压轴题品鉴.doc

1. 如图，P是RtABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P点作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（）A1条B2条C3条D4条 此题不能选A，选A说明你没有养成分类讨论的意识；选B说明你逻辑思维不严密，标准答案通常选C；点评：因为此题思维深度较大，出题者把一般三角形改成直角三角形，可谓用心良苦，纠结了数学专家们几十年的问题总算尘埃落定，唯有郁闷气苦，心有不甘。 按照一般的情况，如果不是直角三角形就是应该选D。此图考察分类讨论和类比思维真是妙极了；但是直角三角形怎么办，它的确只有三种情况，有两条线重合了，它又可以考察学生的逻辑思维是否严密呢。一个选择题而已，你弄这么深刻干嘛，你的对象是初中生呢，大哥，你就手下留情吧。中国的教育到底是需要学究型的专家还是需要开创性的人才呢？2.（2001安徽）如图，AB是O的直径，l1，l2是O的两条切线，且l1ABl2，若P是PA、PB上一点，直线PA、PB交l2于点C、D，设O的面积为S1，PCD的面积为S2，则 （1）利用相似比求面积的思路发散，透过相似的表面现象，抓住相似的实质就是求相似比，求面积比最终也是归结为相似比的平方。（2），AB/CD得到，CD=2R； 点评：此题求面积比不能完全走老路、走套路，适当的变通才是解决问题的关键，创新始终是数学的灵魂。3.如图，C=90，点A、B在C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止当点P与B、C两点不重合时，作PDBC交AB于点D，作DEAC于点EF为射线CB上一点，使得CEF=ABC设点P运动的时间为x秒（1）用含有x的代数式表示CE的长（2）求点F与点B重合时x的值（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）求y与x之间的函数关系式(相似 二次函数) （1）证出DBPABC得到 ，PB=4x，CE= PD = 6x；（2）证出CEFCBA得到 ，得到CF=9x的关系，又知CF=CB，据此求出；（3）当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20，从这里开始拉开分类讨论的序幕。PB=4x，CE= PD = 6x，CF=9x，DE=20-4x当 时，PF=20-9x-4x=20-13x，y = =-51x2+120x当 时，y = 点评：动点问题探究过程中紧扣那些不变的规律，以不变应万变。此题在变化过程中，变化量很多，但是这些变化量表达式是不变的。 PB=4x，CE= PD = 6x，CF=9x，DE=20-4x等等；PF的表达式是可变的。 把握变化的规律就可以顺利解决此题中的问题。4. 四边形OABC是等腰梯形，OABC，在建立如图所示的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点出发沿折线段OA-AB以每秒2个单位长的速度向终点B运动；同时，点N从B点出发沿折线段BC-CO以每秒1个单位长的速度向终点O运动、设运动时间为t秒（1）当点M运动到A点时，N点距原点O的距离是多少？当点M运动到AB上（不含A点）时，连接MN，t为何值时能使四边形BCNM为梯形？（2）0t2时，过点N作NPx轴于P点，连接AC交NP于Q，连接MQ求AMQ的面积S与时间t的函数关系式（不必写出t的取值范围）当t取何值时，AMQ的面积最大？最大值为多少？当AMQ的面积达到最大时，其是否为等腰三角形？请说明理由（ 相似 二次函数 ） 点评： 0t2这个条件把M点限制在OA上，把N点限制在BC上，大大降低了此题的难度。此题关键在于求点Q的坐标，在利用三角形的面积建立二次函数解析式，水到渠成。 用相似求点Q的坐标是一个很好的思路，用一次函数求点Q的坐标也是一个不错的选择。5. