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专题一统计量及抽样的分布 I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布 最高分数分布最低分数分布平均分数分布样本的分布21样本矩21合计4/1000/1002/100II.内容总结一、总体与样本1.总体：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。2.样本：从总体中随机抽取n个个体x1,x2,xn称为总体的一个样本，个数n称为样本容量。3.简单随机样本如果总体X的样本x1,x2,xn满足：（1）x1与X有相同分布，i1，2，n；（2）x1,x2,xn相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。得到简单随机样本的方法称为简单随机抽样方法。4.样本的分布（1）联合分布函数：设总体X的分布函数为F（x），x1,x2,xn为该总体的一个样本，则联合分布函数为 二、统计量及其分布1.统计量、抽样分布：设x1,x2,xn为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2,xn）不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。2.样本的数字特征及其抽样分布： 设x1,x2,xn为取自某总体X的样本，（2）样本均值的性质：若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即 偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值. （5）样本矩 （7）正态分布的抽样分布A.应用于小样本的三种统计量的分布 的为自由度为n的X2分布的分位点.求法：反查X 2分布表. III.典型例题答疑编号918020101：针对该题提问答案：D 答疑编号918020102：针对该题提问答案： 答疑编号918020103：针对该题提问 答案：B答疑编号918020104：针对该题提问 答案：1 答疑编号918020105：针对该题提问 答案：B 答疑编号918020106：针对该题提问 解析： 故填20. 答疑编号918020107：针对该题提问 答案：n解析： 答疑编号918020108：针对该题提问 答案：解析：本题考核正态分布的叠加原理和x2分布的概念。根据课本P82，例题328的结果，若XN（0，1），YN（0,1）,且X与Y相互独立，则XYN（00，11）N（0，2）。本题，已知X1、X2、X3、X4为来自总体XN（0，1）的样本，所以X1、X2、X3、X4相互独立且服从同分布N（0，1），则X1+X2N（0，2），X3+X4N（0，2）；从而， ,则下列选项中正确的是（） 答疑编号918020109：针对该题提问答案：A解析：本题考察课本p140，4.一些重要结论。记忆内容。专题二 参数估计 I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布 最高分数分布最低分数分布平均分数分布点估价2, 262评价标准2区间估计106合计14/1006/10010/100II.内容总结一、参数的点估计1.概念：（1）参数：分布中所含有未知参数（可以是向量）；分布中所含有未知参数的函数；其他数字特征的未知值。2.点估计的常用方法（1）矩法（数字特征法）：A.基本思想：用样本矩作为总体矩的估计值；用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值。B.估计方法：同A。（2）极大似然估计法A.基本思想：把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估计值。 3.点估计的评价标准二、参数的区间估计1.置信区间的概念 设为总体的一个未知参数，由样本 确定的两个统计量，若对于给定的概率有则称随机区间为参数的置信度为置信区间，并称为置信度（置信水平），2.置信区间的意义：的置信度为的置信区间指的是包含在区间的概率为100（1-）.3.置信区间的长度的规律（1）样本容量n固定，置信度1-增大，置信区间长度增大，区间估计精度降低；1-减小，区间长度减小，区间估计精度提高；（2）置信度1-固定，样本容量n 增大，区间长度减小，估计精度提高。 4.正态总体参数的区间估计表（p162，表71）略。III.典型例题例1.设总体答疑编号918020110：针对该题提问 答案：1例2.设总体X为指数分布，其密度函数为 是样本，故答疑编号918020111：针对该题提问答案： 解析：本题主要考核指数分布的数字特征及矩法估计。若指数分布的概率密度为 本题总体X密度函数为是样本，由矩法估计有 例3.