2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质讲义新人教A版.docx

23.2双曲线的简单几何性质1双曲线的简单几何性质2等轴双曲线(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线(2)等轴双曲线具有以下性质：方程形式为x2y2(0)；渐近线方程为yx，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)等轴双曲线的离心率为.()(2)方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.()(3)与双曲线渐近线平行的直线与此双曲线有且只有一个公共点()答案(1)(2)(3) 2做一做(1)(教材改编P61练习T1)双曲线y21的实轴长为()A4 B2 C. D1(2)双曲线x21的渐近线方程为_，离心率e_.(3)双曲线x216y21的实半轴长为_，虚半轴长为_(4)焦点在x轴上，且焦距为4的等轴双曲线方程为_答案(1)A(2)yx2(3)1(4)1探究1双曲线的简单几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图解将9y24x236变形为1，即1，得a3，b2，c，因此顶点为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程yxx.作草图：拓展提升 (1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上(3)直线xa，yb或xb，ya围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线依据(2)，(3)，可画出双曲线的大致图形【跟踪训练1】(1)已知0，则双曲线C1：1与C2：1的()A实轴长相等 B虚轴长相等C离心率相等 D焦距相等答案C解析因为00，cos0，所以双曲线C1的实轴长为2cos，虚轴长为2sin，焦距为2，离心率e1，双曲线C2的实轴长为2sin，虚轴长为2sintan，焦距2，离心率e2，所以两个双曲线的离心率相等(2)已知双曲线my2x21(mR)与椭圆x21有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy3x答案A解析椭圆x21的焦点坐标为(0，2)，双曲线my2x21(xR)的焦点坐标为，由题意得 2，所以m，所以双曲线my2x21即x21的渐近线方程为x0即yx.探究2双曲线的离心率问题例2(1)已知双曲线1(a0，b0)，若过右焦点F且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A(1,2) B.C2，) D.(2)我们把离心率e的双曲线1(a0，b0)称为黄金双曲线如图是双曲线1(a0，b0，c)的图象，给出以下几个说法：若b2ac，则该双曲线是黄金双曲线；若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1(0，b)，B2(0，b)且F1B1A290，则该双曲线是黄金双曲线；若MN经过右焦点F2且MNF1F2，MON90，则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为_解析(1)由题意知，过右焦点F且倾斜角为30的直线与双曲线右支有两个交点，需满足tan30，即ba.3b2a2，3(c2a2)a2，c2a2，e2，e1，1e0，b0)的离心率为，则椭圆1的离心率为()A. B. C. D.答案C解析因为双曲线1的离心率为，所以e1，化简得a2b，所以椭圆1的离心率为e2.(2)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()A42 B.1 C.1 D.答案B解析设边MF1的中点为P，由题意知，MF1PF2，在RtPF1F2中，|PF1|F1F2|cos602cc，|PF2|F1F2|sin602cc，根据双曲线的意义可知2a|PF2|PF1|cc，所以e1.探究3由双曲线的几何性质求标准方程例3求与双曲线1共渐近线且过点A(2，3)的双曲线的方程及其离心率解解法一：双曲线1的渐近线方程为yx.(1)设所求双曲线方程为1(a0，b0)因为，所以ba.因为点A(2，3)在所求的双曲线上，所以1.联立所得的方程组无解(2)设所求的双曲线方程为1(a0，b0)因为，所以ab.因为点A(2，3)在所求的双曲线上，所以1，联立得a2，b24.所以所求双曲线方程为1且离心率e.解法二：设与双曲线1共渐近线的双曲线的方程为(0)因为点A(2，3)在所求的双曲线上，所以，所以所求双曲线方程为，即1.从而可求得离心率e.拓展提升巧设双曲线方程的六种常用方法(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)(3)与双曲线1共焦点的方程可设为1(0，b20，b0)e，2，所以a2b2.又双曲线过P(3，)，1，由得a2b24，故双曲线方程为1.若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为1(a0，b0)，同理有a2b2，1，由得a2b24(舍去)综上，双曲线的标准方程为1.(2)由椭圆方程1，知半焦距为，焦点是F1(，0)，F2(，0)因此双曲线的焦点为(，0)，(，0)设双曲线方程为1(a0，b0)，由已知条件，有解得所求双曲线的标准方程为y21.探究4直线与双曲线的位置关系例4双曲线C与椭圆1有相同的焦点，直线yx为C的一条渐近线(1)求双曲线C的方程；(2)如下图，过点P(0,4)的直线l交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)当12，且12时，求Q点的坐标解(1)设双曲线的方程为1(a0，b0)由椭圆1求得两焦点为(2,0)，(2,0)，对于双曲线C：c2.又yx为双曲线C的一条渐近线，解得a21，b23，双曲线C的方程为x21.(2)解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程：ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q，1，1，A(x1，y1)在双曲线C上，210，1632116k2k20，(16k2)32116k20.同理有(16k2)32216k20.若16k20，则直线l过顶点，不符合题意，16k20，1，2是一元二次方程(16k2)x232x16k20的两根，12，k24，此时0，k2，所求Q的坐标为(2,0)解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q，12，12，41y12y2，1，2.又12，即3(y1y2)2y1y2.将ykx4代入x21得(3k2)y224y483k20.3k20，否则l与渐近线平行，y1y2，y1y2，32，k2，此时0，Q(2,0)拓展提升(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如一元二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解(2)直线ykxb与双曲线相交所得的弦长d|x1x2|y1y2|.