力学专业英语1-14.docx

1 应力和应变应力和应变的概念可以通过考虑一个棱柱形杆的拉伸这样一个简单的方式来说明。如图1所示，一个棱柱形的杆是一个遍及它的长度方向和直轴都是恒定的横截面。在这个实例中，假设在杆的两端施加有轴向力F，并且在杆上产生了均匀的伸长或者拉紧。通过在杆上人工分割出一个垂直于其轴的截面mm，我们可以分离出杆的部分作为自由体【如图1(b)】。在左端施加有拉力P，在另一个端有一个代表杆上被移除部分作用在仍然保存的那部分的力。这些力是连续分布在横截面的，类似于静水压力在被淹没表面的连续分布。 力的集度，也就是单位面积上的力，叫做应力，通常是用希腊字母来表示。假设应力在横截面上是均匀分布的【如图1(b)】，我们可以很容易的看出它的合力等于集度乘以杆的横截面积A。而且，从图1所示的物体的平衡，我们可以看出它的合力与力P必须的大小相等，方向相反。因此，我们可以得出= 1等式(1)可以作为棱柱形杆上均匀应力的方程。这个等式表明应力的单位是，力除以面积。当杆被力P拉伸时，如图所示，产生的应力是拉应力；如果力在方向是相反，使杆被压缩，它们就叫做压应力。 使等式(1)成立的一个必要条件是，应力必须是均匀分布在杆的横截面上。如果轴向力P作用在横截面的形心处，那么这个条件就实现了。当力P没有通过形心时，杆会发生弯曲，这就需要更复杂的分析。目前，我们假设所有的轴向力都是作用在横截面的形心处，除非有相反情况特别说明。同样，除非另有说明，一般也假设物体的质量是忽略的，如我们讨论图1的杆一样。 轴向力使杆产生的全部伸长量，用希腊字母表示【如图1(a)】，单位长度的伸长量，或者应变，可以用等式 2 来决定。 L是杆的总长。注意应变是一个无量纲的量。只要应变是在杆的长度方向均匀的，应变就可以从等式(2)中准确获得。如果杆处于拉伸状态，应变就是拉应变，代表材料的伸长或者延长；如果杆处于受压状态，那么应变就是压应变，这也就意味着杆上临近的横截面是互相靠近的。 当材料的应力和应变显示的是线性关系时，也就是线弹性。这对多数固体材料来说是极其重要的性质，包括多数金属，塑料，木材，混凝土和陶瓷。处于拉伸状态下，杆的应力和应变间的线性关系可以用简单的等式= 3 来表示。E是比例常数，叫做材料的弹性模量。 注意E和应力有同样的单位。在英国科学家托马斯杨(1773 1829)研究杆的弹性行为之后，弹性模量有时也叫做杨氏模量。对大多数材料来说，压缩状态下的弹性模量与处于拉伸时的弹性模量的一样的。拉伸应力应变行为一个特殊材料中应力和应变的关系是通过拉伸测试来决定的。材料的试样通常是圆棒的形式，被安置在测试机上，承受拉力。当载荷增加时，测量棒上的力和棒的伸长量。力除以横截面积可以得出棒的应力，伸长量除以伸长发生方向的长度可以得出应变。通过这种方式，材料的完整应力应变图就可以得到。图1所示的是结构钢的应力应变图的典型形状，轴向应变显示在水平轴，对应的应力以纵坐标表示为曲线OABCDE。从O点到A点，应力和应变之间是直接成比例的，图形也是线性的。过了A点，应力应变间的线性关系就不存在了，因此A点处的应力叫做比例极限。随着荷载的增加，应变比应力增加的更快，直到在B点，在拉应力没有明显增大的情况下，物体也发生了相当大的伸长。这种现象叫做材料的屈服，点B处的应力叫做屈服点或者屈服应力。在区域BC材料开始具有塑性，棒也开始塑性伸长，伸长量是在比例极限处伸长量的10或者15倍。在C点，材料开始应变硬化，并且进一步的阻力，阻止载荷的增加。这样，随着进一步的伸长，应变增加，并且在D点达到最大值，或者极限应变。过了这一点，棒的拉伸伴随着载荷的减少，试样最后在图上E点断裂。在棒伸长期间，发生了侧面的收缩，导致棒的横截面积减小。这个现象在C点之前，对应力应变图没有影响，但是过了这一点，面积的减小对应力的计算值有明显的影响。棒就会发生明显的颈缩(如图2所示)，并且如果颈处狭窄部分的实际横截面积被用于计算，将会发现真实的应力应变曲线是虚线CE。尽管在极限应力达到之后，棒上的总荷载有实际的减小，这个减小是由于面积的减少，而不是材料强度的减小。在失效点之前，材料实际经受了应力的增加。然而，为了多数实用目的，常规的应力应变曲线OABCDE是基于试样最初的横截面积，为设计目的提供了令人满意的信息。图1的图形，画出来是为了表示应力应变曲线的一般特性。在应力应变曲线的最初区域，材料表现的既有弹性又有线性。钢材的应力应变图上的从O到A的区域就是很好的例子。紧接着大的塑性应变，明显屈服点的出现，对于在今天是很普通的结构化金属钢材来说稍微有点独特。