数学分析之流行上微积分学初阶.doc

数学分析教案第二十三章 流行上微积分学初阶 教学目的：1.理解和掌握向量函数、向量函数的极限、连续和一致连续等的概念，掌握有界闭区间上连续向量函数的性质； 2、理解向量函数的可微、隐向量函数和反向量函数的概念，掌握他们可微的条件，会求向量函数、隐向量函数、反向量函数及复合向量函数的导数。 3、用向量作为工具研究函数极值。. 4、掌握外积、基本微分形式、以及微分形式外微分的概念及运算，能用外积为工具来理解证明一些多重积分的变量替换公式。 教学重点难点：本章的重点是向量函数的极限、连续与微分；难点是复合向量函数、隐函数和反向量函数的求导讨论。 教学时数：14学时 1 n维欧氏空间与向量函数 一 n维欧氏空间 1.n维向量空间：所有n个有序数组（ ）的全体.2. n维欧氏空间 ：定义了内积的n维向量空间.3. 中的距离 ： = .1. n维球形邻域 ： = 表示以 为中心，半径为 的n维球形邻域.2. 超平面：点集 当3时，称它为中的一个超平面.定理23.1 设 ，则 为收敛点列的充要条件是：任给 ，存在 ，当 时，对一切正整数 都有（证明从略）.二 向量函数 1. 向量函数：若 是 的一个子集，对每一个 ，都有唯一的一个 ，使 ，则称 为 到 的向量函数（也简称函数或称映射），记作 或简单地记作 ，其中， 称为函数的定义域.2. 原象：在映射的意义下， 在 下的象为 在 下的象集为 称为 的原象.3. 一一映射：设 ，若对任何 ，只要 就有 ，则称 为 到 的一一映射（或称为单射）.三 向量函数的极限和连续 1. 设 是 的聚点， ： 若存在 ，对于 的任意小的邻域 ，总有 的空心邻域 ，则称在集合 上当 时， 以 为极限，记作不致混淆的情况下，或 时，简称 时 以 为极限，并记作 2. 设 ， ： 若对任何 ， 使得 则称 在点 （关于集合 ）连续.如果 在 上每一点都连续，则称 为 上的连续函数.定理23.2 设 若 在点 连续， 在点 连续，则按（6）（7）（8）定义的向量函数 都在点 连续.定理23.3 函数 ： 在点 连续的充要条件为：任何点列 收敛于 时， 都收敛于 .定理23.4 若 是有界闭集， 为 上的连续函数，则 也是有界闭集.定理23.5 若 是有界闭集， 为 上的连续函数，则 直径可达，即存在 ，使得 .定理23.6 若 是有界闭集， 为 上的连续函数，则 在 上一致连续.即任给 ，存在只依赖于 的 ，只要 且 ，就有.定理23.7 若 是道路连通集， 为 上的连续函数，则 也是道路连通集.第一章 实数集与函数导言 数学分析课程简介 ( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算、实数定义等问题引入. 2.极限 ( limit ) 变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的 ), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: 1华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； 2刘玉琏 傅沛仁 编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； 3谢惠民，恽自求 等 数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； 4马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999； 5林源渠，方企勤 数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按1的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.4.讲解的重点: 概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧. 某些精细概念之间的本质差别.五.要求、辅导及考试： 1.学习方法:尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为 : 3。对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的.2.作业: 作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容. 大体上每周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写工整. 3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4. 考试: 按教学大纲的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括1中的典型例题. 考试题为标准化试题， 理论证明题逐渐增多.第一章 实数集与函数教学目的：1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。 教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。 教学时数：10学时 1 实数（2学时）教学目的：使学生掌握实数的基本性质教学重点：1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用教学方法：讲授（部分内容自学）一复习引新：1.实数集 ：回顾中学中关于实数集的定义.2.四则运算封闭性: 3.三歧性( 即有序性 ): 4.Rrchimedes性: 5.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.6.实数集的几何表示 数轴: 7.两实数相等的充要条件: 8.区间和邻域: 二. 讲授新课： （一）. 几个重要不等式: 1. 绝对值不等式: 定义 1P3 的六个不等式. 2. 其他不等式: 均值不等式: 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值)有平均值不等式: 等号当且仅当 时成立. Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式 当 且 , 且 时, 有严格不等式 证： 由 且 利用二项展开式得到的不等式: 对 由二项展开式 有 上式右端任何一项.作业：（）（）、（） 2 数集确界原理 （4时）教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。教学要求：1. 掌握邻域的概念；2. 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。教学方法：讲授为主。 一、区间与邻域二、有界数集与确界原理: 1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界)， 闭区间、 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. 无界数集: 定义, 等都是无界数集, 集合 也是无界数集.2.确界:给出直观和刻画两种定义. 例1 则 则 例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 例3 设和是非空数集，且有则有. 例4 设和是非空数集. 若对和都有则有 证 是的上界, 是的下界, 例5 和为非空数集, 试证明: 证 有或由和分别是和的下界,有或 即是数集的下界, 又的下