柯西不等式及其应用.doc

湖北师范学院文理学院 本科毕业论文本科毕业论文 论文题目柯西不等式及其应用 作者姓名邓丽芬 指导老师 严慧 讲师 所在院系 数学系 专业名称 数学与应用数学 完成时间 2015 年 5 月 21 日 编号2015010304研究类型理论研究分类号O17 本科毕业论文诚信承诺书 中文题目 柯西不等式及其应用 外文题目 The Cauchy Inequality and Application 学生姓名邓丽芬学生学号 院系专业数学系 数学与应用数学学生班级1103 班 学学 生生 承承 诺诺 我承诺在毕业论文活动中遵守学校有关规定 恪守学术规范 本人毕业论文内容除特别注明和引用外 均为本人观点 不存在剽 窃 抄袭他人学术成果 伪造 篡改实验数据的情况 如有违规行 为 我愿承担一切责任 接受学校的处理 学生 签名 年 月 日 指导教师承诺指导教师承诺 我承诺在指导学生毕业论文 设计 活动中遵守学校有关规定 恪守学术规范 经过本人核查 该生毕业论文 设计 内容除特别 注明和引用外 均为该生本人观点 不存在剽窃 抄袭他人学术成 果 伪造 篡改实验数据的现象 指导教师 签名 年 月 日 目录目录 1 前言 1 2 柯西不等式的证明 1 2 1 利用数学归纳法证明 2 2 2 利用构造函数法证明 2 2 3 利用二次型法证明 3 2 4 利用线性相关法证明 3 2 5 利用配方法证明 4 2 6 利用初等方法证明 5 2 7 利用向量内积证明 5 3 柯西不等式的不同形式 6 3 1 柯西不等式在微积分中的形式 6 3 2 柯西不等式在线性代数中的形式 6 3 3 柯西不等式在概率论中的形式 7 3 4 柯西不等式在泛函分析中的形式 7 4 柯西不等式的应用 7 4 1 推导重要公式 8 4 2 解释样本线性相关系数 9 4 3 证明三角形不等式 11 4 4 求最值问题 11 4 5 在初等几何中的应用 13 5 柯西不等式的推广 14 5 1 推广到复数 14 5 2 赫尔德不等式 14 5 3 闵可夫斯基不等式 15 参考文献 17 柯西不等式及其应用 邓丽芬 指导老师 严慧 讲师 湖北师范学院文理学院 中国 黄石 435002 摘 要 柯西不等式是一个非常重要的不等式 灵活巧妙地应用它可以使一些较为困 难的问题迎刃而解 本文探讨了柯西不等式的七种证明方法及其推广 能够深入 地理解它的本质 并给出了柯西不等式在微积分 线性代数 概率论 泛函分析 中的另一内容和形式 充分体现了数学各领域间的内通性 渗透性和统一性 通过列举了一系列范例揭示了柯西不等式在推导公式 证明三角形不等式 求 最值等方面的广泛应用 关键词 柯西不等式 赫尔德不等式 闵可夫斯基不等式 中图分类号 O17 The Cauchy Inequality and Application Deng Lifen Tutor Yan Hui College of Arts Holder Inequality Minkowski Inequality 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 0 柯西不等式及其应用 邓丽芬 指导老师 严慧 讲师 湖北师范学院文理学院 中国 黄石 435002 1 前言 柯西不等式是柯西 Cauchy 在研究数学分析中的 流数 问题时得到的 但从历 史的角度讲 该不等式应称为 Cauchy Buniakowsky Schwarz 不等式 柯西 布尼亚科 夫斯基 施瓦茨不等式 正是因为后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广知 才 将这一不等式应用到近乎完善的地步 柯西不等式在初等数学 高等数学 微积分 概率论 线性代数等领域有广泛的 应用 虽在不同的领域有着不同的形式和内容 但又统一于欧式空间两向量的内积运算 中 是异于均值不等式的另一个重要的不等式 柯西不等式的证明有很多种方法 每个 方法都有它自己的优点和缺点 要认真了解每种证明的条件和特点 理解其本质 柯西 不等式在不同领域中的证明方式充分说明了人类思维的多样性 渗透性和完备性 认识 这一点可以使思维更活跃 也可以使我们的学习更富有创造性 柯西不等式形式优美 结构巧妙 具有较强的应用性 深受人们喜爱 在形式上灵 活巧妙地应用它 可以解决数学上的不等式证明 推到空间点到直线的距离公式 三 角形相关问题求解 最值求解等很多问题 