铝合金从线性到非线性区域是更渐渐的转变。在失效之前，钢和许多铝合金承受了更大的应变，所以被归类为易延展的。另一方面，脆性材料在很低的应变时就失效了。实例包括陶瓷，铸铁，混凝土，某些金属合金，和玻璃。圆棒的扭转让我们设想一下，一个具有圆形横截面的棒被作用在其末端的力偶扭转(如图1)。以这种方式加载的棒据称是处于纯扭转。从考虑对称性可以看出，圆棒的横截面在纵轴方向是作为刚体扭转的，半径依然是直的，横截面是圆形的。并且，如果棒扭转的总角度比较小的话，棒的长度和半径r都不会改变。在扭转期间，对应于棒的一端，棒的另一端绕着纵轴会发生扭转。例如，如果我们把棒的左端看做固定的，那么对应于棒的左端，棒的右端会旋转一个角度。同时，棒表面的纵向线例如nn，会旋转一个小的角度到位置nn。因为扭转，棒表面的矩形单元，例如图中所示的在两个横截面之间相距dx的单元，被扭转成长菱形。当一个杆状物承受纯扭转时，扭转角的变化率ddx沿着棒的长度方向是恒定不变的。这个常数代表单位长度的扭转角，用符合表示。这样，我们得出=/L，L是轴的长度。然后，我们可以得到切应变=r=rL 1。作用在单元边线处的切应力有图1所示的方向。对于线弹性材料，切应力大小是=G=Gr 2。等式(1)(2)把杆状物的应变和应力与单位长度的扭转角联系起来。杆状物内部的应力表述用的方式类似于用于杆状物表面的表述方式。因为棒横截面的半径依然是直的，在扭转时没有扭曲，我们看到位于半径为的圆柱体表面的内部单元，是纯剪切并伴随着对应的切应变，应力可以从下述的表达式得出= ，=G 3a,b。这些等式表明，从轴心处切应力和切应变随着径向距离是线性变化的，并且在外表面达到最大值。作用在横截面的切应力，由等式(3b)给出，伴随着作用在杆状物纵向平面的相等的切应力。这个结果是从这样一个事实得到的，就是相等的切应力总是存在于相互垂直的平面。如果材料纵向受剪弱于侧向受剪(例如，木材),受扭杆状物的第一次断裂将会出现在它的纵向表面。杆状物表面的纯剪切应力的表述等效于，对于杆状物轴扭转45。的单元上的拉应力和压应力。如果一种受拉比受剪弱的材料受扭，那么材料将会沿着与轴成45。的螺旋线处以收缩的方式失效。通过扭转一支粉笔的方式就可以很容易的演示这种失效。可以建立施加的扭矩T和产生的扭转角间的关系。切应力的合力必须静定的等于合扭矩。作用在单元面积dA上的剪切力是dA，这个力对于棒轴的力矩是dA。在等式(3b)中，力矩等于G2dA。合力矩T是整个横截面上的单元力矩的总和，因此，总和，因此，T=G2dA=G2dA=GJ 4,J=2dA是圆截面的极惯性矩。从等式(4)我们可以得到=TGJ，是单位长度的扭转角，与扭矩T成正比，与乘积GJ是相反的，GJ是杆的扭转刚度。梁的挠曲一根承受轴横向力的棒叫做梁。图1中的梁，一端是针状支撑，另一端的滚动支撑，叫做简支梁或者简单的梁。简支梁的本质特征是在弯曲时梁的两端可以自由转动，但是它不能够横向移动。另外，梁的一端可以沿轴向自由移动。一端是嵌入式或者固定，另一端的自由的梁，叫做悬臂梁。梁的固定端既不可以转动也不可以移动，自由端则可以转动和移动。梁上的荷载可以分为集中力，例如图1中的力，或者分布载荷，可以表述为沿着梁轴单位距离作用单位力。轴向力作用于横截面的法向，通过横截面的质心。剪力V平行于横截面，弯矩作用于平面梁，被叫做合应力。剪力V、弯矩和梁上荷载的关系可以表述为dMdx=V 1 。这个等式表示，在分布载荷(或者没有载荷)作用于梁上时，弯矩的变化率等于剪力的代数值。如果梁上作用有集中力，那么在集中力作用点剪力处，将会有突变，或者不连续。作用在梁侧面的载荷将会引起梁的挠曲。如图1所示，在力作用前，梁的纵轴是直的。在弯曲后，梁的轴变成了曲线，表现为曲线ACB，让我们假设xy平面是对称与梁的平面，并且所有的载荷都作用在平面内。那么曲线C叫做梁的挠曲线，也会在平面内。从图形的几何形状可以看出=1=dds 2,是曲率，等于曲率的半径的倒数。这样，曲率等于角度在沿着挠曲线测量的长度s方面的变换率。梁挠曲线的基本微分方程可以表述为d2dx2=- 3,是梁从初始位置的挠度。必须在每个事例中求积分来获得挠度。这个步骤包括方程的连续积分，作为结果的积分常数从梁的边界条件获得。应该明白，只有在材料适用于胡克定律并且挠曲线的斜率是很小的时候，方程3才是有效。另一种获得梁挠度的方法是力矩面积法。这个方法得名于它利用了弯矩图的面积。当想得到挠度或者梁上一点处的斜率，而不是获得挠曲线的整个方程，这个方法是特别有用的。