集合，集合。（1）求和；（2）定义与的差集：且。设，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。（3）若函数中， 是（2）中较大的一组，试写出在区间,上的最大值函数的表达式。2. 已知函数的最大值为正实数，集合，集合。（1）求和；（2）定义与的差集：且。设，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。（3）若函数中， 是（2）中较大的一组，试写出在区间,n上的最大值函数的表达式。3. 已知函数，当点在的图像上移动时，点在函数的图像上移动（1） 若点P坐标为（），点Q也在的图像上，求的值；（2） 求函数的解析式；（3） 当时，试探求一个函数使得在限定定义域为时有最小值而没有最大值4. 已知：为定义在上的奇函数，且当时，。（1）写出的函数表达式；（2）作出函数的图象，并求出的解集；（3）如果的解集为闭区间，求和的值。5. Oxy1t-1-tABCM(1,m)如图，函数y=|x|在x1,1的图象上有两点A，B，ABOx轴，点M(1,m)(m是已知实数，且m)是ABC的边BC的中点。(1)写出用B的横坐标t表示ABC面积S的函数解析式Sf(t)；(2)求函数Sf(t)的最大值，并求出相应的C点坐标。6. 已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b0，cR).若f(x)的定义域为-1,0时，值域也是-1,0，符合上述条件的函数f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表达式；若不存在，请说明理由.7. 并且f(x)在，上为减函数. (1)求a的取值范围； (2)求证：24;求证：0M1.8. 已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)0,当x1时,f(x)0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足:11. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1 (a,bR,a0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1,x2.(1)如果x12x2-1;(2)如果|x1|0,函数f(x)= ax-bx2.(3)当0b1时,讨论:对任意x0,1,|f(x)|的充要条件.13. （1）当a0时，用函数的单调性定义证明：y=f(x)在R上增函数；（2）当a=0时，若函数y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求函数y=g(x)的解析式；（3）当a0时，求关于x的方程f(x)=0在实数集R上的解.14. 已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a,bR).(1)若方程f(x)=0无实根，求证：b0；(2)若方程f(x)=0有两实根，且两实根是相邻的两个整数，求证：(3)若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实根在相邻两整数之间，试证明存在整数k,使得(4)若方程f(x)=0有两个非整数实根，且两实根不在相邻两整数之间.请你探求当a,b满足什么条件时,一定存在整数k,使得15. 设有关于x的不等式a (I)当a=1时，解此不等式.(II)当a为何值时，此不等式的解集是R.16. 某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？17. 已知二次函数f(x)的二次项系数为正且f(2x)f(2x).（理科）求不等式f(22ax2)f(ax22axa2)的解集(a0).（文科）求不等式的解集.18. 设关于x的一元二次方程2x2ax2=0的两根的、(3）是ABC边AC的中点。（I）设点B的横坐标为t，ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式S=f(t)；（II）求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的点C的坐标。20. 设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方. 21. 设函数R.（I）求函数的最值；（）给出定理：如果函数在区间上连续，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在.运用上述定理判断，当时，函数在区间内是否存在零点.22. 已知函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，f(1)=0.()求f(0)的值；()求f(x)的解析式；()若函数g(x)=(x+1)f(x)-af(x+1)-x在区间(-1，2)上是减函数，求实数a的取值范围.23. 设是定义域为的奇函数，且它在区间上是增函数.(I)用定义证明在区间上是增函数；(II) 若，解关于的不等式：.（其中且）24. 二次函数y=ax+x+1(a0)的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x、x.（1）证明(1+x)(1+x)=1;（2）证明x-1,x-1;（3）若x、x满足不等式|lg|1，试求a的取值范围.25. 设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立，求F(x)表达式。（2）在（1）的条件下,当x时,g(x)= f(x) -kx是单调函数，求实数k的取值范围。26. 某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f(t).