导数的应用.doc

导数的应用教学目标：1、理解导数定义，会运用导数在运动学、几何学方面的意义解决一些简单问题；2、了解可导函数单调性与其导数的关系，会运用导数研究函数的单调性、极值与最值等性质； 3、会将一些数列、三角、不等式、解析几何等问题转化为函数问题并用导数解决，提高导数的应用意识。教学过程：一、函数在某点处的导数的定义和意义1、函数在点处可导存在，记为。2、问题1：半径为的金属圆盘受热膨胀，已知半径以的速度均匀增大，则当它的半径等于时，圆盘面积增长的速度是多少？ 分析：函数在某点处的导数的意义即该点处函数值的瞬时变化率。在运动过程中对应瞬时速度，在几何学中则对应曲线的切线的斜率。解法一：时，半径等于时，圆盘面积增长的速度是。解法二：令秒后金属圆盘的半径为，面积为，则， ，时， ，半径等于时，圆盘面积增长的速度是。解法三：，而，时，。3、问题2：已知函数的图象与轴相切，则。解：时，图象与轴相切于点，。二、利用导数研究函数的单调性1、问题3：（00高考改编）已知，若在上是单调函数，则确定其单调性并求出的范围。解法一：任取且；则；时，在上是单调递减函数；而时，但，在上不是单调函数；综上，当且仅当时，在上是单调递减函数。解法二：，当且仅当时，恒成立，在上是单调递减函数；而时，的符号可正可负，不是单调区间；综上，当且仅当时，在上是单调递减函数。注意：本题也可以比较和的图象得到答案，体会确定函数单调性的多种途径。另外，同学们可再利用导数讨论在上的值域。体会导数作为一个重要的工具，它给研究函数带来的便利。三、导数的综合应用1、问题4：数列满足，则数列中第项最大。2、问题5：用导数证明：（1）若，则。 （2）已知：两定点A，B相距，求证：过点A、B的圆的劣弧中，半径越大则弧长越短。分析：一些不等式、数列、三角、几何问题可以转化为函数问题，再利用导数来研究相应函数，进而解决问题。这种做法的关键在于合理构造函数。解：（1）设，则，时恒有，因此，在上单调递减，时，即；再设（下略）（2）设过点A、B的圆的劣弧所对圆心角为，则半径，所以弧长，；，时，在上单调递增；若过点A、B的两段圆的劣弧所在圆半径分别为且，劣弧所对圆心角分别为，由知，因此，过点A、B的圆的劣弧中，半径越大则弧长越短。回顾：若不以为自变量建立函数，而以半径R为自变量，则，难以证明其单调性，所以，构造函数必须是合理的。四、小结：1、 解决运动的瞬时速度、加速度问题有助于加深对导数定义的理解；2、 确定函数单调性、单调区间的方法有：利用单调函数的定义、利用函数图象、利用复合函数的性质、利用可导函数的单调性与其导数的关系；确定了单调性，求函数值域就比较方便了。3、导数的综合应用关键在于正确、合理建立函数关系式。五、课后练习1、 两辆汽车从A地同时发车，甲车沿正东方向直线行驶，小时后距A地公里，乙车沿北偏西方向直线行驶，小时后距A地公里，求发车两小时后，两车相离的速度和加速度。2、 向球形气球每秒充气，当气球半径为时，半径增长的速度为。3、 已知函数的图象与直线相切，则。4、已知函数 ，(1) 若在上是增函数，求的取值范围