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=5，AB=2，抛物线y= -x2+3x的图象与BC交于D、E两点（1）求DE的长 DE=1_；（2）M是BC上的动点，若OMAM，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由图知：点D、E的纵坐标为2，依题意，有：-x2+3x=2，解得：x1=1、x2=2D（1，2）、E（2，2），DE=1（2）如下图矩形OABC中，OMA=90，CMO=MAB=90-AMB，又OCM=MBA=90，OCMMBA，有：设点M（m，2），则：CM=m，BM=5-m，解得 m1=1，m2=4 点M的坐标为（1，2）或（4，2） （3）若以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，那么点D、M不共点，所以点M取（4，2）； 当DM为平行四边形的对角线时，点O、Q关于DM的中点对称，即点Q的纵坐标为 4，由图知，点Q必不在抛物线图象上，不合题意； 当DM为平行四边形的边时，OMOQ，且OM=OQ； D（1，2）、M（4，2） OQ=DM=3，即 Q（-3，0）或（3，0）； 经验证，点（-3，0）不在抛物线图象上； 点（3，0）在抛物线图象上； 综上所述，存在符合条件的点Q，且坐标为（3，0）点评：此题属于漫天撒网之类的混合型综合题。要求学生的思维极具跳跃性，各个小题之间没有必然联系，要求学生深入了解题海战术，这类题不会在中考题中形成气候。6. 如图（1），AB是O的直径，且AB=10，C是O上的动点，AC是弦，直线EF和O相切于点C，ADEF，垂足为D（1）求证：DAC=BAC；（2）若AD和O相切于点A，求AD的长；（3）若把直线EF向上平行移动，如图（2），EF交O于G、C两点，题中的其他条件不变，这时与DAC相等的角是否存在，并证明. (全等相似与平移)（1）ABCACD 可知 DAC=BAC（2）图形被特殊处理变成正方形，AD等于半径（3）ABCAGD依旧，因为EF向上平移，所以相切变成相交，只是C点发生裂变，一个切点变成两个交点C点和G点，DAG=BAC依旧，DAC=BAG依旧。点评：此题综合性强，融合了圆、正方形、平移、相似，又灵活地考察了直线与圆相交、相切，还体现了数学中类比、转化的思想方法，难易适中，为中考复习中不可多得的好题。7. 已知：如图直线l与O相切于点D，弦BCl，与直径AD相交于点G，弦AF与BC交于点E，弦CF与AD交于点H（1）求证：AB=AC；（2）如果AE=6，EF=2，求AC（相似与圆）（1）用垂经定理容易得到AB=AC（2）求线段的长度不是运用勾股定理就是利用相似进行计算。此题要有较强的读图能力，要能从AE*AF=AC*AC的隙缝中看到ACEAFC。点评：含有圆的图形中，包含有很多奇形怪状的相似三角形。火眼金睛的辨别能力必不可少，熟练的识图能力是制胜的关键因素。8. 如图（a），AB是O的直径，AC是弦，直线EF和O相切于点C，ADEF，垂足为D（1）求证：DAC=BAC；（2）若直径AB=4，AD=3，试求BAC的度数；（3）若把直线EF向上平移，如图（b），EF交O于G、C两点，若题中的其他条件不变，这时还有与DAC相等的角吗？如果有请直接指出是哪一个，如果没有请说明理由（圆 相似 全等）点评：此题是第6题的变式类型。小小的变化带来大不同的感受。第6题是把难度降低，增强学生解题的自信心；第8题是为下一问作铺垫，使得解题者的思维更加流畅。同时融合了三角函数进去，求角度的大小，这是一个可爱的创新。这一问的难度不比第（3）问小，如果第（3）问和第（2）问换换也不错哦。9.（2010广州一模）如图，已知AB是O的直径，直线l与O相切于点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，连接AC（1）求证：AC平分DAB；（2）若AD=3，求直径AB的长 （1） 证明：连接OC，直线l与O相切于点COCl，ADl，OCAD，1=2，又OA=OC，2=3，1=3，即AC平分DAB 点评： 第（1）问融入了一种常用思路：；竟然也包含另外一种常用思路：； 第（2）问使用解法一思路流畅自然；使用解法二观察图形思维深刻，有比较强烈的应用三角函数的意识，说明你已经比较深刻地理解了相似和三角函数的关系。10. 如图半圆O的直径AB=10cm，把弓形AD沿直线AD翻折，交直径AB于点C，若AC=6cm，则AD的长为（）cm 解法一： 解法二： 点评：解法一是垂径定理、全等三角形的证明和勾股定理的计算组合，以全等作为主体，构思巧妙，观察细致独到，思考问题要独具匠心；解法二是垂径定理、中位线定理、相似或者勾股定理的组合，以垂径定理为主体，结合勾股定理和中位线打开思路，走的是一条常规性的思路，思路流畅自然，水到渠成。