教学设计《勾股定理》（日坛中学张燕霞）.doc

教 学 设 计人教版八年级下册第十八章 18.1.1勾股定理北京市日坛中学 张燕霞 【教学背景分析】勾股定理，揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，将几何问题代数化，再回归到几何元素的研究，在许多自然科学领域被广泛应用. 区别于以往教材，新课标下勾股定理单独成为一章，安排8课时.在勾股定理的课堂教学中，运用勾股定理求解三角形边长的题型变换与挖掘比较深，而关于勾股定理的来源和证明则一带而过，与实际问题脱节，学生感受不到数学与生活的联系，也体会不到数学的乐趣.这也是当今课堂教学普遍存在的问题.学生的学习内容应有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.教师应激发学生学习的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，提高学生的数学能力.【学生情况分析】从知识与技能看，学生对直角三角形的性质已有比较深入的了解，熟悉20以内自然数的平方数，对于二次根式的运算也比较熟练.从学习经验看，学生大体知道勾股定理中的三边关系，对于平方数的计算比较熟练，对于几种含有特殊角的三角形比较熟悉，但对于边长之间的比例关系不是很清楚.【教学目标】1.了解勾股定理的文化背景，通过拼图活动，体验勾股定理的探索过程；2.在勾股定理探索的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想与方程思想；3.体验解决问题方法的多样性，培养合作交流与探索的精神；4.会运用勾股定理解决简单问题【教学重点】 勾股定理的证明过程，并可以简单地应用【教学难点】 拼图的方法证明勾股定理【课前准备】1.八个全等的等腰直角三角形；2.八个全等的不等腰（即一般的）的直角三角形；3.预习勾股定理教材.【教学过程】 大家好，从今天开始，我们将学习勾股定理一章.大家已做预习，知道赵爽弦图，我们从哪里讲起呢？这样，我们就从拼图讲起吧.【活动一】有四个全等的等腰直角三角形，怎样拼成一个正方形？教师活动：将四个全等的等腰直角三角形顺次贴在黑板上.学生活动：有的学生可能仅用其中的两个三角形拼成一个正方形，有的学生会将四个三角形拼成一个正方形.教师活动：假设直角三角形的直角边为1，大的正方形的面积是多少？【答】2教师活动：说明大正方形的面积是（），而和已知的直角三角形有怎样的关系？【答】等腰直角三角形的斜边教师活动：将学生拼图重新组合，摆成“勾股弦”的图形，得出a+ a = （a） ；随后提问，如果将四个全等的等腰直角三角形改成四个全等的不等腰的直角三角形（即一般的直角三角形），你能否拼成一个大的正方形？你能否证明直角三角形两直角边与斜边之间的平方关系？【注】有的学生可能会拼出矩形，这时要引导学生拼出“正方形”才行，于是，有的学生会想到赵爽弦图，让学生到黑板演示.并完成证明过程证法1：应用以c为边长的正方形的面积（a-b）+4 ab = c a- 2ab+ b +2ab = c a+ b = c 教师活动：应用面积相等的性质，我们来证明直角三角形三边之间关系的方法称作“面积法”.证明过程中，最关键的一点是把“谁的面积”作为中间的桥梁.以上同学的做法是借助以c为边长的大正方形的面积相等作为桥梁得以证明，你还有其它的证法吗？学生活动：黑板演示，并证明证法2：应用以（a+b）为边长的正方形的面积（a+b）- 4 ab = c a+2ab+ b-2ab = c a+ b = c 教师活动: 板书小结勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方的和等于斜边的平方. C=90 a+ b = c 【设计意图】从四个全等的等腰直角三角形拼图入手，到得出勾股定理的表达式，我们要让学生体验“面积法”证明勾股定理的探索过程.学生主要用割或补的方法计算斜放的正方形的面积.