本文从柯西不等式的本质出发对其证明 探 讨了柯西不等式的多种证明方法 研究了柯西不等式几种特殊的推广形式 并通过列 举了一系列范例揭示了柯西不等式在代数 几何等各方面的广泛应用 2 柯西不等式的证明 运用数学归纳法 构造函数法 二次型法 线性相关法 配方法 以及利用初等 方法 向量内积来证明柯西不等式 让我们深入的了解其本质 证明柯西不等式有很多 种方法 除了上述所说的方法外 还可以用比较法 参数法 引进记号法 利用均值 不等式 拉格朗日恒等式等其他方法证明 定理 2 1 Cauchy 不等式 设有两组实数及为任意实数 则 12 n a aa 12 bnb b 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 1 不等式 2 22 111 nnn iiii iii abab 成立 当且仅当时取等号 12 12 n n aaa bbb 这定理在或时明显成立 所以在以下的证明 12 0 n aaa 12 0 n bbb 中 不妨设中至少有一个不是零 中也至少有一个不是零 下面 12 n a aa 12 bnb b 我们就用几种不同的方法来证明柯西不等式 理解其本质 2 1 利用数学归纳法证明 证 1 当时 不等式成立 1n 2 22 1 111 aba b 2 假设时 不等式成立 nk 令 有 2 1 1 k i i Sa 2 2 1 k i i Sb 3 1 k ii i Sab 2 123 S SS 那么当时 1nk 11 2222 1121 11 2222 12112111 2 2 3111211 2 2 311311 2 311 2 1 1 2 2 kk iikk ii kkkk kkkk kkkk kk k ii i abSaSb S SS bS aab SabS Sab SabSab Sab ab 综上所述 对 均有nN i1 2 n ii abR 2 22 111 nnn iiii iii abab 即柯西不等式得证 2 2 利用构造函数法证明 1 证 设实变量的二次函数x 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 2 2 222 1111 2 nnnn kkkkkk kkkk f xa xbxaxa bb 由于对任意实数 总有 又的系数是正数 x 0f x 2 x 于是 2 22 111 440 nnn kkkk kkk a bab 即 2 22 111 nnn kkkk kkk a bab 故柯西不等式得证 2 3 利用二次型法证明 6 证 因为 2 2222 1111 20 nnnn kkkkkk kkkk axa bxybya xb y 所以 关于的二次型非负定 yx 2222 111 2 nnn kkkk kkk axa bxyby 因此 2 11 1 2 11 0 nn kkk kk n kkk kk aa b a bb 即 2 22 111 nnn kkkk kkk a bab 2 4 利用线性相关法证明 8 证 设为向量空间 若 则 n R 1212 n nn a aab bbR 2 222222 1 1221212nnnn aba ba baaabbb 1 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 3 成立 当且仅当向量与线性相关时 1 式取等号 1 设与线性相关 则存在不全为零的实数 使 k0k 由此有 或 其中 1 1 k R k 将这两种形代入 1 式 都可得到 1 式取等号 2 若与线性无关 则对每一个 有 xR 0 x 即至少有一个 使于是 1ini 0 ii ab x 222 1122 0 nn f xab xab xab x 或 2222222 121 12212 20 nnnn f xbbbxaba ba bxaaa 因为 否则与线性相关与题设矛盾 0 于是有不全为零且 所以可得到 12 n b bb 222 12 0 n bbb 0 即 2 222222 1 1221212 440 nnnn aba ba baaabbb 于是 2 222222 1 1221212nnnn aba ba baaabbb 2 5 利用配方法证明 证 由于 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 4 0 2 1 2 2 1 11 2 11 2222 11 22 