(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)(0tlg（2xa5）, 若AB, 求实数a的取值范围.30. 设方程x2-x+1=0的两根是，求满足f()=,f()=,f(1)=1的二次函数f(x).31. 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0x1x2,（）当x(0, x1)时，求证：xf(x)x1；（）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x00，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0满足0x01.36. 某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数都是1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。37. 设函数f(x)=ax2+8x+3(a1)，使得存在tR，只要x1, m就有f(x+t)x.42. 求证：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。43. 设函数f(x)=，解方程：f(x)=f -1(x).44. 解方程组： （在实数范围内）45. 已知二次函数满足：对任意实数x，都有f（x）x，且当成立.（1）证明：f（2）=2；（2）若f（2）=0，求f（x）的表达式；（3）设图像上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围.46. 设函数=，且对任意，均满足。若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围。47. 设为实数，函数.(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.48. 设a为实数，函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若f(0)1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值； (3)设函数h(x)=f(x),x(a,)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.答案:1. （1），配方得，由得最大值。，。（2）要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。（2）中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则 （3）由（2）知 2. （1），配方得，由得最大值。3分，。6分（2）要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。9分中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则12分（3）由（2）知13分 3. （1）当点坐标为（），点的坐标为，2分点也在的图像上，即5分（根据函数的单调性求得，请相应给分）（2）设在的图像上则，即 8分而在的图像上，代入得，为所求11分（3）；或 等 15分如：当时，在单调递减， 故 ，即有最小值，但没有最大值18分（其他答案请相应给分）（参考思路）在探求时，要考虑以下因素：在上必须有意义（否则不能参加与的和运算）；由于和都是以为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；为方便起见，可以考虑通过乘积消去；乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了），考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是轴或在轴的右侧（否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数），即若抛物线与轴的另一个公共点是，则，且抛物线开口向下4. （1）时， 时， 又为定义在上的奇函数， 。（2） ，作图如右： ，由图，知的解集为。（3）的图象可由的图象向右平移个单位得到，又的解集为闭区间，。5. 依题意，设B(t, t)，A(t, t)(t0)，C(x0,y0)。M是BC的中点，1，m，x02t，y02mt。在ABC中，|AB|2t，AB边上的高hy0t2m3t。S|AB|h2t(2m3t)3t2+2mt，t(0,1。(2)S3t2+2mt3(t)2+，t(0,1。若，即1，即m3时，S=f(t)在区间(0,1上是增函数，Smaxf(1)=2m3，相应的C点坐标是(1,2m)。6. 设符合条件的f(x)存在，函数图象的对称轴是：2当1b2时，则b=2,c=0,3当-b2时，函数在-1，0上单增，则b=2,c=0.综上所述，符合条件的函数有两个，f(x)=x2-1或f(x)=x2+2x.7. (1)按题意，得在(2，+)内有二不等实根x=、.关于x的二次方程ax2+(a-1)x+2(1-a)=0在(2，+)内有二异根、. (2)令(x)=ax2+(a-1)x+2(1-a)，则(2)(4)=4a(18a-2)=8a(9a-1)0.24lna0，当x(，4)时，g(x)0；当x(4，)时，g(x)0.又g(x)在、上连续，g(x)在、4上递增，在4,上递减.故M=g(4)=loga9+1=loga9a.0a，09a1.故M0.若M1，则9a=am.9=am -11，矛盾.故0M1.8. 所以f(x1) f(x 2),故f(x)在R+上为减函数.9. 