2019届南通三模数学参考答案.pdf

数学参考答案与评分细则 第 1 页 共 14 页 结束 Y 输出 y N 第 3 题 开始 输入 x y 3 x x 1 y 3 x 南通市 2019 届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议数学学科参考答案及评分建议 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 1 已知集合 则 1 0 2 3 U 0 3 A UA 答案 1 2 2 已知复数 i 是虚数单位 是纯虚数 则实数的值为 i 13i a z a 答案 3 3 右图是一个算法流程图 若输出的值为 4 则输入 x 的值 y 为 答案 1 4 已知一组数据 6 6 9 的平均数是 且 xy890 xy 则该组数据的方差为 答案 14 5 5 一只口袋装有形状 大小都相同的 4 只小球 其中有 3 只白球 1 只红球 从中 1 次随机 摸出 2 只球 则 2 只球都是白球的概率为 答案 1 2 6 已知函数 则不等式的解集为 2 2 20 20 xxx f x xxx f xfx 答案 2 0 2 7 已知是等比数列 前项和为 若 则的值为 n an n S 32 4aa 4 16a 3 S 答案 14 8 在平面直角坐标系中 双曲线 的右准线与两条渐近线分别 xOy 2 2 22 1 y x ab 00ab 交于 A B 两点 若 AOB 的面积为 则该双曲线的离心率为 4 ab 答案 2 9 已知直角梯形 ABCD 中 AB CD AB BC AB 3 cm BC 1 cm CD 2 cm 将此直角梯形 数学参考答案与评分细则 第 2 页 共 14 页 绕 AB 边所在的直线旋转一周 由此形成的几何体的体积为 cm3 答案 7 3 10 在平面直角坐标系中 若曲线与在上交点的横坐标为 xOysin2yx 1tan 8 yx 2 则的值为 sin2 答案 15 8 11 如图 正六边形中 若 则的值为 ABCDEFADACAE R 答案 4 3 12 如图 有一壁画 最高点处离地面 6 m 最低点处离地面 3 5 m 若从离地高 2 m 的 AB 处观赏它 则离墙 m 时 视角最大 C 答案 6 13 已知函数 若对任意 总存在 使得 2 23f xxxa 2 1 g x x 1 0 3x 2 2 3x 成立 则实数的值为 12 f xg x a 答案 1 3 14 在平面四边形 ABCD 中 若 90BAD 2AB 1AD 4 3 AB ACBA BCCA CB 则的最小值为 1 2 CBCD 答案 26 2 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 15 本小题满分 14 分 在 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 所对边的长 sinsin sinsin aABcbBC 1 求角的值 C A B C DE F 第 11 题 A B C 6 2 3 5 第 12 题 数学参考答案与评分细则 第 3 页 共 14 页 A B C D P E F 第 16 题 2 若 求的值 4ab sinB 解 1 在 ABC 中 因为 sinsin sinsin aABcbBC 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 所以 3 分 a abbc cb 即 222 abcab 由余弦定理 得 5 分 222 2coscababC 1 cos 2 C 又因为 所以 7 分 0 C 3 C 2 方法一 因为及 4ab 222 abcab 得 即 10 分 22222 16413cbbbb 13cb 由正弦定理 得 sinsin cb CB 13 sin 3 2 bb B 所以 14 分 39 sin 26 B 方法二 由正弦定理 得 sinsin ab AB sin4sin AB 由 得 ABCsin 4sin BCB 因为 所以 3 C 31 sincos4sin 22 BBB 即 11 分 7sin3cos BB 又因为 解得 22 sincos1 BB 23 sin 52 B 因为在 ABC 中 sin0 B 所以 14 分 39 sin 26 B 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是平行四边形 