1111 22 111 2 1 2 2 11 2 1 2 n i n j ijji n i n j ijjjiiji n i n j jjiiji n i n j jjii n i n j ji n j jj n i ii n j j n i i n i ii n i i n i i baba babababa bababa bababa bababa baba 所以可得 2 22 111 nnn iiii iii abab 当且仅当 即时 等号成立 ijji baba nji b a b a j j i i 2 1 2 6 利用初等方法证明 1 证 先设 此时 所要证的不等式为 22 11 1 nn ii ii ab 1 1 n ii i ab 事实上 因为 22 1 1 2 2 iiii a babin 所以把这个不等式相加 就可得到 n 1 1 n ii i ab 我们可把一般情形化为特殊形式 这里在已知不等式 22 1 2 iiii xyxy 中 令 1 2 2 1 i i n i i a x a 1 2 2 1 i i n i i b y b 并取 得个不等式 一起相加 有1 2 in n 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 5 1 2 22 111 nnn iiii iii abab 于是 1 2 22 1111 nnnn iiiiii iiii ababab 再把上式平方 即得 2 22 111 nnn iiii iii abab 2 7 利用向量内积证明 5 证 设 是与的夹角 1212 nn aa aabb bb a b 由 cos cos1a bab 则 cosa babab 即 222 a bab 所以 2 222222 1 1221212nnnn aba ba baaabbb 当且仅当或时 等号成立 0 180 即与平行 时 等号成立 a b 12 12 n n aaa bbb 3 柯西不等式的不同形式 柯西不等式有各种各样的类型 在不同的数学领域中都有着极广泛的应用 它在不 同的数学领域有不同的形式和内容 它能启发人们得到灵活多样的证明思维 但其本 质是不变的 这些都充分体现了数学各领域间的内通性 渗透性和统一性 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 6 3 1 柯西不等式在微积分中的形式 4 微积分中的柯西不等式称为柯西 许瓦兹不等式 Cauchy Schwarz 不等式 其公式 为 对于区间上的任意可积实函数 a b f xg x 均有 2 22 bbb aaa f x g x dxfx dxgx dx 3 2 柯西不等式在线性代数中的形式 4 在线性代数中的柯西不等式称为柯西 布涅柯斯基不等式 Cauchy Bunyakovski 不 等式 其公式为 向量 有 当且仅当存在不全为零的常数 使时 等式成立 即二矢量内积小于 12 k k 12 0kk 等于二矢量长度之积 3 3 柯西不等式在概率论中的形式 2 在概率论中的柯西不等式称为柯西 许瓦兹矩不等式 其公式为 对于 若 存在 则有 22 EE 2 22 EEE 当且仅当时 等式成立 其中为常数 0 1Pt 0 t 该不等式反应了两个随机变量之间具有的线性关系 以随机变量的数字特征形式 给出 3 4 柯西不等式在泛函分析中的形式 3 在泛函分析中的柯西不等式的形式为 设为内积空间 则对于 均有U x yU x yxy 在学习柯西不等式的不同阶段接触到的柯西不等式的形式和内容有所不同 但它 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 7 们的本质基本相同 所以在学习中 要区分开这些形式 线性代数和概率论所在的公式 具有一般性和抽象性 它体现了线性代数 概率论 高等数学与初等数学之间的相互 渗透 相互促进的内在联系 正如德国数学家希尔伯特所说的一句名言 数学是一有 机整体 它的生命力依赖于各部分的联系 4 柯西不等式的应用 通过利用柯西不等式推导空间一点到平面的距离公式 两平行线间的距离公式 解释样本线性相关系数 证明三角不等式 解决极值问题及在平面几何中的应用 深 入体会柯西不等式应用的广泛性 及其在解决问题上的技巧 使之以简捷 严谨 快 速的方式解决 4 1 推导重要公式 4 1 1 空间一点到平面的距离公式 例 4 1 1 6 