10. f(x)-x1=f(x)-f(x1)=(ax2+bx+c)-(ax12+bx1+c)又由于f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=a(x-x1)(x-x2)0得f(x)x,所以x f(x)x1.11. (1)依题意:x1,x2为方程: ax2+(b-1)x+1=0的两根,由x12x24得: (x1-2)(x2-2)01o若0x12, g(2)0,即4a+2b-102o若-2x10,则x2= -2+x1-2,g(-2)0,即4a-2b+31,可以推出充分性:因为b1,ab-1, 对任意x0,1,可以推出ax-bx2b(x-x2)-x-x-1即ax-bx2-1;(3)解:因为a0,00,0b1时，对任意x0,1，|f(x)|1的充要条件是ab+1.13. 当a0时，f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2),当a0时,y= f(x)是R上的增函数.(2)设P(x,y)是函数y=g(x)的图象上的一点，P(x,y)关于直线x=1成对称的点为P(x,y), 14. (1)证：方程x2+ax+b=0无实根，=a2-4b0，即4ba20，b0.(2)证：设方程x2+ax+b=0的两实根分别为t和t+1(tZ)，故f(-a)=(-a) 2+a(-a)+b=b=0.25(a2-1).(3)设方程f(x)=0的两实根分别为、，且m、m+1(mZ)，则有f(x)=x2+ax+b=(x-)(x-).则f(m)f(m+1)=(m-)(m-)(m+1-)(m+1-)=(-m)(m+1-)(-m)(m+1-)必有f(m)0.25或f(m+1)0.25.故在题目的条件下，存在整数k=m或m+1，使 f(k)0.25成立.(4)设mm+1，当m时则f(m)f(m+1)=(m-)(m-)(m+1-)(m+1-)=(-m)(m+1-)(m-)(m+1-)04a2-16b1，必有f(m)0.25或f(m+1)0.25，故此时整数k也存在.同理可知当m+1时结论也成立.故在题目的条件下，当两实数a、b满足条件04a2-16b1时，一定存在整数k，使得f(k)0.25成立.15. (I)当a=1时 或或 或 (II)原不等式 设有 当且仅当即时 依题有：10a0时，22ax22，ax2+2axa+2a(x1)2+22，依题意得22ax2ax2+2axa+2ax2+2axa0x2+2x10，解得(2)当a0时，22ax22，ax2+2axa+2a(x1)2+22，依题意得22ax20x2+2x1x2+6x7，即x212x+180，解得。故原不等式的解集为：。18. f()f()4设x10，得f(x1)0，f(x)minf()9时，S=f(t)在区间（0，1上是增函数，证明如下：设，又S=f(t)在（0，1上为增函数， 11分故t=1时，。 12分20. （1）如图 4分 （2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此. 8分由于. 10分（3）解法一 当时，.， 12分. 又， 当，即时，取，.， 则. 14分 当，即时，取， .由 、可知，当时，.因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 16分 解法二 当时，.由 得，令 ，解得 或， 12分在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. 14分如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 16分21. （I）令2分由知f（x）无最大值.6分（）函数f（x）在m，2m上连续.上递增.8分由10分又根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点.12分22. ()令x=1,y=0得f(0)= -2 4分()令y=0，由() 可得f(x)=x2+x-2 7分()g(x)=(x+1)f(x)-af(x+1)-x=x3+(2-a)x2-(2a+1)x-2 8分g(x)=3x2+2(2-a)x-(2a+1) 9分g(x)在(-1，2)上是减函数即12分解不等式组得a. 14分综上，当函数g(x)在区间(-1，2)上是减函数时，a).(没有等号扣2分)23. (I)证明：在上任取两数，且，则,且，(2分)在上是增函数，即，.即在区间上是增函数. (4分)(II) ，(6分)当时，有，,(8分) 当时，,无解，(9分)当时，.(10分) 当时，有，即.当时，或；(12分)当时，而(13分)综上所述，当时，原不等式的解集为且当时，原不等式的解集为或(14分)24. （1）由题意知x、x是一元二次方程ax的两个实根，所以x+x=-x+x=-xx.所以(1+x)(1+x)=1.由方程ax(a0)的判别式=1-4a0解得0a所以y=ax( a0)的图象的对称轴-2-1,且f(-1)=a0.所以二次函数y=ax( a0)的图象与x轴两个交点都在-1点的左侧，即x-1, x-1. (3)由|lg|1,可得10.又由(1), x= 所以10，所以。 所以-+ 所以当-,a取最大值;当-=, a取最小值. 所以a的取值范围为,.25. （1）f(-1)=0由f(x)0恒成立 知=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0 （理）2分-(文)3分a=1从而f(x)=x+2x+1 （理）4分-(文)6分F(x)= （理）6分-(文)9分（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 g(x)= f(x)-kx=x+(2-k)x+1（理）8分-(文)12分由于g(x)在上是单调函数,知-或- （理）10分-(文)16分得k-2或k6 （理）12分-(文)18分（3） f(x)是偶函数f(x)= f(x)而a0在上为增函数对于F(x)当x0时-x0F(-x)=-f(-x)=- f(x)=-F(x) （理）14分当x0F(-x)=f(-x)= f(x)=-F(x)F(x)是奇函数且F(x)在上为增函数（理）16分m0,n-n0知F(m)F(-n)F(m)-F(n)F(m)+F(n)0 （理）18分26. (1)y=f(t)定义域为t0,+),值域为y|y=2n,nN*. (2)0tfmin（x）f（3）且agmax（x）g（2） 10分易得f（3）3, g（2） 故所求a的取值范围为. 