这样的活动聚焦于图形基本元素之间的关系，用推理，包括用计算来探索直角三角形三边的关系，用不同方法表示所发现的几何结构. 在这个过程中，教师引导学生采用平移、翻折、旋转三种“工具”来解析赵爽弦图，探索如何论证所期望的结构，引导学生从活动体验能够到达理性思考，再到深度反思的研究思路，也就是勾股定理所揭示的关系.有助于学生多种角度探究证明. 让学生确实能够从不太熟悉的“面积法”的证明过程中留下点记忆深刻的东西.【活动二】介绍勾股定理（1） 历史上的研究毕达哥拉斯(公元前572前492),古希腊著名的哲学家,数学家,天文学家.有一次去朋友家作客，看到朋友家的地砖，发现了勾股定理朋友家的地砖证法3：毕达哥拉斯的证法 a+ b = c 通过两个图形的对比，不用通过式子的推导，而是直接由图形就可以得到勾股定理. （2）我国的研究 周髀算经赵爽弦图，即证法一2002年，在北京召开的国际数学家大会徽选用了赵爽弦图【设计意图】通过动手操作与联系实际的学习，学生对勾股定理肯定会产生浓厚的学习兴趣. 这时，再介绍数学背景，很自然地领悟数学思想方法，感受数学文化，激发学习热情.【活动三】几种证法之间有怎样的内在联系？学生活动：将赵爽弦图中每个直角三角形的直角边向外翻折，即得证法2，教师活动：由证法2，我们选择其中的一部分，可否得到证法4？学生活动：证法4：应用以（a+b）为高，a、b为底的直角梯形的面积（a+b）（a+b）= 2 ab + c （a+b）（a+b）=2 ab + c a+2ab+ b=2ab + c a+ b = c 教师活动：此种证法被称作“美国总统证法”【设计意图】有层次，有梯度，步步深入的设计，体验演绎推理. 这样的设计，从某一个视角，回答了聚焦学情的问题，让不同程度的孩子能有适当的收获. 让学生体验勾股定理的证明，勾股弦的关系怎样更直观的表达，几种典型的证法之间，更有密切的联系.【活动四】勾股定理的应用应用一如图，要登上8米高的建筑物AC，为了安全需要，需使梯子底端到建筑物的距离BC为6米，至少需要多长的梯子？【答】至少需要10米【设计意图】解决实际问题的过程中产生研究直角三角形三边关系的需求.也符合学生知识生成过程的要求,有需求提出问题就要想方设法解决它. 应用二求下列图形中未知边的长度.【答】 10， 12，【解析】（1）勾股定理的使用条件是“在直角三角形中”.（2）勾股定理的应用是求线段长度.（3）勾股定理存在两种应用形式，知二求一和列方程.【设计意图】勾股定理从符号表示形式上实质上就是一个方程（，含有未知数的等式），在这个方程中，未知数可能为一个，也可能为存在关系的两个.前者可以直接求解，后者需要通过解方程求解.因此，勾股定理存在不同的运用形式.在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.在新知应用环节，用具体的最简单的图形说明，让学生体会勾股定理的作用，即不同的应用方式，以及勾股定理揭示的方程思想. 应用三 根据下列条件求线段长度.（1）在RtABC中，C=90，a=1，c=2， 求b.（2）在RtABC中，B=90，a=1，c=2， 求b.（3）在RtABC中，C=90，若c=10，a：b=1：3，求a.（4）在RtABC中，C=90, 若A=60，BC=2，求c.（5）直角三角形的两直角边长分别为3cm、5cm，求斜边长.（6）直角三角形的两边长分别是3cm、5cm， 求第三边的长.【解析】画图，标图，确定直角和斜边(数形结合)【设计意图】利用勾股定理解决直角三角形中线段长度的计算问题，学生直接运用勾股定理即可完成上述题目，直角三角形中知二求一的求解步骤：画图与标图确定直角与斜边建立方程求解.引导学生进一步理解，所求线段是利用勾股定理完成方程求解. 我们要研究选择比较适合的教学策略，让学生做好当前的学习，自然为后续学习奠定坚实的基础.了解到学生当前的学习情况，设计典型问题的分析与讲解，培养学生的数学能力.【本课小结】学生回答1. 勾股定理的内容2. 本课主要设计到哪些数学思想与方法？【答】数形结合思想与方程思想，“面积法”的证明方法.【课后思考】勾股定理是代数与几