推导空间一点到平面的距离公式 000 p xyz 0AxByCzD 000 222 AxByCzD d ABC 解 设是平面上任意一点 1111 zpx y 0AxByCzD 则 111 0AxByCzD 那么 222 1010101 ppxxyyzz 的最小值就是到平面的距离 p 由柯西不等式得 222 222222 1010101 010101 000 ABCPPABCxxyyzz A xxB yyC zz AxByCzD 即 222 000 1 CBA DCzByAx pp 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 8 当且仅当 平面时取等号 1 pp 故点到平面的距离公式是 000 p xyz 0AxByCzD 000 222 AxByCzD d ABC 同理 令在利用柯西不等式可得到点到直线的距离公式是0z 00 22 AxByD d AB 4 1 2 两平行直线之间的距离公式 例 4 1 2 6 已知两平行直线和 求两直线的距 1 0l AxByC 2 0m AxByC 离 d 解 设 分别是直线 和上任意两点 则 11 M x y 22 N xylm 1 111 0AxByC 2 222 0AxByC 22 1212 MNxxyy 由柯西不等式得 22 2222 1212 1212 ABMNABxxyy A xxB yy 又 1 式 2 式 得 121212 0A xxB yyCC 所以 12 22 CC MN AB 当且仅当 时 等号成立 21 21 yyB xxA MNl MNm 故两平行直线的距离是 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 9 12 22 CC d AB 4 2 解释样本线性相关系数 7 在 概率论与数理统计 一书的线性回归内容中 有样本相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 并指出且越接近于 1 相关程度越大 越接近于 0 则相关程度越小 现在我1r rr 们可以用柯西不等式解释样本线性相关系数 记 则 iiii axx byy 1 22 11 n ii i nn ii ii ab r ab 由柯西不等式 有 1r 当时 1r 2 22 111 nnn iiii iii abab 此时 为常数 i i i i yy b k a xx k 点 均在直线 上 ii x y1 2 in yyk xx 当时 1r 2 22 111 nnn iiii iii abab 即 2 22 111 0 nnn iiii iii abab 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 10 而 2 2 22 1111 nnn iiiiijji iiiij n abababa b 所以 为常数 2 1 00 i ijjiijji ij n i b aba baba bk a k 此时 为常数 i i i i yy b k a xx k 点均在直线附近 所以越接近于 1 相关程度越大 当 ii x y yyk xx r 时 不具备上述特征 从而找不到合适的常数使点都在直线0r ii a bk ii x y 附近 所以越接近于 则相关程度越小 yyk xx r0 4 3 证明三角形不等式 1 例 4 3 证明三角形不等式 111 222 2 22 111 nnn iiii iii abab 证 由于 2 111 nnn iiiiiiii iii abab aab b 又按柯西不等式 有 1 2 2 2 111 1 2 2 2 111 nnn iiiiii iii nnn iiiiii iii ab aaba ab babb 把上面两个不等式相加 再除以 即得三角形不等式 1 2 2 1 n ii i ab 4 4 求最值问题 例 4 4 1 4 如果 那么当且仅当时 1 1 n xx 0 i a 1 1nn a xa x 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 11 的最小值是 222 1 122nn f xa xa xa x 12 1 111 n aaa 证证 由柯西不等式 得 121122 12 1 1 2 222 2 1 122 12 111 111 nnn n nn n xxxa xa xa x