11. 如图，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，AC平分DAB（1）求证：ADCD；（2007越秀区二模）（2）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，若AD=2， ，求点B的坐标 （1） 连接OC，由于CD是切线，那么DCO=DCA+ACO=90，而OA=OC，于是OAC=ACO，再结合AC是DAB平分线，易知DAC=OAC，从而有DAC=ACO，于是DCA+DAC=90，即可证ADCD；（2） 连接BC，由（1）知DAC=BAC，而ADC=ACB=90，易证ADCACB，利用比例线段求AB，进而可求OB，即可求出点B的坐标点评： 第（1）问融入了两种常用思路：；在这种位置的相似三角形（ ADCACB）中，你要有足够的解题经验，培养你洞察问题的眼力，这三条共端点的线段满足：，或者，知二求一。这是要求学生锤炼基本功，积累一定的解题经验。 编者把这个图形有意放进平面直角坐标系中，但是整个解题过程直到最后一步才与平面直角坐标系发生了一毛钱的关系，这个坐标系真是画蛇添足，无聊透顶，大煞风景。12.如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12（1）求证：BADC=GCAD；（2）求BM 点评：这是原文的答案，一模一样贴出来。第（2）问的解法老套陈旧，还在运用切割线定理解题，现在有多少学生能够一眼看懂这样的解法。第（1）问的设计思路值得商榷，你这个铺垫就是把学生的思路往死路上引导。一旦跟着这个思路走进去了，就是走进了编题者布置的迷宫里，走得出来就是你的运气，走不出来活该你倒霉。还有题干中AB=10，AC=12这些条件干嘛不放进第（2）问中。如果有个学生第（1）问就纠结在那些怪圈和迷宫之中，那多么浪费时间。挺简单很直观的一个思路，就是证明BAOBGAAGO.，没必要复杂化。由于BAOBGA，紧扣相似比10:8，。13. 如图直线y=x与双曲线在第一象限的交点为点A，将直线沿y轴向下平移使其经过双曲线上的点B（a，1），且交y轴于点C（1）求点A的坐标及直线BC的解析式；（2）求四边形AOCB面积；（3）在x轴上确定点P，使ABP是以AB为直角边的直角三角形 点评：此题综合的内容多：一次函数，反比例函数，梯形；求点的坐标，求解析式，求面积，千头万绪，变化多端，但是每一个要求，每一个问题都是紧扣重难点，紧扣基本技能的训练和提高，而且充分重视了试题选拔功能，三个问题之间的难易度分布合理，不动声色地融合了分类讨论思想、归结转化思想、数形结合思想。这样的题想不出彩也难。解答这类压轴题，必须设法将直角三角形的问题转化为相似问题，尽量避免用勾股定理进行复杂的计算，这是归结转化思想的精髓；设法将计算转化到x轴、y轴上，这里PH、HG落在x轴上，BH与y轴平行，只有把计算定位到x轴、y轴上才有利于P点坐标的计算，这才是体现数形结合思想的精髓所在。第二部分：1. 如图将RtABC沿着射线BC的方向平移得到RtDEF，如果AB=8，BE=5，DG=3，则CE等于（） 2. 如图，RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，点D是BC边的中点，动点P从点C出发，沿CAB的方向在AC、AB边上以每秒2个单位的速度向点B移动，运动至点B即停止连接PD，当点P运动时间t=_时，线段PD截RtABC为两部分所得的三角形与RtABC相似答案： 3.如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：（1）FEB=CEB； （2）EF2=ADBC4.如图，在ABC和ADE中，点B在ED的延长线上， （1）求证：ABCADE；（2）若BAD=15，求CBE的度数 5. 如图，在ABC中，点D、E是边BC上的两点，且AD=AE，若BAC=110，DAE=40（1）写出图中所有相似的三角形；（2）请你选取其中的任何一对加以证明（3）若BAC=130，当DAE= 80_时，（1）中的结论仍然成立6.（2007南长区二模）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4，COA=45，点P为x轴上一个动点，（点P不与O、A重合）