高中数学 4.2平面向量的坐标运算配套课件 北师大版.ppt

第二节平面向量的坐标运算 三年8考高考指数 1 了解平面向量的基本定理及其意义 2 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 4 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 1 平面向量基本定理的应用 坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查重点 2 题型以选择题 填空题为主 与三角 解析几何等知识交汇则以解答题为主 1 平面向量基本定理前提 e1 e2是同一个平面内的两个 条件 对于这一平面内的任一向量a 实数 1 2使a 结论 不共线的向量e1 e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 不共线向量 存在唯一一对 1e1 2e2 基底 即时应用 判断下列关于基底说法的正误 请在括号内打 或 1 在 abc中 可以作为基底 2 能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的 3 零向量不能作为基底 解析 由基底的定义可知 1 3 正确 2 只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底 故 2 错误 答案 1 2 3 2 平面向量的坐标表示 1 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量a 有且只有一对实数x y 使a xi yj 把有序数对 叫作向量a的坐标 记作a 其中 叫作a在x轴上的坐标 叫作a在y轴上的坐标 2 设 xi yj 则向量的坐标 x y 就是 的坐标 即若 x y 则a点坐标为 反之亦成立 o是坐标原点 x y x y x y 终点a x y 即时应用 1 思考 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点和终点的位置有关系吗 提示 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点 终点的位置无关 只与其相对位置有关系 2 已知a 2 0 a x 3 x 3y 5 若a o为原点 则x y 解析 a 2 0 解得答案 1 2 3 平面向量的坐标运算 即时应用 1 已知a 1 1 b 1 1 则 2 已知点a 1 5 和向量a 2 3 若则点b的坐标为 3 设a 1 2 b 1 1 c 3 2 且c pa qb 则实数p q的值分别为 解析 2 设b x y 则 x y 1 5 3 2 3 x y 1 5 6 9 5 4 3 3 2 p 1 2 q 1 1 p q 2p q 答案 4 平面向量共线的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1y2 x2y1 0 即时应用 1 已知a 1 3 b x 1 且a b共线 则x 2 设a 1 1 b 1 0 若向量 a b与向量c 2 1 共线 则 解析 1 a b 1 2 3x 0 2 a b 1 1 1 0 1 又 a b c 1 1 2 0 1 答案 1 2 1 平面向量基本定理及其应用 方法点睛 用平面向量基本定理解决问题的一般思路先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式 再通过向量的运算来解决 提醒 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 另外 要熟练运用平面几何的一些性质定理 例1 如图所示 在平行四边形abcd中 m n分别为dc bc的中点 已知试用c d表示 解题指南 直接用c d表示有难度 可换一个角度 由表示进而求 规范解答 方法一 设则 将 代入 得a d c a 代入 得 方法二 设因为m n分别为cd bc的中点 所以即 反思 感悟 1 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底 该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合 基底不同 表示也不同 2 利用已知向量表示未知向量 实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算 变式训练 已知梯形abcd 如图所示 m n分别为ad bc的中点 设试用e1 e2表示 解析 又又由得 平面向量的坐标运算 方法点睛 两向量相等的充要条件两向量a x1 y1 b x2 y2 