作用在横截面上任意一点处的正应力和切应力，可以使用方程x=y,=VQb 4a,b，其中是在横截面中性轴方面的第二力矩(或者惯性矩)，Q是梁平面面积的第一力矩(或者静态矩)。可以看出梁外缘处正应力是最大的，在中性轴处为零；在外缘处切应力为零，在中性轴处经常达到最大。梁上的剪力V和弯矩M经常随着距离x变化，距离x规定是从它们作用在梁上的横截面处开始的。当设计一个梁时，非常想知道梁上所以横截面处V和的值，提供这方面信息的一个很简便的方法是画一个表达它们沿着梁轴变化的图。为了画出图，我们把横截面的位置作为横坐标，把对应的剪力或者弯矩的值作为纵坐标。这样的图像叫做剪力图或者弯矩图。图1中的简支梁是静定梁中的一种。这种梁的特征的它所有的反作用力都是由静力平衡方程决定的。反作用力的数目多于静力平衡方程数目的梁叫做超静定梁。对于静定梁，我们可以通过求解静力平衡方程快速获得梁的反作用力。然而，当梁是超静定时，我们不能仅从静力方面求解解决。取而代之的是，我们必须考虑梁的挠度，并且获得相容方程作为静力方程的补充。万有用力我们是如此熟悉在地球表面上的生活，以至于需要很努力才能从心里打破我们认为理所当然的观点。我们谈论“上”和“下”，但是我们知道对于我们来说是“上”，对于世界另一边的人来说就是“下”。我们可以感受到物体很重，并且我们经常认为重量是物体固定的量，但是它不总是固定的。如果你把一包一磅重的黄油带到离地球4000英里的地方，它将只有14磅。为什么我们把物体带到空中4000英里处，它的重量只有在地表时的14？理由是：所以的物体对于其他的物体都有自然的引力，这叫做万有引力。但是两个物体间吸引的程度会随着它们愈来愈远，变的愈来愈弱。一包一磅重的黄油在月球上的重量又是多少呢？在月球上，黄油和月球之间有引力，但是黄油将只有地球上重量的16。这是因为月球比地球小的多。物体产生的引力值取决于它自身材料的数量。因此这是我们首先需要记住的事情：物体在太空中的重量与在地球表面的重量是不同的。引力是宇宙中非常重要的一个力。每个物体都有引力，就像磁力一样。但是，不像磁力，引力不只存在于铁和钢中，在大的小的物体中都有引力。但是大的物体，例如地球，有比小的物体更强的吸引力。十七世纪最伟大的科学家，艾萨克牛顿首先研究引力。当他是个小男孩时，经常看到苹果落到地上。他非常想知道为什么它们落向地球，而不是飞向空中。根据他后来发现的定律，宇宙中的任何事物都会吸引其他的事物朝向自己。太阳吸引地球，地球吸引太阳。地球吸引月球，月球吸引地球。尽管更大的物体有更强的吸引力，事实上所以的物体都有一些吸引力。但是我们注意不到一块黄油的引力，因为地球的引力大的多。为什么地球总是绕着太阳转，而不是飞向寒冷的太空？太阳的引力给出了答案。地球总是试着以直线离开，但是太阳总是把它拉回来。所以它继续着一圈一圈绕着太阳的旅程。地球位于一组星系中。我们称之为银河系。太阳是银河系中恒星的一个，在银河系中有大约1000亿颗星。它不是位于银河系的中间而是接近于边缘。这些星来之于一个星系，这个星系的形状非常像表的形状。银河系外是空的区域，但是在亿万英里以外是另一个星系。从另一个星系发出的光到达我们这里，要经过大约200万年。事实上，在宇宙中有数以百万计这样的星系，它们似乎都在远离我们。许多天文学家相信有成万上亿的太阳，并且一些类太阳像我们的太阳一样有行星。天文学家在巴乐马山和威尔逊山可以看到它们中的一些，但是它们无法看到它们现在的样子。光要经过百万年时间才能到达这，因此它们看到的是遥远星系过去的样子。光离开它已经百万年了。光穿过太空，然后进入天文学家的眼里。或许当它开始的时候已经没有人活着了。引力是维持一颗星所以原子在一起的力。它使太阳是整体，使地球的原子在一起。它使我们在地球上。如果没有引力，我们和所有其他的东西都将飞离地球进入天空。爱因斯坦发现了一个新的引力定律。它的主要结果和牛顿定律是一致的。但是在非常小和细的物体中，爱因斯坦的定律给出了不一样的结果。其中的一个是引力使光发生了一点弯曲。但是根据牛顿定律引力对光只有很小的影响。爱因斯坦通过数学方法证明了这个事实，不是通过实验。他的定律的这个结果在日食期间得过了检测。通常，当一颗恒星的光通过太阳的时候，我们无法看到它，因为太阳太亮了。但是有时地球会移动到太阳和月球之间。然后地球的阴影会落到月球上，来之太阳的光无法到达月球。因为月球无法反射太阳的光，它就变黑了。我们称之为月食。有时月球会移动到太阳前面。当他慢慢穿过日轮时，我们可以看到它的边缘。所有的一切都将变的越来越黑。最后我们将看不到日轮的任何部分。月球完全遮住它了。这叫做日全食。有时只有日轮的部分被遮住，那不是日全食。