高三数学问题：1.2集合与其他知识的交汇问题含答案.doc

2017届高三数学跨越一本线问题二 集合与其他知识的交汇问题集合概念及其基本理论,称为集合论,是近代数学的一个重要基础,一方面,许多重要的学科,如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计等,都建立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得到应用,在高考中以简易逻辑、函数、方程、不等式、向量、解析几何等为背景的集合问题在试卷中频频出现,这类问题主要考查集合语言及集合思想的应用,解题时要求首先读懂集合语言,脱去其外衣,挖掘其本质的数量关系,再利用相关知识解决本文重点总结集合在函数、不等式、数列、解析几何等知识中的应用,一、集合与函数的交汇集合与函数的交汇问题主要有两类,一是与函数定义域及值域有关的集合运算问题,解决此类一般是先把参与运算的集合化为最简,然后再按集合的运算法则进行运算；另一类是具有某些性质的函数组成一个集合,解决此类问题是理解集合中元素的特征,根据其特征把问题转化为函数问题求解. 【例1】已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数T,对任意R,有成立.（1）函数是否属于集合M？说明理由；（2）设函数且）的图象与的图象有公共点,证明：M；（3）若函数M ,求实数的取值范围.【分析】抓住集合M元素的特征,集合M是由满足的函数构成【解析】（1）对于非零常数T,f （x+T）=x+T,Tf （x）Tx因为对任意xR,x+T =Tx不能恒成立,所以f （x）x M （2）因为函数f （x）=ax （a0且a1）的图象与函数y=x的图象有公共点,所以方程组： 有解,消去y得ax=x,显然x=0不是方程的ax=x解,所以存在非零常数T,使aT=T于是对于f （x）=ax ,有f （xT）=ax+T = aTax=Tax =T f （x）,故f （x）=axM（3）当k=0时,f （x）=0,显然f （x）=0M当k0时,因为f （x）=sinkxM,所以存在非零常数T,对任意xR,有f （xT）= T f （x）成立,即sin（kxkT）= T sinkx因为k0时,且xR,所以kxR,kxkTR,于是sinkx1,1,sin（kxkT） 1,1,故要使sin（kxkT） = Tsinkx成立,只有T=1当T1时,sin（kxk）= sinkx成立,则k=2mp,mZ当T1时,sin（kxk）= sinkx成立,即sin（kxkp）= sinkx成立,则kp=2mp,mZ,即k= （2m1）p,mZ综合得,实数k的取值范围是k | k= mp,mZ 【点评】首先确定集合中的元素是什么,弄清集合元素的特征,然后按集合中元素满足的条件进行再运算【小试牛刀】【2017届河北武邑中学测试】设全集,函数的定义域为,集合,若恰好有两个元素,则的取值的集合【答案】【解析】由可得或,故,而,所以由题设可得,即,故应填答案.二、集合与数列的交汇【例2】设集合由满足下列两个条件的数列构成：；存在实数,使（为正整数）.在只有项的有限数列,中,其中；试判断数列,是否为集合的元素；设是各项为正的等比数列,是其前项和,证明数列；并写出的取值范围；【分析】求解此题的关键是理解中集合的数列所满足的两个条件【解析】对于数列,取,显然不满足集合的条件,故不是集合中的元素,对于数列,当时,不仅有,而且有,显然满足集合的条件,故是集合中的元素【小试牛刀】已知集合中的元素都是正整数,且,集合具有性质：对任意的,且,有() 判断集合是否具有性质；() 求证：【解析】()由于,所以集合具有性质 （）证明：依题意有,又,因此可得所以即 三、集合与不等式的交汇集合的元素就是不等式的解,通过解不等式,从而确定集合元素的范围,转化为集合的运算处理【例3】【2017吉林镇赉县高三月考】已知集合,若,求实数的取值范围【分析】集合是不等式的解集,可先通过解不等式化简给定集,再利用集合运算确定实数的取值范围【点评】集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提【小试牛刀】若集合,则所含的元素个数为（ ）A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】由,得,解得,由于,由,得或,因此,因此所含两个元素,故答案为C.四、集合与向量的交汇集合是某些指定对象构成的,由向量构成的集合,要将集合的运算与向量的运算联系起来【例4】已知,是两个向量集合,则（ ）A B C D【分析】集合的元素表示向量,两个集合的交集就是由相等向量组成,故利用向量相等的条件可求【解析】选A,由,得,所以,【点评】本题以集合为背景,考查了向量相等的充要条件,命题新颖独特【小试牛刀】对任意两个非零的向量和,定义；若向量满足,与的夹角,且都在集合中,则（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意可得,同理可得,故由且.再有,与的夹角,可得,即,由此可得,从而.故选C.