广东省高考数学 2.6对数函数配套课件 理 新人教A版.ppt

第六节对数函数 三年7考高考指数 1 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数 了解对数在简化运算中的作用 2 理解对数函数的概念 理解对数函数的单调性 掌握对数函数图象通过的特殊点 3 知道对数函数是一类重要的函数模型 4 了解指数函数y ax与对数函数y logax互为反函数 a 0 且a 1 1 对数的运算及对数函数的图象 性质是高考考查的重点 主要考查利用对数函数的图象与性质比较函数值大小 求定义域 值域 单调区间 最值及研究零点 奇偶性等问题 同时考查分类讨论 数形结合 转化与化归思想 2 常与方程 不等式等知识交汇命题 多以选择 填空题的形式考查 3 预测2013年高考仍将以对数函数的图象与性质为主要考点 重点考查运用知识解决问题的能力 1 对数的定义 1 对数的定义 请根据下图的提示填写与对数有关的概念 其中a的取值范围是 a 0且a 1 指数 对数 幂 真数 底数 2 两种常见对数 10 e lgn lnn 即时应用 1 若2x 5 则x 若log3x 2 则x 2 将log23用常用对数表示为 用自然对数表示为 答案 1 log2532 2 2 对数的性质 换底公式与运算性质 性质 换底公式 运算性质 a 0 且a 1 m 0 n 0 结论 条件 即时应用 1 log3 0 则x 2 计算log23 log34 log34 3 若a 0 a 1 x y 0 n n 判断下列各式的正误 logax n logaxn 解析 1 由 0 得 2 原式 3 是错误的 如 log24 3 8 log243 log226 6 是正确的 是错误的 如 是正确的 是正确的 设loganxn 则 an y xn 即 即答案 1 2 4 3 3 对数函数的定义 图象与性质 1 对数函数的定义 表达式 y a 0 且a 1 自变量 定义域 logax x 0 2 对数函数的图象与性质 图象 性质 a 1 0 a 1 1 定义域 0 2 值域 r 3 当x 1时 y 0 即过定点 1 0 4 在 0 上为增函数 4 在 0 上为减函数 y ax 5 当x 1时 y 0当0 x 1时 y 0 5 当x 1时 y 0当0 x 1时 y 0 即时应用 1 判断下列函数是否是对数函数 请在括号中填 是 或 否 y log2 x 1 y log2x 1 y 2log3x y y y lnx 2 函数y loga x 1 2 a 0 a 1 的图象恒过一定点是 3 设p log23 q log32 r log2 log32 则p q r的大小关系为 解析 1 由对数函数的定义可知只有 是对数函数 2 依题意 当x 2时 函数y loga x 1 2 a 0 a 1 的值为2 所以其图象恒过定点 2 2 3 p log23 log22 1 即p 1 0 log31 q log32 log33 1 即0 q 1 0 log32 1 log2 log32 log21 0 即r 0 r q p 答案 1 否 否 否 否 否 是 2 2 2 3 r q p 4 反函数指数函数y ax a 0且a 1 与对数函数 a 0且a 1 互为反函数 它们的图象关于直线 对称 y logax y x 即时应用 1 f x 2x的反函数与x轴的交点坐标是 2 设函数f x log2x的反函数为y g x 若 则a等于 解析 1 f x 2x的反函数是g x log2x 当g x 0时 x 1 所以其反函数与x轴的交点坐标是 1 0 2 由于f x log2x的反函数为y g x 2x 又 即 答案 1 1 0 2 对数的运算 方法点睛 对数运算的一般思路 1 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后正用对数运算性质化简合并 2 将对数式化为同底数对数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算性质 转化为同底对数的积 商 幂的运算 提醒 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化 例1 1 计算 2 已知loga2 m loga3 n 求a2m n 解题指南 1 按对数式运算的一般思路进行计算 2 将已知对数式化为指数式 并将a2m n转化为 am 2 an 从而计算求解 规范解答 1 原式 2 loga2 m am 2 又 loga3 n an 3 a2m n a2m an am 2 an 22 3 12 互动探究 本例 2 中条件不变 求loga12的值 解析 loga2 m loga3 n loga12 loga4 loga3 2loga2 loga3 2m n 反思 感悟 1 在对数运算中 首先对底数 真数进行变形 然后再利用对数的运算性质进行化简 若出现不同的 底 应利用换底公式换成相同的 底 2 在等比数列的计算中常涉及到对数的运算 要正确地用好对数的相关知识进行计算 变式备选 1 计算 2 计算 log32 log92 log43 log83 3 若数列 an 为各项均为正项的等比数列 且a12与a2001为一元二次方程x2 mx 8 0的两根 求 log2a1 log2a2 log2a2012的值 解析 1 2 原式 3 由已知得a12 a2001 8 且由等比数列的性质得 a1a2a3 a2012 a0a2012 1006 a12 a2001 1006 81006 原式 log2 a1a2a3 a2012 log281006 1006 3 3018 对数函数的图象及其应用 方法点睛 应用对数函数的图象可求解的问题 1 对一些可通过平移 对称变换能作出其图象的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用数形结合求解 2 一些对数型方程 不等式问题的求解 常转化为相应函数图象问题 利用数形结合法求解 例2 1 2012 河源模拟 函数y loga x 1 0 a 1 的图象大致是 2 2012 济南模拟 已知函数f x 若a b c互不相等 且f a f b f c 则abc的取值范围是 