它叫做日偏食。当日全食的时候，太阳的光被月球挡住了，那时我们就可以看到恒星的光。光线总是沿着直线走的，但是有时它会弯曲。如图一所示，观察的天文学家会注意到显示的恒星的位置会改变一点点。原因是恒星的光在通过太阳的时候在直线方向发生了转向。太阳的引力使光束发生了弯曲。这证明了爱因斯坦的理论是正确了。刚体的平衡静力学的主要目标是建立一个基本理论，来管理作用在处于平衡状态的物体上的力。描述阻止物体移动的力的一个手段是自由体受力图，它使物体从周围的事物中隔离出来。在受力图中，我们展示了施加在物体上的所有力，记住牛顿第三定律告诉我们的，力是物体之间相互作用的结果。构建受力图的过程帮助我们理解系统的参数是很重要的。构建自由体受力图的部分任务的为了检查支撑结构，以便我们可以推导出应用在物体上的什么类型的力。这些力有时叫做约束力，因为它们代表支撑结构约束物体移动的方式。对这些力的另一个术语是反作用力，因为它们代表支撑结构对物体移动趋势做出反应的方式。反作用力被用来约束物体的移动，反作用力偶被用来约束物体的转动。在任何时候支撑结构的类型允许物体在特定方向移动，或者是绕着特定轴转动，那么在哪个方向将没有反作用力或力偶。我们可以为条件建立一个数学推导公式，如果物体处于精力平衡状态，那么这个公式必须满足。在我们研究作用在处于静力平衡的物体上的力之间的关系之前，让我们想象用作用在一些合适点C的等效的力偶系，来代替作用在物体上的真实的力。力R是真实力的合力，描述了在点C处合力压或拉的效果。力偶是在点C真实力的力偶之和。这个力偶描述了真实力引起的物体绕着点C转动的合趋势。为了使一个刚体处于静力平衡状态，应该使作用在物体上的力系满足合力为0，合力偶为0。设定合力和合力偶为0的最直接的方式是，实际计算所以力的合力和在任意点处力偶的和。我们接着使合矢量等于0，这样我们就得到F=0，Mc=0 1。在空间力系的事例中，力和合力偶每个有三个组成部分，因此等式1等效于下面的六个静力平衡的标量等式。Fx=0, Fy=0, Fz=0 2a Fcx=0, Fcy=0, Fcz=0 2b。对于并发系统力的平衡方程是方程式2a,b的特殊例子，可以从令点C成为并发点看出。一个求解静力平衡方程的方法，得出了反作用力和自由体受力图上显示的未知力。点C对于合力偶来说是任意的。我们一般应该选择点C沿着至少一个未知反作用力的作用线的方向，这是为了从力偶方程中消除未知力。这个过程简化了要求解的方程。简化方程的能力启发我们考虑可供选择的公式时，选择力偶是在超过一点处的合力偶。在平面力学的例子中，只有三个不寻常的静力平衡标量方程。这些方程可以从三个可供选择的公式之中获得，如下所示：(1). 在一点处的力偶等于0，在两个方向的合力等于0。这是方程2a,b的方法。(2). 在两点处的合力偶等于0，在不垂直所选两点连线方向上的合力等于0。(3). 在三个不共线点处的合力偶等于0对于空间力学的例子，简化并不是必须的，由于在空间力系中力偶的测定比平面力要稍长一些。牛顿运动定律每天经验引导出这样一个结论，力引起运动。玩木制火车或者有轮的动物玩具的孩子很快会发现拉绑在玩具上的绳子，会让玩具移动。为了在几个不同的方向移动玩具，需要在那些不同的方向推或者拉。这样每一个力都与一个给定的方向联系起来了。类似的，每一个力与大小联系，为了获得一个更积极的结果，孩子们会更加用力的推或者拉玩具。动力学的研究需要对运动有一个量化的描述。三个基本的用来描述质点运动的运动学物理量是位置、速度和加速度。这些基本的术语是从参考系角度定义的，而这些参考系是描述运动发生的三维空间的。在多数情况下，地球的运动与感兴趣的物体的运动相比是可以忽略的。在这种情况的参考系被认为是与地球相连的。为了表述质点的运动，我们必须假设参考系是固定的，也就是在空间是稳定的。尽管考虑地球是固定的不那么正确，从这个假设得出的结果误差对多数系统是可以忽略的。这个参考系应该是直观的，以矩形的笛卡尔轴xyz来表示。伊萨克牛顿在他的历史著作Principia一书中陈述的运动定律是动力学研究的基础。将要讨论的最简单的运动是，在没有力影响下质点的运动。这样的质点被认为是自由移动的，它的运动是由牛顿第一运动定律决定的，也就是第一律：一切物体在没有受到力的作用时，总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种运动状态。作用在给定质点上的力的大小和方向一起被建模为矢量F，它可以直观的使质点运动。与力相关的运动的性质是什么？直观印象当然会导致多数读者表示，力越大质点运动越快，于是就说质点的速度与质点上的力有关。