五、集合与解析几何的交汇曲线是由满足某种条件的点组成的集合,由集合的运算得出曲线之间具有的某种特殊位置关系,进而转化为解析几何知识求解【例5】已知,则（ ）A2 B6 C2 D一2或6【分析】首先分析集合是除去点的直线,集合表示过定点的直线,等价于两条直线平行或者直线过,进而列方程求的值【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键【小试牛刀】【2016届宁夏银川一中高三上学期第四次月考】已知集合,若对于任意实数对,都存在,使得成立,则称集合是“垂直对点集”给出下列四个集合：；,其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A B C D【答案】C【解析】记,则由得,对,对任意,不存在,使得,对,当为点时,不存在满足题意,对过原点任作两条相互垂直的直线它们都与函数的图象相交,即满足题意,故选C集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理【迁移运用】1【2017届河北磁县一中高三11月月考】若集合,则等于（ ）A. B.C. D.【答案】C2【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺】已知集合,则集合B不可能是（ ）ABCD【答案】D【解析】,故选D.3【2016福建厦门一中月考】在直角坐标系中,全集,集合,已知集合的补集所对应区域的对称中心为,点是线段上的动点,点是轴上的动点,则周长的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】点到直线的距离直线始终与圆相切,集合表示除圆以外所有的点组成的集合,集合表示圆,其对称中心如图所示：设是点关于直线线段的对称点,设,则由求得,可得设关于轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为,则此时,的周长为,为最小值,4【2016届山东省济南高三上学期期末】已知集合,若,则等于A.9 B.8 C.7 D.6【答案】C【解析】,若,则,则.5.集合,若“”是“”的充分条件,则b的取值范围是（ ）A-2b2 B-20(aR);（2）设A为（1）中不等式的解集,集合,若（A）B恰有3个元素,求a的取值范围.【解析】：（1）原不等式|x1|1a当1a1时,原不等式对任意xR成立；当1a=0,即a=1时,原不等式|x1|0x1;当1a0,即a1时,原不等式x11ax2a于是综合上述讨论可知,当a1时,原不等式的解集为R；当a1时,原不等式的解集为（,a）（2a,+ ）（2）由（1）知,当a1时, A=；当a1时, A=x|ax2a注意到=（A）B恰有3个元素A恰含三个整数元素.（A有三个元素的必要条件）(对A=a,2a的右端点的限制)(对A=a,2a的左端点的限制)故得10,0,这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a110,如果AB,那么根据(2)的结论,AB至多有一个元素(x0,y0),而x00,y00,这样的(x0,y0)A,产生矛盾,故a11,d1时,AB,所以,当a10时,一定有AB是不正确的22【2015中国人民大学附属中学高考冲刺】若为集合且的子集,且满足两个条件：；对任意的,至少存在一个,使或.则称集合组具有性质.如图,作行列数表,定义数表中的第行第列的数为.（）当时,判断下列两个集合组是否具有性质,如果是请画出所对应的表格,如果不是请说明理由；集合组1：；集合组2：.（）当时,若集合组具有性质,请先画出所对应的行3列的一个数表,再依此表格分别写出集合；（）当时,集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组,求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）【答案】（）集合组1具有性质；集合组2不具有性质.（）111111111111000000000. （）.【解析】（）解：集合组1具有性质.所对应的数表为：011000011001集合组2不具有性质. 因为存在,有,与对任意的,都至少存在一个,有或矛盾,所以集合组不具有性质.（）111111111111000000000.（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格,它们所对应的集合组也不同）（）设所对应的数表为数表,因为集合组为具有性质的集合组,所以集合组满足条件和,由条件：,可得对任意,都存在有,所以,即第行不全为0,所以由条件可知数表中任意一行不全为0.由条件知,对任意的,都至少存在一个,使或,所以一定是一个1一个0,即第行与第行的第列的两个数一定不同.所以由条件可得数表中任意两行不完全相同.因为由所构成的元有序数组共有个,去掉全是的元有序数组,共有个,又因数表中任意两行都不完全相同,所以,所以.又时,由所构成的元有序数组共有个,去掉全是的数组,共个,选择其中的个数组构造行列数表,则数表对应的集合组满足条件,即具有性质.所以.23.已知数集具有性质：对任意的,与两数中至少有一个属于.（）分别判断数集与是否具有性质,并说明理由；（）证明：,且；（）证明：当时,成等比数列.【解析】（）由于与均不属于数集,该数集不具有性质P.由于都属于数集,