2013年泉州中考数学试题第25题（3）小题的讲评

说 题 稿金光中学 黄锦英各位评委、各位同行，大家好！今天我参加说题的题目是2013年泉州市数学中考试题的第25题。这个题目是一题涉及知识点多、面广的综合性很强压轴题，除了着重考查学生的构造、分类讨论等数学思想的典型题目外，关键是命题者提供的参考答案中有三个值得我们深入研讨、细心商榷的地方。所以，今天选择这个题目来说题，意在抛砖引玉，能得到专家们的赐教。原题：25（12分）（2013泉州）如图，直线y=x+2分别与x、y轴交于点B、C，点A（2，0），P是直线BC上的动点（1）求ABC的大小；（2）求点P的坐标，使APO=30；（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使APO=30的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由一、审题分析1、题目背景：2013年泉州市数学中考试题的第25题。本题分3个小题，第(1)小题是书本中一次函数中例题的改编题，第(2)小题是一道变形题，而第(3)小题是中考命题者根据考试说明的能力要求设计的原创题。2、分析题目：（1）本题考查的知识点多、面广，是一道综合性较强的题目。涉及到代数方面有：一次函数的图像与性质；几何方面有：解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形的中位线性质，直线和圆的位置关系，同弧所对圆周角与圆心角的关系。（2）本题考查了学生的计算能力，动手操作能力，观察、分析、探究和解决问题的能力。第（1）求角的度数比较容易，大部分学生能轻松解答，属低级思维，第（2）小题 探索满足条件的点，有一定难度，若不注意，可能丢掉一个点，要求的思维程度有所提高，而第（3）小题，难度较大，学生若不懂构造圆解决，则无法解答完整，这是解决本题的突破口，属高级思维，由易到难设置问题，让不同学生的思维水平得到不同程度的发挥。 3、难点关键：利用构造思想、分类讨论思想，通过构造圆的方法，进行分类讨论判断直线BC与圆的位置关系，从而求得动点P的个数；4、学情分析：我校是农村初中校，家长大部分是农民和工人，平时忙于工作，很少关注学生的学习，而学生的自主探索能力较低。方法上，采用小组合作的方式来调动学生的参与热情，激发学生的自主探究兴趣。课堂上，老师的提问启发思考，观察类比，引导学生积极参与课堂教学，让学生经历自主探索和合作交流的学习过程，充分调动学生非智力因素，使学生产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发展合情推理和演绎推理能力。二、解题过程1、解题分析：中考综合题得分易，得满分难，所以要指导学生认真分析题目，尽量多得分。第(1)小题求ABC大小，本小题是考查对“方程与一次函数的关系”这一知识点的掌握运用情况。因此，我们分析时应先观察角的位置，再考滤求解方法，如在三角形中，利用直角三角形或特殊三角形的方法。思路一：本小题根据坐标轴上点的坐标特征易得B、C两点的坐标，从而确定OB、OC的长度，再解RtOBC即可求ABC大小。思路二：连接AC（如右图示），由A、B两点的坐标可知，它们关于Y轴对称，由对称性质得ACBC，再由勾股定理求得ACBC4，再判断ABC为等边三角形，即得ABC=600，这也为解决第（2）小题作铺垫，这样学生可以为自己获得3分。第(2)小题求P的坐标，条件使APO=300。思路一：本小题可引导学生观察AOC的度数，利用在圆中，直径所对圆周角为直角的知识，考滤A、O、C三点共圆，故可构造圆，则弦AO所对圆心角为600，把解决本问题转化为以AC为直径的圆与直线BC的公共点问题，即直线与圆的位置关系，因此有两个点符合条件。思路二：由第(1)小题可得ACO300，即当点P与点C重合时，APO300，另外，取BC的中点P（如右图示），连结OP,由三角形中位线性质及等边三角形的“三线合一”等性质，可得APO=300，因此，符合条件的点P有两个，解决本题时，也许学生不能考虑这么深刻，教学时，应引导学生利用勾股定理求出BC的长度并判断ABC是等边三角形，并写出论证过程，尽量争取再得2分。 对于第（3）小题，是动态几何问题，主要考查动手操作，探索、分析、解决问题的能力。思路一：要在动直线BC上寻找符合条件的点P，可引导学生在第（2）小题的基础上思考，300的圆周角所对弧为AO，该弧所对的圆心角为600。因此，以AO为弦构造圆，由对称性知，这样的圆有两个，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，符合条件的点P实际上是直线BC与两圆的公共点，这样就把问题转化为直线与圆的位置关系进行解决，然后，通过动手操作，运动直线BC，进行分类讨论，得出直线BC在不同位置时，点P的个数变化，不妨记两圆为Q，Q，点Q，Q关于x轴对称，点P的个数情况如下：）有1个：直线BC与Q（或Q）相切(如图五示)；）有2个（如图六示）：直线BC只与Q（或Q）相交；直线BC过Q与Q的一个交点，同时与两圆都相交；直线BC与Q、Q都相交，且与弦AO相交；）有3个（如图七示）：直线BC与Q（或Q）相切，同时与Q（或Q）相交； ）有4个（如图八示）：直线同时与、都相交，同时直线不与弦相交，且不过两圆的交点.