这是在牛顿学说之前数学家犯的最普遍的一个错误，这个错误阻止了力学的重要发展进程好多年。质点的速度随着参考系的变换而变化。因此，如果速度与力相关，那么这个关系只能是处在一个特定的参考系。不像速度，质点的加速度是独立于测量加速度所在的参考系，所以如果质点的加速度是与作用在质点上的力相关的，那么这个关系可以在所用的参考系成立，而不是在一个特定的参考系。这个关系实际上是牛顿假设的，并且体现在他的运动学第二律中。也就是：第二律：当力作用在质点上时，质点加速度的方向是与力的方向平行的，加速度的大小是与力的大小成比例的。如果质量为m的质点P在力F的作用下以加速度运动，那么根据牛顿第二定律得出，ma=F 1牛顿第二定律包含了作用在质点上的力。在多数例子中，质点上同时作用有几个不同方向的力，所以需要假设用做第二定律中的力，必须是所有单独力的矢量和。这个假设是与静力学中几个力的合力的概念是相一致的，需要做这样的一个假设是Mach在1883年首先意识到的。牛顿第三运动定律可以表述如下。第三律：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等，方向相反。事实上，质点间的多数力都遵守第三定律，这样的力有时叫做牛顿式力。刚体的平面运动当所有点的轨迹都在一个平面时，刚体发生的是平面运动，并且物体上所有点的路径都是平行的。一个简单的例子是轮子绕着轴旋转。系统中所以点运动所在的平面的与轴线垂直的。与空间运动相比，约束平面运动主要是是为了简化运动学描述。这个简化的一个属性就是有可能用平面图的方式来描述运动。在没有失去概括性的情况下，我们经常令xy面与运动平面相一致。定义就是，刚体的一个质点间保持固定距离的质点系。这个几何约束意味物体上任意一点彼此之间的运动是受限制的。这样一个运动学关系的存在，是与系统中质点间不是刚性连接情形作对比的。当力施加在材料上时，材料就发生变形。刚体这个概念不过是我们创造出来作为近似的模型。当我们使用刚体模型时，我们假设由于变形产生的运动是可以忽略的。让我们考虑三个刻画在物体上的三个任意的点A，B和C。图一描述的三角形ABC在描写刚体运动时是很有用的。为了描述三角形ABC在空间所处的位置，非常需要知道点A的坐标xA,yA和x轴与边AB的夹角。从这方面的信息中，刚体在任意时刻的位置通过物体上一点的绝对位置和任意线的角度方向定义的。我们了解的确定刚体位置的所需的信息，允许我们描述刚体的位置是如何随着时间变化的。图1描述了三角形ABC在某一时刻相对原始位置后来由虚线表示的位置。距离xA和yA描述了点A的移动，角度描述了线段AB的旋转角度。通过刚体定义，我们知道三角形所有边之间的角度的固定的。随即可知每一边都是经历一样的旋转角度。因此，角度的变动是物体移动的整体性质。同样不管正在讨论的物体上的点。现在，假设点A的运动的指定的。除了这个运动外，点B和C的运动是与A相关的。因为角度的变动是整体性质，点A到点B和点C的径向线经历的同样的旋转。换句话说，每一点以环形的路径绕着点A运动。所以，我们 总结出：刚体的运动包含的是两类运动的叠加。第一部分包含的是，所有点的运动是跟随着物体是选的任意一点的运动。第二个运动是，在选的一点处所有线转动同样大小的转动。这个表述叫做沙勒定理。一些特别的术语被用来描述刚体的运动。一个简单的运动类型是，物体上的每一条线都保持原始的方向，也就是没有转动。这叫做平移。另一个简单的运动类型是，物体上的一点固定在空间中。沙勒定理表述是，物体的运动被认为仅仅包含在固定点处的转动，这叫做纯转动。沙勒定理可以改述为，刚体的运动是任意一点的平移和在那一点处纯转动的叠加。假设图2所示的刚体上点A的运动是已知的，物体的转动角度是。点B是我们所有寻找的任意一点。如图2所示，矢量AO和BO分别指出了点A和点B的位置。注意是独立于点A和点B的选择，因为沙勒定理表述，转动对于刚体上的线是一样的。的绝对值叫做刚体的角速度。沙勒定理提供的定性的见解，使我们能够构建代数关系来决定刚体上点的速度和加速度。参考图2描述的位置矢量，点A和点B绝对运动间的关系可以很容易得出。也就是BO=AO+BA 1 B=A+BA=A+BA 2B=A+BA=A+BA-2BA 3在上面的方程(2)和(3)中，点A处的速度和加速度是由A和A分别决定的。符号B和B可以类似的定义点B。矢量是物体的角速度，是角加速度。这两个矢量都是与运动平面垂直的，因此它们与物体运动的转动部分的轴是平行的。