aaa a xa xa x aaa 即 222 1 122 12 1 111 nn n a xa xa x aaa 当且仅当 即时 等号成立 11 1 11 nn n a xa x aa 1 1nn a xa x 所以的最小值是 222 1 122nn f xa xa xa x 12 1 111 n aaa 该例题是个条件极值问题 是在的条件下才成立 若把这个条件变成 1 1 n xx 求的最大值 同样也能得出 22 1 n xxa 1 n f xxx 只需 2 2222 11 1 1 nn xxxx 即亦即 当且仅当时 等号成立 由此 2 1n naxx 1 n xxna 12 n xxx 可得的最大值是 这两个极值原理能够更方便的解决中学数学与 1 n f xxx na 数学竞赛题中一些求极值的问题 例 4 4 2 7 已知实数满足试求的 a b c d 2222 3 2365abcdabcd a 最值 解 由柯西不等式 得 2 222 111 236 236 bcdbcd 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 12 即 2 222 236bcdbcd 又由已知条件 可得 2 2 53aa 解得 12a 当且仅当 时 等号成立 236 1 21 31 6 bcd 当时 6 1 3 1 2 1 dcb max 2a 当时 21 1 33 bcd min 1a 利用柯西不等式可以方便的解决一些含两个或两个以上变量的式子最值问题 在 解题时 关键是把握柯西不等式的结构特点 巧利用 1 的代换关系 合理安排式子 的位置 常见技巧有巧凑系数或巧消变量等 4 5 在初等几何中的应用 例 4 5 1 1 设三角形的三边为 面积为 求证 a b cS 222 4 3abcS 证 由海伦 Heyon 公式 2 2 abc Sp papbpcp 并根据算术平均 几何平均不等式 有 3 3 p papbpc 于是 2 3 3pS 又根据柯西不等式 有 2 222 222222 2 2 abcabcabbcca abcabc 2222 44 3 34 3 33 abcpSS 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 13 例 4 5 2 6 设是内的一点 是到三边的距离 是pABC x y zp a b cR 外接圆的半径 求证ABC 222 1 2 xyzabc R 证 由柯西不等式 得 111 111 xyzaxbycz abc axbycz abc 记为的面积 则SABC 22 42 abcabc axbyczS RR 所以 222 1 22 abcabbcca xyzabc RabcR 从以上例题中我们可以看出 在利用柯西不等式解题的过程中 观察非常重要 由 于柯西不等式的结构对称 我们可以利用它的基本形式 如果没有 也要创造出这样 的形式 设法创造两数平方和相乘的形式 例如 不是柯西不等式的形式 但是变形成 222 abc 就可以用柯西不等式了 对于这样的变形不是简单去记忆 而 222 1 111 3 222 abc 应该去理解 掌握 并根据实际情况来进行变换的能力 简洁快速的解题 总之 柯西不等式作为数学中一个非常重要的不等式 它将两数列中各项积的和 与和的积巧妙地结合在一起 灵活应用柯西不等式可使许多问题得到简化 5 柯西不等式的推广 柯西不等式最有名的推广就是赫尔德不等式 从其又可得到闵可夫斯基不等式等 其他有趣的不等式 还可从实数推广到复数 应用于更广的范围 5 1 推广到复数 由于不等式只有实数才有意义 所以对于复数或向量要谈大小关系 自然的选择 湖北师范学院文理学院 2015 届本科毕业论文 14 是其长度 对此 我们只需将柯西不等式数的平方 该为复数的模的平方即可 对于任意的复数 定义长度 那么zxiy 22 zxy 设为任意复数 则 ii a b 1 2 in 2 22 111 nnn iiii iii abab 等式成立的充分必要条件是 是复数 ii ab 1 2 in 5 2 赫尔德不等式 定理 5 2 赫尔德不等式 设 满足 0 0 1 2 0 0 ii abinpq 11 1 pq 则 11 111 nnn pq pq iiii iii abab 等号成立的充分必要条件是 pq ii ab 1 2 0in 证 首先证明时 对任何正数及 有 11 1 pq AB 11 pq ABAB