思路二：本题也可根据直线y=x+b中b的取值范围进行分类讨论。2、解答过程：解：（1）在y=x+2中，令x=0，得y=2；令y=0，得x=2，C（0，2），B（2，0），OC=2，OB=2tanABC=，ABC=60（2）如答图1所示，连接AC由（1）知ABC=60，BC=2OB=4来源:Zxxk.Com又AB=4，AB=BC，ABC为等边三角形，AB=BC=AC=4以AC为直径作圆与直线BC交于点P1，P2QP1=2，QO=2，点P1与点C重合，且Q经过点OP1（0，2）QA=QO，CAB=60，AOQ为等边三角形在Q中，AO所对的圆心角OQA=60，由圆周角定理可知，AO所对的圆周角APO=30，故点P1、P2符合条件QC=QP2，ACB=60，P2QC为等边三角形P2C=QP=2，点P2为BC的中点B（2，0），C（0，2），P2（1，）综上所述，符合条件的点P坐标为（0，2），（1，）（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使APO=30的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个如答图2所示，以AO为弦，AO所对的圆心角等于60的圆共有2个，记为Q，Q，点Q，Q关于x轴对称点在这两个圆被轴截成的两段优弧中（不包括A，O两点），此时， P都满足APO=AQO=AQO=30，点P的个数情况如下：）有1个：直线BC与Q（或Q）相切；）有2个：直线BC只与Q（或Q）相交；直线BC同时与两圆都相交且与弦AO相交（包括A，O两点）；）有3个：直线BC与Q（或Q）相切，同时与或Q（Q）相交； ）有4个：直线同时与、都相交，同时直线不与相交，且不过两圆的交点.三、总结提升1、解题方法我们从不同角度分析本题的不同解法，即一题多解，有利于沟通相关知识的联系，培养学生的发散性思维。构造法解题是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它认识与解决原问题的一种思想方法。它是数学解题方法中很重要的一种方法，但构造法包含的内容也很多，在解题中的应用也是千变万化。而本题应用的是构造图形法，即以APO=30为前提，构造以AO为弦的圆，其目的是通过这个图形直观地揭示已知与未知的关系，确定论证点P的位置，使证题的思路豁然开朗，有利于培养学生的创新思维能力。2、数学思想本题运用到的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想、转化、化归思想、分类讨论思想、构造思想等。3、反思提升当然，老师在教学中也要有敢于质疑、挑战权威的勇气，如对本题第（3）小题答案的处理，可以说是一段时间让我很纠结的一件事，一直困绕着我。这期间，有与同校、外交的同行或同学研讨，还与我们学校的方明华书记多次研讨，方书记也不敢想信，中考试题是经过多次论证的，还会有考滤不周吗？最后方书记还与市进修学校的教研专家研讨，中考命题者的参考答案确实有考滤不周的地方。所以，可以说这是一次跨校跨区的大教研活动，让我受益非浅。这也是今天我为何选择这个题目说题的主要原因，利用这个机会再与各位专家继续研讨。现回放第（3）小题命题者的参考答案：第一处：（注）理由：这里是命题者考虑不周，不是笔误。1、点在、这两个圆被轴截成的两段劣弧中，都只能使，2、点与点A或点O重合时，APO不存在所以应改为：点在这两个圆被轴截成的两段优弧中（不包括A，O两点），此时， P都满足APO=AQO=AQO=30第二、三处：（注）理由：当点P与点A或点O重合时，APO不存在，使APO=30的点P只有两个。所以应改为：答案中的“直线BC过Q与Q的一个交点，同时与两圆都相交”部分应属于第2种类；（注）理由：直线同时与、都相交且不过两圆交点，有两种情形：第一种：当直线BC同时与两圆都相交且不与弦AO相交时点P有4个；第二种：当直线BC与两圆都相交且与弦AO相交，并不过两圆的交点时，虽说有四个交点，但与劣弧AO相交的两个点P，都只能使，不符合题意，所以点P的个数也只有2个。所以应改为：）有4个：直线BC同时与两圆都相交且不与弦AO相交；第二种情形应属于第2类。4、拓展价值1、体现在“活”与“动”两个字的关系。 “活”是通过“动”来实现的。一方面表现在两个“动”，点在直线上运动，直线又在平面上平移；另一方面表现在以平面坐标为依托，兼顾几何、代数两大方向，知识涵盖面宽，方法包容性强，拓展辐射作用大。这种动态的几何题题型新颖、灵活性强，有区分度，受到人们的高度关注，更得到命题者的青睐。教者应立足平时，强化训练，这有利