平面 BPC 平面 DPC E F 分别是 PC AD 的中点 BPBC 求证 1 BE CD 2 EF 平面 PAB 证 1 在 PBC 中 因为 E 是 PC 的中点 BPBC 数学参考答案与评分细则 第 4 页 共 14 页 A B C D P E F H 所以 BE PC 2 分 又因为平面 BPC 平面 DPC 平面 BPC平面 DPC 平面 BPC PC BE 所以 BE 平面 PCD 5 分 又因为平面 DPC CD 所以 BE CD 7 分 2 取 PB 的中点 H 连结 EH AH 在 PBC 中 又因为 E 是 PC 的中点 所以 HE BC 9 分 1 2 HEBC 又底面 ABCD 是平行四边形 F 是 AD 的中点 所以 AF BC 1 2 AFBC 所以 HE AF HEAF 所以四边形 AFEH 是平行四边形 所以 EF HA 12 分 又因为平面 PAB 平面 PAB EF HA 所以 EF 平面 PAB 14 分 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 的上顶点为 2 2 22 1 y x C ab 0ab 03A 圆经过点 2 22 4 a O xy 0 1M 1 求椭圆的方程 C 2 过点作直线交椭圆于 两点 过点作直线的垂线交圆于另一点 M 1 lCPQM 1 l 2 lON 若 PQN 的面积为 3 求直线的斜率 1 l 解 1 因为椭圆的上顶点为 所以 C 03A 3b 又圆经过点 2221 4 O xya 0 1M 所以 2 分 2a 所以椭圆的方程为 4 分 C 2 2 1 43 y x x O A 第 17 题 y M N P Q 数学参考答案与评分细则 第 5 页 共 14 页 2 若的斜率为 0 则 1 l 4 6 3 PQ 2MN 所以 PQN 的面积为 不合题意 所以直线的斜率不为 0 5 分 4 6 3 1 l 设直线的方程为 1 l1ykx 由消 得 2 2 1 43 1 y x ykx y 22 34 880kxkx 设 11 P xy 22 Q xy 则 2 1 2 42 621 34 kk x k 2 2 2 42 621 34 kk x k 所以 22 1212 PQxxyy 8 分 22 2 12 2 4 6 121 1 34 kk kxx k 直线的方程为 即 2 l 1 1yx k 0 xkyk 所以 11 分 2 2 2 2 2 1 1 1 k MN k k 所以 PQN 的面积 1 2 SPQ MN 22 2 2 4 6 12112 3 2 34 1 kk k k 解得 即直线的斜率为 14 分 1 2 k 1 l 1 2 18 本小题满分 16 分 南通风筝是江苏传统手工艺品之一 现用一张长 2 m 宽 1 5 m 的长方形牛皮纸 ABCD 裁剪 风筝面 裁剪方法如下 分别在边 AB AD 上取点 E F 将三角形 AEF 沿直线 EF 翻折到 处 点落在牛皮纸上 沿 裁剪并展开 得到风筝面 如图 1 A EF A A E A F AEA F 1 若点 E 恰好与点 B 重合 且点在 BD 上 如图 2 求风筝面的面积 A ABA F 2 当风筝面的面积为时 求点到 AB 距离的最大值 AEA F 2 3 m A 图 1 AB CD F E A 图 2 AB E CD F A 数学参考答案与评分细则 第 6 页 共 14 页 解 1 方法一 建立如图所示的直角坐标系 则 2 0B 3 0 2 D 直线的方程为 2 分 BD3460 xy 设 0Fb 0b 因为点 F 到 AB 与 BD 的距离相等 所以 解得或 舍去 4 分 46 5 b b 2 3 b 6b 所以 ABF 的面积为 2122 2m 233 所以四边形的面积为 ABA F 24 m 3 答 风筝面的面积为 6 分 ABA F 24 m 3 方法二 设 则 ABF 2ABA 在直角 ABD 中 2 分 3 tan2 4 AD AB 所以 2 2tan3 4 1tan 解得或 舍去 1 tan 3 tan3 所以 4 分 2 tan 3 AFAB 所以 ABF 的面积为 2122 2m 233 所以四边形的面积为 ABA F 24 m 3 答 风筝面的面积为 6 分 ABA F 24 m 3 2 方法一 建立如图所示的直角坐标系 设 AEa AFb 00 A xy 则直线的方程为 EF0bxayab 因为点 A 关于直线对称 A EF AB CD F Ex y A A