导热数值解法习题.doc

第四章 导热问题数值解法习题例4.2 图为一截面为正方形的钢柱，钢柱长l=100 mm, 正方形边长s=20 mm, 钢柱的导热系数=40/(mK)，钢柱的左端温度为60 C，右端绝热。钢柱和空气之间的平均对流传热系数h为40W/(m2K)，空气的温度为20 C。 试求沿钢柱长度的温度分布。解假定钢柱的温度分布可视为沿长度方向的一维导热，节点间距定为x=20 mm，这样共有6个节点。节点2、3、4、5为内节点，相应的节点方程式为： （1）代入具体数值，该式可写成 （2）节点6为边界节点，相应的节点方程式为： （3）代入具体数值，该式可写成 （4）用VB语言编制高斯迭代法的程序如下，第一行为给各节点赋假定初值。t(1) = 60: t(2) = 53: t(3) = 46: t(4) = 39: t(5) = 32: t(6) = 25: For j = 1 To 50For i = 2 To 5t(i) = (t(i - 1) + t(i + 1) + 1.6) / 2.08t0(i, j) = t(i)Next it(6) = (t(5) + 0.8) / 1.04t0(6, j) = t(6)Next jFor k = 1 To 50PrintPrint k;For i = 1 To 6Print t0(i, k);Next iNext k迭代结果如下表所示，最后一行是根据微分方程解所得结果。微分方程解采用肋端为绝热边界条件的公式。 （5） （6） （7）迭代次数t2()t3()t4() t5()t6()053463932251050.8644.4040.1537.7837.092051.3645.2641.2338.9438.213051.4445.4041.4139.1438.40解析解51.4045.3841.3839.1038.37从表中可以看出，迭代到30次时，数值方法的结果和微分方程的解非常接近。例4.3 图为一1 m0.75 m的矩形截面长杆，导热系数为=1.28 W/(mK)。它的上、左、右三边保持均匀的温度60 C，而下边与30 的空气相接触，平均对流传热系数h=8 W/(m2K) 试求截面的温度分布。解 这是一个相对于中心线对称的导热问题，因此只需求一半求解域的温度分布即可，按节点数34计算，h0.25/1.28=1.5625 节点1、2、3、4为内节点，节点方程简单，可用以下公式带入具体节点下标或数值。t i-1,j + t i+1,j+ t i,j-1+ t i,j+1- 4t i,j =0 （1）节点5、6为边界节点，节点方程较复杂。对于节点5，根据能量守恒方程有： （2） t 6 +602 t 321.562530(421.5625)t 50 （3）节点6正好在中心线上，根据能量守恒方程有： （4）t 4t 51.562530(21.5625)t 60 （5）节点方程从节点1至节点6依次为： 4t1t 2t 31202 t 14 t 2t 460t 14 t 3t 4t 560t 22 t 34 t 4t 602 t 37.125 t 5t 6153.75t 4t 53.5625 t 646.875用矩阵符号，上述方程可表达为A = -4.0 1.0 1.0 0 0 0 2.0 -4.0 0 1.0 0 0 1.0 0 -4.0 1.0 1.0 0 0 1.0 2.0 -4.0 0 1.0 0 0 2.0 0 -7.125 1.0 0 0 0 1.0 1.0 -3.5625C= -120.00 -60.00 -60.00 0 -153.75 -46.875用MATLAB计算得T = 57.01 55.94 52.10 49.74 41.65 38.81例4.4 图示为一长0.75m宽0.5m的矩形截面，材料的导热系数=1.28 W/(mK)，左、下侧面绝热， 上侧面维持60 C，而右侧与30 的空气相接触，对流传热系数h=10 W/(m2K)。试求截面的温度分布。（节点间距x=y=0.25 m） 解 节点4、6为内节点，节点方程简单，可用以下公式代入具体节点下标或数值。t i-1,j + t i+1,j+ t i,j-1+ t i,j+1- 4t i,j =0节点7、8为边界节点，节点方程较复杂。