通常来说，和的角度单位必须是弧度质点动力学原理在解决许多动力学问题时，我们会发现质点动力学的基本定理比运动学微分方程的积分方法使用起来更方便。基本定理的重要性是建立了本体材质运动的主要的动力学特性间的可视关系。而且，为了实用目的，基本定理使我们有可能在没有从整体研究现象的情况下，研究所给现象的指定方面。现在让我们看看这些理论是如何应用在一个质点的。矢量方法是为了在没有介绍特定坐标系下将讨论的运动采用的。如图1所示，质点P位于与原点成位置矢量r的点处。与点相关的点处的速度和加速度分别是=r和a=r。如果质点的质量是m并且在力F作用下运动，那么从牛顿第二定律可以得出如下所示的运动学方程Mr=F 1。如果不止一个力作用在质点上，那么力F是所有单个力的矢量和。经常假设质点的质量m是恒定的。这意味着方程(1)可以表述成下面的方程ddtm=F 2。矢量m被定义为质点的线动量。方程(2)表明线动量的变化率等于作用在质点上的合力。如果作用在质点上的合力F等于0，那么可以从等式(2)得出线动量m是恒定的。线动量是恒定的，方程m=常数被叫做线动量的守恒方程。在t=t0时，令质量为m的且在力F作用下的质点速度为0，在时间t1令速度为1。在方程(2)两端同时乘以dt并进行定积分，我们得到m1-m0=t0t1Fdt 3。如方程(3)所示，右边的积分是在一定时间间隔内作用力的冲量。口头上来说，方程(3)表明线动量的改变等于线冲量。在分析质点运动时，经常需要考虑的不是矢量m的改变，而是力矩的改变。方程(2)与r的矢积为rddtm=rF 4。由于drdt=,drdtm=0，在简单的修改后，方程(4)可以重写为ddtrm=rF 5。表达式rm叫做线动量的力矩或者质点关于点的角动量。方程式(5)表明质点关于点的角动量的变化率等于作用在质点上的合力关于点的力矩。如果力矩rF等于0，那么我们得到rm=常数，那就是角动量关于点的守恒方程。现在考虑一个质点在非恒定力F作用下，从位置矢量为r移动到另一个位置矢量为r+r。这个力将会保持恒定，这个力作用产生的无限小的功w被定义为w=Fr。在这个力作用下，质点从一些固定位置r0移动到当前位置r所做的总功被定义为W=r0rFdr 6。总的来说，这个积分的值取决于质点从r0移动到r走过的路径。事实上，如果积分独立于路径，那么力就被定义成守恒的。对于这样的力，积分定义了唯一一个位置函数。对于任意的矢量，d2dt=ddt=2ddt，把方程F=mr替换成方程(6)，根据微分连锁律，上面的关于功的方程变为W=12m22-12 7。12m2被定义为质点的动能。口头上来说，作用在质点上的力做的功是，质点从初始位置到最终位置动能的改变量。单质点的振动当介质由于波通过它而引起扰动时 ，由介质组成的质点发生振动。举一个简单的例子，漂浮在池塘表面的软木塞由于水波的影响上下跳动。简单钟摆的浮子和自由悬挂在弹簧末端的重量，是可能出于振动中的质点的其它例子，多数读者将会对这些质点如何振动有一个好的印象。一个振动质点的运动是周期性的，也就是说，在相等的时间间隔（时段T）后，系统将会准确的出于相同的位置。例如，将会发现钟摆的浮子处于相同的位置，以跟T时刻前相同的速度和加速度移动，这些量在T,2T,3T等时刻后也是一样的。在一个时间间隔内，振动系统据说经历了一个周期的状态，频率f被定义为在一秒内发生循环 的次数。很明显，f=1T，f的单位是s-1。这个单位被叫做赫兹Hz。最简单的一类周期运动是，一个质点沿着直线移动，它的它的加速度指向线上的一固定点，并且与从固定点起计算的距离成比例。这叫做简谐运动。假设一点P沿着一直线移动，以便它的关于点沿着一直线移动，以便它的关于点的位置完全由唯一的坐标x指定。移动点的加速度是d2xd2t，指向点，并且与距离x成比例。这样得到d2xd2t+2x=0 1，式中是正常数。前面表述的方程(1)是线性的，二阶微分方程。线性是由于x和它的导数出现一次幂和二阶导，因为它的最高阶导数是d2xd2t。方程(1)被称作运动微分方程。它不是运动方程。为了找到运动方程，我们必须求出方程(1)的x，获得通解如下x=asint+ 2。量t+被称作运动的相，叫做相位常数或者初相。常数a是运动的振幅。它是x能达到的最大的可能值，由于sint+的最大值是单位一。这样运动完全发生在极限x=a之间。前面我们研究的振动系统将会有着不消减的振幅，并且永远振动。当然了，时间的物理系统不会无限期的振动。例如，悬挂在弹性绳上的质量块的振动最终将会静止。衰减的原因是，最初储存在系统中的能量在大量的过程后，转变成热能。悬挂的质量块，当它运动时，经受粘性力，因为它通过空气运动。