a 1 10 b 5 6 c 10 12 d 20 24 解题指南 1 由函数y logax 0 a 1 的图象 通过平移 对称变换得到y loga x 1 的图象 2 求解本题 需作出函数f x 的图象 不妨设a b c 根据图象结合f a f b f c 确定出c的大致范围 再由f a f b 去绝对值符号 确定ab的值 从而得解 规范解答 1 选c 先将函数y logax 0 a 1 的图象上的所有点向右平移1个单位 得函数y loga x 1 0 a 1 的图象 再作y loga x 1 0 a 1 关于x轴的对称图象即得y loga x 1 0 a 1 的图象 2 选c 作出f x 的大致图象 不妨设a b c 因为a b c互不相等 且f a f b f c 由函数的图象可知10 c 12 且 lga lgb 因为a b 所以lga lgb 可得ab 1 所以abc c 10 12 故选c 反思 感悟 数形结合思想往往是解决某些对数型函数性质 对数型方程 不等式问题 对数值大小比较的切入口及有效方法 应熟练掌握这种思想方法的解题规律 变式训练 函数y log2 x 1 的单调递减区间为 单调递增区间为 解析 作出函数y log2x的图象 将其关于y轴对称得到函数y log2 x 的图象 再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y log2 x 1 的图象 如图所示 由图知 函数y log2 x 1 的递减区间为 1 递增区间为 1 答案 1 1 对数函数性质的应用 方法点睛 1 利用对数函数的性质比较对数值大小 1 同底数对数值的大小比较可直接利用其单调性进行判断 2 既不同底数 又不同真数的对数值的比较 先引入中间量 如 1 0 1等 再利用对数函数性质进行比较 2 利用对数函数性质研究对数型函数性质求解方法与一般函数性质的求解方法一致 但要注意三方面的问题 一是定义域 二是底数与1的大小关系 三是复合函数的构成 即它是由哪些基本初等函数复合而成的 例3 1 2011 北京高考 如果 那么 a y x 1 b x y 1 c 1 x y d 1 y x 2 函数y在区间 2 4 上的最小值是 3 已知函数f x 求函数f x 的定义域 若函数f x 的定义域关于坐标原点对称 试讨论它的奇偶性和单调性 解题指南 1 利用单调性求解 2 利用换元法转化为二次函数最值求解 3 利用真数大于0构建不等式 但要注意分类讨论 先由条件求出a的值 再讨论奇偶性和单调性 规范解答 1 选d 因为y 为 0 上的减函数 所以x y 1 2 y 令t 则 1 t 且y t2 t 5 当t 时 ymin 答案 3 x 3a 1 x 2a 1 0 所以 当3a 1 2a 1 即a 0时 定义域为 2a 1 3a 1 当3a 1 2a 1 即a 0时 定义域为 3a 1 2a 1 函数f x 的定义域关于坐标原点对称 当且仅当 2a 1 3a 1 a 2 此时 f x 对于定义域d 5 5 内任意x x d f x 所以f x 为奇函数 当x 5 对任意5 x1 x2 有f x1 f x2 而 x1 5 x2 5 x1 5 x2 5 10 x2 x1 0 所以f x1 f x2 0 f x 在 5 内单调递减 由于f x 为奇函数 所以f x 在 5 内单调递减 互动探究 在本例 3 的条件下将f x 的底数改为m m 0且m 1 求函数f x 在 10 15 上的值域 解析 由 3 求解得 当m 1时 函数f x 在 5 内单调递减 所以在 10 15 上亦单调递减 f 15 f x f 10 即 logm2 f x logm3 值域为 logm2 logm3 同理当0 m 1时 值域为 logm3 logm2 综上所述 当0 m 1时 值域为 logm3 logm2 当m 1时 值域为 logm2 logm3 反思 感悟 利用对数函数性质的注意点 1 要分清函数的底数a 0 1 还是a 1 2 确定函数的定义域 无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质 都要在其定义域上进行 3 如果需将函数解析式变形 一定要保证其等价性 否则结论错误 变式备选 是否存在实数a 使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 如果存在 求出a的取值范围 如果不存在 请说明理由 解析 假设符合条件的实数a存在 设g x ax2 x 当a 1时 为使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 需g x ax2 x在区间 2 4 上是增函数 故应满足解得a 又 a 1 a 1 当01时 函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 易错误区 幂值 对数值大小比较问题的易错点 典例 2011 天津高考 已知则 a a b c b b a c c a c b d c a b 解题指南 首先将a b c化成同底数的幂 再利用对数函数的图象或性质比较幂指数中对数值的大小 最后利用指数函数的单调性比较出a b c的大小 规范解答 选c 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y log2x y log3x y log4x的图象 如图所示 由图象知 方法二 log43 6 log44 1 由于y 5x为增函数 即 故a c b 阅卷人点拨 通过对高考中阅卷的数据分析与总结 我们得到以下误区警示及备考建议 1 2011 安徽高考 若点 a b 在y lgx图象上 a 1 则下列点也在此图象上的是 a b b 10a 1 b c b 1 d a2 2b 解析 选d 由题意得b lga 2b 2lga lga2 即 a2 2b 也在函数y lgx的图象上 2 2011 重庆高考 下列区间中 函数f x ln 2 x 在其上为增函数的是 a 1 b c 0 d 1 2 解析 选d 当2 x 1 即x 1时 f x ln 2 x ln 2 x 此时函数f x 在 1 上单调递减 当0 2 x 1 即1 x 2时 f