【跟踪训练4】已知倾斜角为45的直线l过点A(1，2)和点B，其中B在第一象限，且|AB|3.(1)求点B的坐标；(2)若直线l与双曲线C：y21(a0)相交于不同的两点E，F，且线段EF的中点坐标为(4,1)，求实数a的值解(1)直线AB的方程为y(2)x1，即yx3，设点B坐标为(x，y)，由及x0，y0，解得x4，y1.所以点B的坐标为(4,1)(2)由得x26x100，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由线段EF的中点坐标为(4,1)，得x1x28，解得a2，此时0，所以a2.探究5弦长及中点弦问题例5已知过定点P(0,1)的直线l交双曲线x21于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为45，求|AB|；(2)若线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程解(1)由题意知，直线l的方程为yx1，联立方程组消去y得3x22x50.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|.(2)解法一：设中点M的坐标为(x，y)，弦AB端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)则即又A，B两点在双曲线上，由得4(xx)yy，4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)x1x2，即kAB，又P，M两点在直线l上，kABkPM.，即4x2y2y0(y1)点M的轨迹方程为4x2y2y0(y1)解法二：设M(x，y)，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1.由消去y得(4k2)x22kx50.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，4k20，(2k)24(5)(4k2)0.即k.x1x2，y1y2.M为AB的中点，由消去k得4x2y2y0，k，1.点M的轨迹方程为4x2y2y0(y1)拓展提升1.弦长的求法求直线与双曲线相交所得弦长，主要利用弦长公式，要注意方程的思想以及根与系数的关系的应用2弦中点问题的解决方法对于弦中点问题，通常使用点差法解决，以减小运算量，提高运算速度另外，对于相交弦问题还要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长问题解决【跟踪训练5】已知双曲线x21，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，若P为AB的中点(1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2y23，得3xy3，3xy3，两式相减得3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即3.所以直线AB的斜率kAB6.经检验k6符合题意，所以直线AB的方程为6xy110.(2)将y6x11代入3x2y23，得33x2132x1240，由弦长的公式得|AB|，得|AB|，所以|AB|.探究6直线与双曲线的综合问题例6已知点M(2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|PN|2，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A，B是W上不同的两点，O是坐标原点，求的最小值解(1)由|PM|PN|2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a.又半焦距c2，故虚半轴长b.所以W的方程为1(x)(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)当ABx轴时，x1x2，y1y2.从而x1x2y1y2xy2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm，与W的方程联立，消去y得(1k2)x22kmxm220.故x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2m22.又因为x1x20，所以k210，从而2.综上，当ABx轴时，取得最小值2.拓展提升此类题涉及到的知识点相对较多：直线、圆、双曲线的相关知识以及定点问题，求解时利用直线和双曲线的关系建立方程组，通过根与系数的关系或向量的运算求解相关参变量的值【跟踪训练6】已知P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值解(1)点P(x0，y0)(x0a)在双曲线1(a0，b0)上，有1.由题意又有，即x5ya2，可得a25b2，c2a2b26b2，则e.(2)联立得4x210cx35b20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设(x3，y3)，即又C为双曲线上一点，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2，又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x5y5b2，x5y5b2.由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，由式得240，解得0或4. 1.双曲线的几何性质主要包括“六点”实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”对称轴、渐近线；“两比率”离心率、渐近线的斜率双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关. 2.已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏. 3.求双曲线离心率的常用方法 (1)依据条件求出a，c，计算e； (2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e求解. 4.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程，反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2(0)，再结合其他条件求得就可得双曲线方程. 5.直线与双曲线有一个公共点的两种情况 (1)直线与双曲线相切； (2)直线与双曲线的渐近线平行.1在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为x2y0，则它的离心率为()A. B. C. D2答案A解析由题意知，这条渐近线的斜率为，即，故e.2双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(0,12) B(0,6) C(6,0) D(12,0)答案D解