12分30. 设f(x)=ax2+bx+c(a0),则由已知f()=,f()=相减并整理得（-）（+）a+b+1=0，因为方程x2-x+1=0中0，所以，所以(+)a+b+1=0.又+=1,所以a+b+1=0.又因为f(1)=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f()=得a2-(a+1)+2=,所以a2-a+2=+=1，所以a2-a+1=0.即a(2-+1)+1-a=0,即1-a=0，所以a=1,所以f(x)=x2-2x+2.31. 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）当x(0, x1)时，x-x10, x-x20，所以f(x)x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以f(x)x1.综上，xf(x)x1.（）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+1-a(x1+x2)x+ax1x2,所以x0=,所以，所以32. 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,若a0，则x1x2.的解集为ax1-2a.因为1-2a1-a，所以a0,所以不等式组无解。若a0，）当0a时，x1x2,的解集为ax1-a.因为0ax1-a时，a1-a，由得x1-2a，所以不等式组的解集为1-ax1且a-(1-a)3，所以1a2，并且当1a2时，不等式组恰有两个整数解0，1。综上，a的取值范围是10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有B0，C0，所以必要性成立。再证充分性，若A0，B0，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若A=0，则由B2+C22BC得(B-C)20，所以B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若A0，则由知0，所以成立，所以成立。综上，充分性得证。34. 当x0,1时，有x2-2kx+k-40成立。记f(x)=x2-2kx+k-4，当且仅当时-3k0，由g(1)0可得k2.）当0k0当且仅当，即-6k2，亦即0k2；）当k0当且仅当g(1)0，即k2。综上所述，对任意x0，1，不等式组成立。当且仅当-3k0，则因为aa,所以0，即f(0)0,则f(x)=0在（0，）上有一根。)若c0，则f(1)=a+b+c=a+c-a-c=a-c0，所以f(x)=0在上有一根。36. 证明：首先，方程f1(x)=x2-26x-可以延续4次，得到第5个方程为f5(x)=x2-x+4. 其次，设由最初某方程f1(x)=x2+p1x+q1可延续n-1次到fn(x)=x2+pnx+qn，再证n5. 考虑f3(x)，若p30, q30，则由（1）和（2）可知（因为5=-4q5）.)若|p5|4，则50；）若|p5|4，则4p5q5.由（2）可知-(p5+q5)1，与p5+10q5+1矛盾。综合）、）可得n5.若p30q3，则由可知p2q20，从而0p1q1。用前面证明可得n3;若p3q30，则由可知0p2q2，同上面推理可得n4；若p3=0，则f3(x)=x2+q3=0无实根，所以n3;若p3时，f(x)5即a-8时，令f(x)=5得ax2+8x-2=0. x1=,又x1x2,而当0xx1时，3f(x)5，当x1x5，所以此时l(a).若fmax=3-5,即a1，则0，f(x1,x2,xn)是关于x1的开口向上的二次函数。f(x1,x2,xn)maxf(a,x2,xn),f(a+1,x2,xn)。同理，由对称可知f(x1,x2,xn)f(x1,x2,xn)，记b=a+1，设x1,x2,xn中有s个xi=a,n-s个xi=b，则f(x1,x2,xn)=sa2+(n-s)b2-=nsa2+(n-s)b2-s2a2-(n-s)2b2-2s(n-s)ab=s(n-s)a2-(n-s)sb2-2s(n-s)ab=s(n-s)(a-b)2=s(n-s) .当且仅当x1,x2,xn中有个取a（或a+1）其余取a+1（或a）时，fmax=.39. |F(x)|=|(a+b)x2+b(-x2)+c|=当0x1时，|F(x)|x2+x+1,当-1x0时，|F(x)-x2+x+1,综上所述，|F(x)|.当F(x)=-x2+x+1且x=时|F(x)|max=40. 若0，并可设f(x)=a(x+1)2(a0),由（1）得f(1)1，由（2）得f(1)1,所以f(1)=1,所以a=,所以f(x)=(x+1)2.又f(x+t)x(x+t+1)2xx2+2(t-1)x+(t+1)20 当t=-4时，方程x2+2(t-1)x+(t+1)2=0 的两根为1和9。所以的解集为1x9，所以m=9.因为在1,m内恒成立，当x=1时有t2+4t0，所以-4t0.当-4t0时，方程的较大的根为x1=1-t+29.而的解集为x2xx1，所以此时m9.综上所述，m的最大值为9，此时t=-4，对任意x1, 9.因为(x-1)(x-9)0，所以(x-4+1)2x.即f(x-4)x，所以m的最大值为9.42. 证明：当a=0时，方程变为2bx=b，则无论b(b0)为何值，总有根x=(0,1).当a0时，记f(x)=3ax2+