山东省高中数学《2.3等差数列的前n项和》第2课时课件 新人教A版必修5.ppt

1 掌握等差数列前n项和的性质 并能应用性质解决一些问题 2 会求等差数列前n项和的最值 3 会解决有关等差数列求和的综合问题 1 等差数列前n项和的性质 重点 2 等差数列前n项和的最值问题 难点 第2课时等差数列前n项和的应用 课标要求 核心扫描 等差数列前n项和的性质 2 sm s2m s3m分别为 an 的前m项 前2m项 前3m项的和 则sm s2m sm s3m s2m也成等差数列 公差为 自学导引 1 m2d 4 若s奇表示奇数项的和 s偶表示偶数项的和 公差为d nd an 如果数列的前n项和公式sn an2 bn 其中a b为常数 那么这个数列是否一定为等差数列 提示 由sn a1 a2 a3 an 1 an 得sn 1 a1 a2 a3 an 1 n 2 由 得an sn sn 1 n 2 s1 a1 又sn an2 bn 当n 2时 an sn sn 1 2an a b 当n 1时 a1 s1 a b符合上式 an 2an a b n n 数列 an 是等差数列 首项为a b 公差为2a 等差数列前n项和的最值 1 在等差数列 an 中 2 最大 最小 最小 最大 关于等差数列奇数项与偶数项性质的推导 若项数为2n 则s偶 s奇 a2 a4 a2n a1 a3 a2n 1 a2 a1 a4 a3 a2n a2n 1 名师点睛 1 二次函数配方法求等差数列前n项和sn的最值 2 题型一等差数列前n项和性质的应用 一个等差数列的前10项之和为100 前100项之和为10 求前110项之和 思路探索 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d 即可求出s110 或利用等差数列前n项和的性质求解 例1 故此数列的前110项之和为 110 法二数列s10 s20 s10 s30 s20 s100 s90 s110 s100为等差数列 设公差为d 则又 s10 100 代入上式得d 22 s110 s100 s10 11 1 d 100 10 22 120 s110 120 s100 110 法三设等差数列 an 的前n项和sn an2 bn s10 100 s100 10 解决此类问题的方法较多 法一 法三是利用方程的思想方法确定出系数 从而求出sn 法二是利用等差数列的 片断和 性质 构造出新数列 从而使问题得到解决 一个等差数列的前12项和为354 前12项中偶数项和与奇数项和之比为32 27 求公差d 解法一设此数列首项为a1 公差为d s偶 s奇 6d d 5 变式1 在等差数列 an 中 若a1 25 且s9 s17 求数列的前多少项和最大 思路探索 可根据题意先求得数列的公差 从而由通项的正负或前n项和公式判断 也可根据前n项和的函数特性求解 题型二等差数列前n项和的最值问题 例2 所以数列的前13项和最大 法二同法一解得d 2 an 25 2 n 1 2n 27 令an 0 即 2n 27 0 解得n 13 5 即数列的前13项均为正数 第13项以后均为负数 所以数列的前13项和最大 法三 a1 25 s9 s17 公差d 0 s9 s17 即f 9 f 17 当x 13时 f x 取得最大值 数列的前13项和最大 法一是利用二次函数的最值求解 法二是通过数列的通项的特点找出正负项的分界点 法三是利用了前n项和的二次函数特性 由二次函数的对称性求解 已知等差数列 an 中 a1 9 a4 a7 0 1 求数列 an 的通项公式 2 当n为何值时 数列 an 的前n项和取得最大值 解 1 由a1 9 a4 a7 0 得a1 3d a1 6d 0 解得d 2 an a1 n 1 d 11 2n 2 法一a1 9 d 2 变式2 n2 10n n 5 2 25 当n 5时 sn取得最大值 法二由 1 知a1 9 d 20 n 6时 an 0 s5最大 已知等差数列 an 满足 a3 7 a5 a7 26 an 的前n项和为sn 1 求an及sn 审题指导 1 设出首项和公差 根据已知条件构造方程组可求出首项和公差 进而求出an及sn 2 由 1 求出bn的通项公式 再根据通项公式的特点选择求和的方法 规范解答 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a3 7 a5 a7 26 所以有 题型三裂项相消法求数列的和 例3 题后反思 裂项相消法求和是数列求和的一种常用方法 它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项 裂成两项 并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外 其余各项都能前后相抵消 进而可求出数列的前n项和 常用到的裂项公式有如下形式 已知数列 an 是等差数列 其前n项和为sn a3 6 s3 12 1 求数列 an 的通项公式 变式3 误区警示分析问题不严密致误 示例 解中仅解不等式an 0是不正确的 事实上应解an 0 an 1 0 s10 s15 s15 s10 a11 a12 a13 a14 a15 0 a11 a15 a12 a14 2a13 0 a13 0 公差d 0 a1 0 a1 a2 a11 a12均为正数 而a14及以后各项均为负数 当n 12或13时 sn有最大值为s12 s13 130 求数列前n项和的最值问题的方法