对于节点7，根据能量守恒方程有： （1） t 5t 8(21.9531)t 71.9531300 （2）对于节点8，根据能量守恒方程有： （3） 2 t 660t 7(421.9531)t 821.9531300 （4）节点方程从节点1至节点8依为 ：2 t1t 2t 30t14 t 22 t 460t14 t 32 t 4t 50t 2t 34 t 4t 660t 34 t 52 t 6t 70t 4t 54 t 6t 860t 53.9531 t 7t 858.5932 t 6t 77.9062 t 8=177.186用矩阵符号，上述方程可表达为A = -2.0 1.0 1.0 0 0 0 0 0 1.0 -4.0 0 2.0 0 0 0 0 1.0 0 -4.0 2.0 1.0 0 0 0 0 1.0 1.0 -4.0 0 1.0 0 0 0 0 1.0 0 -4.0 2.0 1.0 0 0 0 0 1.0 1.0 -4.0 0 1.0 0 0 0 0 1.0 0 -3.9531 1.0 0 0 0 0 0 2.0 1.0 -7.9062C = 0 -60.0 0 -60.0 0 -60.0 -58.593 -237.186用MATLAB计算得T = 54.65 56.16 53.14 55.00 47.90 50.70 37.04 39.92 例4.5图示为一无限大平壁，厚度为1 m, 初始温度为100 C均布，布，物性参数为常数，热扩散率=3.1710-4 m2/s。现突然将其两侧壁温保持为0 C。试求平壁中心温度降到40 C时所需时间。解 如图所示，平壁内布置3个内节点，分别为1、2、3。节点之间间距为x=0.25 m，点2正好在中心线上。由于平壁相对于中心线对称。因此只需要计算1、2两点。通用节点方程为： （1） 节点1： （2）节点2： （3）上式中因相对于中心线对称，因此t1=t 3。本题为非稳态导热，所以应Fo0.5，取Fo=1/3，则时间 （4）使用计算机编程计算后结果如下： 时间步（min）t1()t2()01.110010012.266.6710023.355.5677.7834.444.4462.9645.535.8050.6256.628.8140.7467.723.1832.78从表中可以看出，在稍过5.5min时，平壁中心温度降到40 C。例4.6一无限大平壁厚120mm，开始处于均匀的温度30 C，左端绝热，右端端突然降低到0 C。试求经过30min后，平壁的温度分布。物性参数为常数，热扩散率a=2.2510-6 m2/s。解这是一个瞬态导热问题，假定是一维导热，取节点分布如图，x=30mm。现在仅1、2、3三个内节点的温度未知而需求解，相应的节点方程为 （1） （2）取Fo=0.5, 可消去上述节点方程的最后一项， 因此取=200s。该节点方程为 （3） i=0,1,2,3由于x0处为绝热面，因此可以作为对称平面处理。对于节点0（i=0）,，k200k（s），k=(0，1，2，3，4，5，6，7，8，9)使用计算机编程计算后结果如下：时间步(s)t0()t1()t2()t3()00303030301200303030152400303022.51536003026.322.515480026.326.318.811.35100026.322.518.89.386120022.522.515.99.387140022.519.215.97.978160019.219.213.67.979180019.216.413.66.8例4.7混凝土操场地面在夏天的温度可高达45 C，但一场暴雨可使其表面温度降低到20C，假如该表面温度能保持15 min。混凝土的热扩散率a=710-7 m2/s。 试求地表下2 cm处2 min时的温度。解 本题为半无限大介质的瞬态导热问题。通用节点方程为： （1）取Fo=0.5, 可消去上述节点方程的最后一项， （2）取节点间距为x=5 mm， （3） （4）对于节点1，t0 =20。编制相应的计算机程序后，计算结果如下：时间步（s）t0()t1()t2()t3()t4()t5()t6()0020454545454545117.8752032.54545454545253.6252032.538.7545454545371.52029.383