设总体 为来自总体 的样本，无偏估计是（） 答疑编号918020112：针对该题提问答案：A解析：本题考察的是课本p153例714的一个说明，即是总体方差的无偏估计。本人在面授讲课中曾经证明过。例4.设总体X服从参数为的指数分布，其概率密度为 由来自总体X的一个样本答疑编号918020113：针对该题提问答案： 解析：本题考察指数分布的概念：设总体X服从参数为 的指数分布，则其数学期望 例5.设总体为来自总体X 的样本，则当_时， 答疑编号918020114：针对该题提问答案：1/4例6.由来自正态总体容量为100的简单随机样本，得样本均值为10，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是_. 答疑编号918020115：针对该题提问答案：9.804，10.196解析：本题考核区间估计内容。本题属于“单正态总体、方差已知，均值的区间估计”问题，置信度为1的置信区间为 由已知， 所以，所求区间为100.196，100.196。例7.用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶维生素C的含量为随机变量X（单位：mg），设XN（,2），其中,2均未知。现抽查16瓶罐头进行测试，测得维生素C的平均含量为20.80mg，样本标准差为1.60mg，试求的置信度95的置信区间.答疑编号918020116：针对该题提问解析：本题为区间估计的应用题。解：由条件知，本题为单正态总体XN（,2）方差2未知，求均值置信度为95的置信区间。为此选择统计量 通过推导可得，置信度为1均值的置信区间为 由已知带入上式得计算得所求置信区间为19.948, 21.652.例8.一台自动车床加工的零件长度X（单位：cm）服从正态分布N（,2），从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差试求：总体方差2的置信度为95的置信区间.（附： 答疑编号918020117：针对该题提问答案： 解析：本题是正态总体，均值未知，总体方差的区间估计。解：由已知， 置信度195，取样本方差s2为总体方差2的点估计，选择估计函数从而得到2的1置信区间为 查 带入数值分别计算得 因此，所求的置信区间为0.0428，1.8519. 专题三假设检验I.考点分析 最低分数分布最高分数分布平均分数分布两类错误1检验统计量，22均值检验83方差检验2合计4/10010/1008/100II.内容总结一、假设检验问题1.假设检验的基本思想 假设检验的理论根据是“小概率”原理，即小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，所以，在一次试验中发生的事件（抽出的一个样本）可以认为是“大概率”事件，对所检验的总体的概率分布具有代表性，因此，可以在一定的显著水平使用一次抽样得到的样本对总体进行检验，得出确定的结论，对作出的假设进行取舍。2.统计假设的概念： 对一个总体或两个总体的某个统计性质进行说明或比较时，由于这些性质未知或不完全知道，因而作出某种假设H0，称为统计假设。3.假设检验的类型参数的假设检验：对总体的数字特征，或分布函数中的参数提出假设的问题，称为参数的假设检验。非参数的假设检验：除上述问题以外的假设检验，称为非参数假设检验。二、假设检验的基本步骤1.提出统计假设：根据理论或经验对所要检验的量作出原假设（零假设）H0和备择假设H1，要求只有其一为真。如对总体均值检验，原假设为H0：=0，备择假设为下列三种情况之一： 2.选择适当的检验统计量，满足：必须与假设检验中待检验的“量”有关；在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知。3.求拒绝域：按问题的要求，根据给定显著水平查表确定对应于的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W。4.求统计量的样本值并决策：根据样本值计算统计量的值，若该值落入拒绝域W内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0。三、假设检验与区间估计的联系在显著水平为的双侧检验中，接受域（课本没有给出接受域的概念，即拒绝域在实数内的补集）即为置信度为1-的置信区间，即统计量的观测值落入置信区间时，接受原假设，否则拒绝原假设，二者的风险是一致的。以单个正态总体，2已知，对均值的区间估计及对的双侧检验为例，加以说明。 四、假设检验的两类错误（1）假设检验可能犯下列两类错误：第一类错误：“弃真错误”：H0正确而放弃H0。犯第一类错误的概率为显著水平；第二类错误：“取伪错误”：H0不正确而接受H0。犯第二类错误的概率为，但没有给出的求法。（2）两类错误的关系在样本容量不变的条件下，如果减小犯第一类错误的概率，必然扩大接受域，缩小拒绝域，则会增加犯第二类错误的概率；反之亦然。