必须做功来克服这个力，因此能量有损失。即便质量块处于真空中，在拉伸弹性绳时会有滞后损失，在绳子夹紧的固定端处会有摩擦损失。这是实验事实，当一个质点在粘性液体中运动时，例如汽油，有一个与质点相对于液体的速度成比例的阻力，是速度不会太大。摩擦力也可以通过实验表明与相对速度成比例。阻止质点运动的所有力的合力被认为是一个单一的阻尼力。进一步地，我们假设这个力在任何情况下都与质点速度成比例，也就是阻尼力等于Ddxdt，式中D是阻尼系数。对质量为m的质点应用牛顿第二运动定律，得到md2xd2t+Ddxdt+kx=0 3。实际的运动方程可以通过求解微分方程得到。结果表明x作为t的函数的表现依赖于阻尼常数的大小。前面章节提到的振动系统，有时被称作自由振动。这样的振动的频率完全由系统本身决定。没有来自外界的进一步干扰，特别是没有外部能量的介入。当一个振动系统经受某种连续周期振动时，合振动被称作受迫振动，这跟自由振动是很不同的。让我们考虑一个最简单的振动的例子，一个质量为m的质量块悬挂在刚度为k的弹性绳上，承受变化力的作用。力的最大值为F0，并且随着时间正弦变化。当我们把驱动力代入方程(3)，通过牛顿第二定律的直接应用我们得到md2xd2t+Ddxdt+kx=F0sinpt 4。这是质点振动的阻尼力微分方程。方程(4)中的量p叫做圆频率/角频率。从微分方程的理论来说，方程(4)的解是x=x1+x2，式中，x1是方程右边为零时的通解，x2是完整方程的特解。通解x1的贡献随着时间逐渐减少，因为这个原因它叫做瞬时解。另一方面，特解x2在时间t内没有减小，被叫做稳态解。这样，瞬时解和稳态解可以分别地获得，然后结合在一起成为完整解。应力平衡和相容当一个物体上作用有外力，其影响通过材料传递。内力引起这样的结果，在物体任意截面一边的材料一般来说，在另一边的材料上施加作用力。在考虑力通过物体的传递后，不仅要关心合力也要关心力的分布。为了做到这样，有必要定义一个描述一点处分布力的强度。这个量叫做应力。为了定义固体上一点处的应力分量，必须参考通过这点的平面。为这个参考面选择的方向是任意的，事实上，为了完全描述一点处的应力状态，至少要给出三个平面上的应力分量。按照惯例，选作参考面的三个平面要分别垂直于三个坐标轴x1,x2,x3。在平面垂直于坐标轴的小长方体单元的中心的应力状态，可以定义为极限值比率FijAi，其中Ai是合力量Fij作用的平面的面积。由于在单元的三个面的每一个面上有三个应力分量，总共有九个应力分量。由于应力与作用在物体内部面上的合力有关，利用力学定律可以获得平衡条件。正如F=ma必须适用于整个物体，它也必须适用于物体的小单元。作用在物体上的合力和力偶可以表达成作用在每一个面上的应力分量和平面面积的形式。如果除了应力，还有作用在物体上的每单位体积的力，例如重力、静电力或者磁力，将会有额外的力作用在物体上。这个力叫做体力。在每一个坐标方向上，作用在单元上的合力必须等于单元的质量乘以在那个方向上的加速度，因此在x1方向，可以得到11x1+21x2+31x3+Xi=a1 1，式中Xi是体力分量，是物体的质量密度。对x2,x3方向力求和可以得到类似的方程。单元必须服从，合扭矩等于角动量的变化率这样一个条件。由于当单元的尺寸变为零是，惯性矩在极限情况下将为零，这个情况意味着合扭矩将消失，因此可以得到12=21, 23=32,31=13 2。应该强调这些平衡方程仅仅是牛顿第二定律的特殊表达形式。所以，这些 适用于所有材料，不论其所包含的材料特性类型。除了描述物体上的应力，连续介质力学方面的问题还需要对物体变形的描述。通过给出物体上每一点从未变形位置到变形后的位置的位移，就可以完全描述物体的变形。然而，对于许多应用，使用定义在位移导数方面的线弹性应变是很方便的，也就是ij=12uixj+ujxi，式中ui是x方向上的位移分量。前面用到的线性表达是物体结构内部改变的描述，只有当位移ui充分小时，二阶项可以忽略。由于六个应变分量从三个位移分量导出，很明显应变分量并不都是独立的量。也就是，一个人不会再说六个方程的任意组合是物体上的应变分量。必须对方程附加限制，以确保应变与所给的位移场相统一，位移场是非常重要且独立于积分的路径。这些条件叫做相容条件。这些相容条件确保，一个人如果将要把物体分割成小的单元，并且根据应变的局部值使每一个单元变形，接下来他应该把单元重组为完整的物体，而没有孔或者材料的重叠。在连线介质力学的数学公式中，相容条件被表示为一系列二阶偏微分方程。这些方程可以写成211x22+222x12=212x1x2 3，2211x2x3=x112x3-23x1+31x2 4。