CD F B E x y A A CD F B E A 数学参考答案与评分细则 第 7 页 共 14 页 所以 0 0 00 0 22 y a xb bxay ab 解得 10 分 2 0 22 2a b y ab 因为四边形的面积为 所以 AEA F 33ab 所以 3 0 4 3 2 32 3 3 3 a y a a a 因为 所以 12 分 02a 3 0 2 b 2 3 2 3 a 设 3 3 f aa a 2 3 2 3 a 2 44 3 3 3 9 1 aaa fa aa 令 得或 舍去 0fa 3a 3a 列表如下 当时 取得极小值 即最小值 3a f a 4 3 3 所以的最大值为 此时点在 CD 上 0 y 3 2 A 3a 1b 答 点到 AB 距离的最大值为 16 分 A 3m 2 方法二 设 则 AEa AEF tanAFa 因为四边形的面积为 所以 AEA F 33AE AF 即 所以 2 tan3a 2 3 tan a 过点作 AB 的垂线 垂足为 T A A T 则 10 分 sin2sin2sin2A TA EAEa 2 222 43 3 2 2 32sincos2tan 33 sincostan1 1 a aaa a aa a 2 3 3 3 3 3 2 fa 0 f a 单调递减 极小值 单调递增 A AB CD F E T 数学参考答案与评分细则 第 8 页 共 14 页 因为 所以 12 分 02AE 3 0 2 AF 2 3 2 3 a 下同方法一 19 本小题满分 16 分 已知数列满足 n a 11 2 21 nnnn naaaa 2n 1 n n bn a n N 1 若 证明 是等比数列 1 3 a n b 2 若存在 使得 成等差数列 k N 1 k a 1 1 k a 2 1 k a 求数列的通项公式 n a 证明 1 11 lnln 1 22 nn nana 证 1 由 得 11 2 21 nnnn naaaa 1 12 2 nn n aa 得 即 1 11 21 nn nn aa 1 2 nn bb 因为 所以 所以 1 3 a 1 1 12 1 0 3 b a 1 2 n n b b 2n 所以是以为首项 2 为公比的等比数列 4 分 n b 1 b 解 2 设 由 1 知 1 1 1 a 1 2 nn bb 所以 即 21 121 222n nnn bbbb 11 2n n n a 所以 6 分 11 2k k k a 因为 成等差数列 1 k a 1 1 k a 2 1 k a 则 11 2 22 2 21 kkk kkk 所以 所以 1 20 k 0 所以 即 10 分 1 n n a 1 n a n 要证 1 11 lnln 1 22 nn nana 即证 即证 1 11 ln 2 nn n aa n 111 2ln 1 n nnn 设 则 且 1n t n 1111 1 1 t tt nntt 1t 从而只需证 当时 12 分 1t 1 2lntt t 数学参考答案与评分细则 第 9 页 共 14 页 设 1 2lnf xxx x 1x 则 2 2 121 1 1 0fx xx x 所以在上单调递增 f x 1 所以 即 1 0f xf 1 2lnxx x 因为 所以 1t 1 2lntt t 所以 原不等式得证 16 分 20 本小题满分 16 分 已知函数 是自然对数的底数 2 1ln ax f x x 0a e 1 当时 求的单调增区间 0a f x 2 若对任意的 求的最大值 1 2 x 1 2ebf x b R b a 3 若的极大值为 求不等式的解集 f x2 e0 x f x 解 1 的定义域为 f x 11 0 ee 由 2 分 2 22 11 2 1ln 2 ln 2 1ln 1ln axxaxaxx x fx xx 令 因为 得 0fx 0a 1 2 ex 因为 1 1 2 ee 所以的单调增区间是 4 分 f x 1 2 e 2 当时 不合题意 0a 1 1 02ebfa 当时 令 得或 0a 0fx 1 0ex 1 1 2 eex 所以在区间和上单调递减 f x 1 0 e 1 1 2 ee 因为 且在区间上单调递增 1 1 2 1 ee 2 f x 1 2 e 所以在处取极小值 即最小值为 6 分 f x 1 2 ex 2 e a2 e a 若 则 即 1 2 x 1 2ebf x 12 2e e ba eba 不妨设 则 8 分 0b eb bb a 数学参考答案与评分细则 第 10 