若同时减少犯两类错误的概率，只有增加样本容量。五、各种假设检验（检验水平为 ）列表p181，表84，略。III.典型例题例1.设总体X服从正态分布N（，1）为来自该总体的样本，为样本均值，s的样本标准差，欲检验假设 则检验用的统计量是 答疑编号918020201：针对该题提问答案：B 解析：本题考察正态总体、方差已知、对均值的检验。属于u检验，检验统计量为 例2.设总体N（，2），X1，X2，Xn为来自该总体的样本， 为样本均值，S2为样本方差，欲检验假设 则检验用的统计量是（）. 答疑编号918020202：针对该题提问答案：C 解析：本题考察正态总体、方差未知、均值的检验，属于t检验，检验统计量为 例3.某公司对产品价格进行市场调查，如果顾客估价的调查结果与公司定价有较大差异，则需要调整产品定价。假定顾客对产品估价为X元，根据以往长期统计资料表明顾客对产品估价XN（35，102），所以公司定价为35元。今年随机抽取400个顾客进行统计调查，平均估价为31元。在=0.01下检验估价是否显著减小，是否需要调整产品价格？（u0.01=2.32，u0.005=2.58）答疑编号918020203：针对该题提问解析：本题考核单侧假设检验。解：设需要检验的假设 根据题目的已知条件（单正态总体、方差已知，对均值进行检验），选择统计量 因为样本观察值8W所以，拒绝原假设H0，接受H1，即可以认为估价显著减小，应该对公司定价进行调整。例4.在假设检验问题中，犯第一类错误的概率的意义是（）A.在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率B.在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率C.在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率D.在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率答疑编号918020204：针对该题提问解析：在假设检验问题中，“第一类错误”称为“弃真错误”，指H0为真时被拒绝；“第二类错误”称为“取伪错误”，指H0为假时被接受，总之，两类错误均针对H0而言，注意记忆。选C。例5.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H0为原假设，则P拒绝H0H0真_。答疑编号918020205：针对该题提问解析：“犯第一类错误”是指犯“弃真错误”，即H0成立而拒绝H0，其概率为显著水平 。这里所说犯第一类错误的概率就是P拒绝H0H0为真）所以，本题填写0.05。 例6.对正态总体的数学期望 进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H0 ：=0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（ ）A.不接受，也不拒绝H0B.可能接受H0，也可能拒绝H0C.必拒绝H0D.必接受H0 答疑编号918020206：针对该题提问答案：D。 解析：本题考核假设检验中对显著水平意义的理解。设为检验统计量的样本观察值，在例题81的推导过程中有 即，当H0为真时，拒绝H0的概率为。因此，当减小时，H0被拒绝的概率减小，被接受的概率增大。专题四回归分析 I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布 最高分数分布最低分数分布平均分数分布回归方程21相关性检验21合计4/1000/1002/100II.内容总结一、回归关系（1）定义：回归关系是指两个变量中，一个变量是可以人为控制的、非随机的，简称可控制变量，另一个是随机变量，则称它们之间的关系为回归关系.（2）表示法：用回归函数表示，其中，自变量为控制变量，函数为随机变量。二、一元线性回归分析1.数学模型和一元线性回归方程当控制变量x取一组不同的值x1，x2，xn时，通过试验得到随机变量y对应值y1，y2，yn，得到n对观测值（x1，y1），i1，2，n，有如下关系其中， 且相互独立，则上式称为一元线性回归的数学模型.于是，一元线性回归方程为 其中， 此方程的直线称为回归直线. 2.未知参数的点估计 未知参数0，1的估计方法最小二乘法3.回归方程的显著性检验（1）F检验法 其中， 称为剩余平方和。对于给定的显著水平，经查表得临界值F（1,n-2），因而拒绝域为 认为回归方程是显著的，否则，认为回归方程不显著。（2）t检验法 其中， 从而得拒绝域时，拒绝H0，认为一元线性回归显著；否则，认为不显著。4.参数估计量的性质III.典型例题例1.某公司研发了一种新产品，选择了n个地区A1，A2，An 进行独立试销.已知地区Ai投入的广告费为xi，获得的销售量为y1，i=1，2，n.研