类似于方程(3)和方程(4)的每一个的其它两个方程可以写成循环排列的形式。这六个方程被称作相容方程，必须满足一般三维问题的解。相容方程也不可以通过使用切当的应力应变关系，用应力来取代应变来表达。如同在应力平衡中的例子，并不需要描述问题中有关材料的所有东西。所有，很明显相容方程曾经是通用的，必须满足所有物体，且独立于所包含材料的力学性能的本质。弹性本构关系如果观察平衡方程和相容方程，就会发现包含应力的方程只包含应力、体力和加速度，但是不包含应变和位移。另外，那些包含应变和位移的方程不包含应力。由于作用于物体上的力使物体产生应力和变形，人们可以看到单元上的应力与这些应力产生的变形有关。这样一组关系完成了对作用在物体上载荷的描述。实验表明这些关系取决于所讨论问题的材料。对于大多数工程材料，弹性应变通常是十分小的 ，应力和应变的关系是线性的。最普遍的一组线性关系可以表示为ij=k=13l=13Cijklkl 1。其中Cijkl是比例常数，ij可以取从1到3的所以值。所以常数Cijkl有34=81个。从平衡关系可以知道ij=ji当然地ij=ji。从能量的观点看可以知道Cijkl=Cklij。这些条件组合意指，在最普遍的线弹性公式中，需要指定的独立常数的数量是21.由于材料通常具有大量的对称性，依据不同方向等价性的参数可以进一步的被用于减少所需常数的量。对于各向同性材料一个在所有方向都等价的材料，可以看出材料只有两个独立的弹性常数，在上面的公式中有许多0.因此，非常方便把上面的普遍方程写为胡克定律更常见的形式:11=1E11-22+33 2a 12=122G 2b如上所述，只有由符合E、G表示的两三个常数是独立的。可以看出G=E21+ 3。当常数被指定时，方程2a,b的六个方程组成了连续力学的应力应变关系。另一个公式在弹性行为与其他材料行为类型有联系的情况下，将应变部分的体积改变从变形部分分离出来是很有用的。对于任意状态下的应变，单位体积的体积改变量是三个正应变量的和。就是=I1=11+22+33 4。符号通常用于表示第一应变定量。因此可以得到ij=ij+3I 5。其中I是33阶单位矩阵。在右边的第一个矩阵表示在体积改变为0情况下的应变状态，第二个矩阵表示在无变形情况下体积的纯变量。第二个矩阵表示的应变状态叫做膨胀应变。右边第一个矩阵的术语叫做偏应变，它们用符合ij被定义为ij=ij3 6，符号ij叫做克罗内克符号。应力状态同样可以分解为偏应力和静水应力分量。静水应力或者平均正应力被定义为=13J1=1311+22+33 7，其中J1是应力张量的第一不变量。然后应力状态可以分解为偏应力和静水应力。 ij=ij+I 右边的第二个矩阵叫做静水应力，在所有方向是一样的。右边的第一个矩阵是偏应力，是静水应力为0时的应力量。所有偏应力可以被定义为ij=ij-ij。在一个各项同性弹性体中，静水应力为0时的应力使物体产生变形，同时物体的体积不发生改变。完全静水应力状态只产生体积改变，不产生变形。根据分解的应力和应变，胡克定律可以表示为ij=ij2G ,=B 10 。其中B是体积弹性模量，也就是B=E31-2。注意在方程10中，偏应力和偏应变的关系形式对于所有的分量都是一样的，同时膨胀应变只是静水应力的函数。弹性本构关系，平衡方程和相容条件，对在载荷作用下线弹性材料的行为做了构成了全面的描述。由于那些方程的数量等于未知量的数量，理论上有可能当面力在物体表面的分布给出后，可以得出物体应力的分布。实际上不然，三维问题中边界问题的求解近乎是一项不可完成的任务。包含许多近似数学技术的方法，在求解许多工程问题中证明是很成功的。13一个经常遇到的问题是，缺口附近或物体尖角周围类似的奇点处应力的确定。物体上的这些奇点，诸如，孔，裂缝或缺口，在奇点附近产生的弹性应力，总被认为大于从载荷和物体净断面积计算得来的额定应力。此种情况下的这些局部奇点，引起人们最大的兴趣。 2. 这种奇点应力集中现象的一个例子，是在很大一张的钢板上，小孔产生单向张力的效应。因为，孔的表面必须无应力；孔附近的应力，须从单向张力（方面）着手改善。无应力孔的引入，不是改变钢板上的总作用力；而是用增大孔的距离，来降低孔的影响。这个问题的解，就归结为众所周知的许多弹性问题的一个解；并且在许多有关弹性的书籍中可找到答案。在圆柱形坐标上，孔的边缘作用着的切向应力，由.（公式）给出。 3.因此，作用在孔上的最大应力，三倍于额定应力；或者，用另一方法阐述：在单向应力状态下，孔的应力集中系数为3 。 平面应力状态单向张力下，孔