相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等 即利用向量相等可列出方程组求其中的未知量 从而解决求字母取值 求点的坐标及向量的坐标等问题 例2 1 设平面向量a 3 5 b 2 1 则a 2b等于 a 7 3 b 7 7 c 1 7 d 1 3 2 已知a 2 3 b 5 4 c 7 10 求 若求m n 解题指南 1 由向量的坐标运算法则求解即可 2 利用为点b的坐标减去点a的坐标求解 利用向量相等列出关于m n的方程组求解 规范解答 1 选a a 2b 3 5 2 2 1 7 3 2 5 4 2 3 3 1 7 10 2 3 5 7 7 10 5 4 2 6 m n m 5 7 n 2 6 5m 2n 7m 6n m n 3 1 互动探究 本例中第 2 题条件不变 问题变为 若试求 为何值时 点p在一 三象限的角平分线上 又该如何求解 解析 设p x y 则 x y 2 3 x 2 y 3 5 4 2 3 7 10 2 3 3 5 1 7 若点p在一 三象限的角平分线上 则5 5 4 7 反思 感悟 求解平面向量坐标的加法 减法 数乘运算 以及求向量的坐标表示等问题 关键是理解平面向量线性运算和坐标形式的性质与规律 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 变式备选 已知a 1 2 b 2 1 c 3 2 和d 2 3 以为一组基底来表示 解析 由题知 1 3 2 4 3 5 4 2 5 1 3 5 4 2 5 1 12 8 又为平面内不共线的向量 故根据平面向量基本定理 一定存在实数m n 使得 12 8 m 1 3 n 2 4 也就是 12 8 m 2n 3m 4n 平面向量共线的坐标表示 方法点睛 利用两向量共线解题的技巧 1 一般地 在求与一个已知向量a共线的向量时 可设所求向量为 a r 然后结合其他条件列出关于 的方程 求出 的值后代入 a即可得到所求的向量 2 如果已知两向量共线 求某些参数的取值时 则利用 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是x1y2 x2y1 解题比较方便 提醒 1 注意0的方向是任意的 2 若a b为非零向量 当a b时 a b的夹角为0 或180 求解时容易忽视其中一种情形而导致出错 例3 已知a 1 0 b 2 1 1 当k为何值时 ka b与a 2b共线 2 若 2a 3b a mb且a b c三点共线 求m的值 解题指南 1 利用向量共线的充要条件列出关于k的方程求解即可 2 可引入参数 使 求m 或利用 的坐标形式求m 规范解答 1 ka b k 1 0 2 1 k 2 1 a 2b 1 0 2 2 1 5 2 ka b与a 2b共线 2 k 2 1 5 0 即2k 4 5 0 得 2 方法一 a b c三点共线 即2a 3b a mb 方法二 2a 3b 2 1 0 3 2 1 8 3 a mb 1 0 m 2 1 2m 1 m a b c三点共线 8m 3 2m 1 0 即2m 3 0 反思 感悟 1 利用已知列方程求解参数是解该类问题的关键 2 若 则a b c三点共线 注意这一结论的应用 变式训练 2012 中山模拟 已知向量 1 若点a b c不能构成三角形 求x y应满足的条件 2 若求x y的值 解析 1 若点a b c不能构成三角形 则这三点共线 由得 3 1 y 2 x x y满足的条件为x 3y 1 0 2 x 1 y 由得 2 x 1 y 2 x 1 y 变式备选 向量a x 1 b 9 x 若a与b方向相反 则x 解析 因为a b 所以x2 9 所以x 3 又因为a与b方向相反 所以x 3 答案 3 易错误区 忽视向量平行的充要条件导致错误 典例 2011 湖南高考 设向量a b满足 a b 2 1 且a与b的方向相反 则a的坐标为 解题指南 设a b 0 利用 a 列出关于 的方程求解即可 规范解答 a与b的方向相反 且b 2 1 可设a b 0 则a b 2 又 a 即5 2 20 2 4 又 0 2 a 4 2 答案 4 2 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 上海高考 设a1 a2 a3 a4是平面上给定的4个不同点 则使成立的点m的个数为 a 0 b 1 c 2 d 4 解析 选b 方法一 取特殊值 令a1 0 0 a2 0 1 a3 1 1 a4 1 0 则满足的条件的点有且仅有1个 即为正方形a1a2a3a4的中心 故选b 方法二 设m x y ai xi yi i 1 2 3 4 则 xi x yi y 由得 点m只能有一个 故选b 2 2012 西安模拟 已知两点a 1 0 bo为坐标原点 点c在第二象限 且 r 则 等于 a b c 1 d 1 解析 选b 作图 由已知