页 共 14 页 设 则 eb b g b 0b 1 eb b g b 当时 当时 01b 0g b 1b 0g b 所以在上单调递增 在上单调递减 g b 0 1 1 所以 即 1 g bg 1 e eb b 所以的最大值为 10 分 b a 1 e 3 由 2 知 当时 无极大值 0a f x 当时 在和上单调递增 在上单调递减 0a f x 1 0 e 1 1 2 ee 1 2 e 所以在处取极大值 f x 1 2 ex 所以 即 12 分 1 2 2 e 2 e a f ea 设 即 exF xf x 2 e e 1ln xx F x x 当 所以 1 0 ex 1ln0 x 0F x 当 1 ex 2 e 12ln e 1ln x xx F x x 由 2 知 又 eexx 2 12ln 1ln xx 所以 且不恒为零 0F x F x 所以在上单调递增 F x 1 e 不等式 即为 所以 e0 x f x 0 1 F xF 1 e1x 即不等式的解集为 16 分 1 e1 数学 附加题 21 选做题 本题包括 A B C 三小题 请选定其中两题 并在答题卡相应的答题区域内作答 A 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知 矩阵的逆矩阵 若曲线 C 在矩阵对应abcd R 2 0 a b A 1 1 1 c d AA 数学参考答案与评分细则 第 11 页 共 14 页 的变换作用下得到曲线 求曲线 C 的方程 21yx 解 由题意得 即 1 10 01 AA 212210 0101 acadac bdbdb 所以 1120abcd 即矩阵 5 分 12 01 A 设为曲线 C 上的任意一点 在矩阵对应的变换作用下变为点 P xy A P xy 则 即 8 分 12 01 xx yy 2 xxy yy 由已知条件可知 满足 整理得 P xy 21yx 2510 xy 所以曲线 C 的方程为 10 分 2510 xy B 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在直角坐标平面内 以原点 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 已知点 AB 的极坐标分别为 曲线的方程为 4 2 5 2 2 4 Cr 0r 1 求直线的直角坐标方程 AB 2 若直线和曲线有且只有一个公共点 求的值 ABCr 解 1 分别将 转化为直角坐标为 4 2 A 5 2 2 4 B 0 4A 22B 所以直线的直角坐标方程为 4 分 AB340 xy 2 曲线 C 的方程为 其直角坐标方程为 r 0r 222 xyr 又直线 AB 和曲线 C 有且只有一个公共点 即直线与圆相切 所以圆心到直线 AB 的距离为 22 2 104 5 31 即的值为 10 分 r 2 10 5 C 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 已知 若关于的方程有实根 求的取值范围 a Rx 2 410 xxaa a 数学参考答案与评分细则 第 12 页 共 14 页 解 因为关于的方程有实根 x 2 410 xxaa 所以 即 4 分 164 1 0aa 41aa 当时 得 1a 421a 5 1 2 a 当时 14 恒成立 即 01a 01a 当时 得 0a 412a 0 3 2 a 综上 所求的取值范围为 10 分 a 35 22 a 必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出 文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 现有一款智能学习 APP 学习内容包含文章学习和视频学习两类 且这两类学习互不影响 已知该 APP 积分规则如下 每阅读一篇文章积 1 分 每日上限积 5 分 观看视频累计 3 分钟 积 2 分 每日上限积 6 分 经过抽样统计发现 文章学习积分的概率分布表如表 1 所示 视频 学习积分的概率分布表如表 2 所示 1 现随机抽取 1 人了解学习情况 求其每日学习积分不低于 9 分的概率 2 现随机抽取 3 人了解学习情况 设积分不低于 9 分的人数为 求的概率分布及 数学期望 解 1 由题意 获得的积分不低于 9 分的情形有 因为两类学习互不影响 所以概率 111111115 926223229 P 文章345