高考数学一轮复习 2.12 导数的综合应用课件 文 新人教A版.ppt

2 12导数的综合应用 一 导数与单调性和最值 1 函数在某个区间上恒为增函数 或减函数 的问题 关键是利用导数将问题转化为函数的导数在此区间上恒为正 或负 的问题 也就是导函数最值大于 或小于 0的问题 具体处理时 一定要注意端点值的讨论 2 利用导数证明不等式问题时 一般根据要证明的不等式构造函数 转化为函数的最值问题 具体的证明步骤为 将所给的不等式移项 整理 变形为求证不等式f x 0 0 的形式 利用导数研究函数在给定区间上的单调性 得到函数的 最值 将不等式问题转化为函数的最值恒大于0或者小于0的问题 二 导数与方程的根的个数 利用导数研究方程的根的个数 其具体步骤为 将方程移项 整理 转化为方程f x 0 利用导数研究函数y f x 图像的变化情况 利用数形结合思想研究f x 与x轴交点的个数 从而得到方程根的个数 1 已知函数f x 的导函数f x 的图像如图所示 那么函数f x 的图像最有可能的是 解析 由f x 的图像知0和 2是f x 的极值点 且x 0时 f x 单调递减 故选a 答案 a 2 函数f x x3 2x 1在区间 0 1 上是 a 单调递增的函数 b 单调递减的函数 c 先减后增的函数 d 先增后减的函数 解析 f x 2x2 2 当x 0 1 时 f x 0 故函数f x 在区间 0 1 上单调递减 答案 b 3 若函数y f x 的导函数在区间 a b 上是增函数 则函数y f x 在区间 a b 上的图像可能是 解析 函数y f x 的导函数在区间 a b 上是增函数 则图像上的点切线斜率越来越大 a正确 答案 a 题型1利用导数研究某个区间上恒为单调函数的问题 例1已知函数f x x3 3ax2 bx 其中a b为实数 1 若f x 在x 1处取得的极值为2 求a b的值 2 若f x 在区间 1 2 上为减函数 且b 9a 求a的取值范围 分析 要使函数f x 在区间 1 2 内是减函数 只需f x 的导数在区间 1 2 内恒小于或等于0 解析 1 由题设可知 f 1 0且f 1 2 即解得a b 5 2 f x 3x2 6ax b 3x2 6ax 9a 又f x 在 1 2 上为减函数 f x 0对x 1 2 恒成立 即3x2 6ax 9a 0对x 1 2 恒成立 f 1 0且f 2 0 即则有 a 1 a的取值范围是 1 点评 在处理函数在某个区间上恒为增函数或减函数的问题时 注意检验端点值是否合适 变式训练1已知定义在r上的函数f x x2 ax 3 其中a为常数 1 若x 1是f x 的一个极值点 求a的值及f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 1 0 上是增函数 求a的取值范围 解析 1 f x ax3 3x2 f x 3ax2 6x 3x ax 2 x 1是f x 的一个极值点 f 1 3 a 2 0 得a 2 经检验a 2为所求 由a 2 得f x 6x x 1 又f x 的定义域为r 由f x 0 得x1 由f x 0 得0 x 1 函数f x 的单调增区间为 0 1 单调减区间为 0 1 2 函数f x 在区间 1 0 上是增函数 f x 3x ax 2 0在区间 1 0 内恒成立 即不等式a 在区间 1 0 内恒成立 a 2 故实数a的取值范围为 2 例2已知函数f x 在点 1 f 1 的切线方程为x y 3 0 1 求函数f x 的解析式 2 设g x lnx 求证 g x f x 在x 1 上恒成立 分析 要证明g x f x 通过等价转化后构造新的函数 在x 1 上恒大于或等于0 题型2利用导数证明不等式问题 f 1 2 化简得b a 4 f x f 1 1 解得 a 2 b 2 f x 解析 1 将x 1代入切线方程得y 2 2 由已知得要证明lnx 在 1 上恒成立 只要证 x2 1 lnx 2x 2成立 即要证x2lnx lnx 2x 2 0在 1 上恒成立 设h x x2lnx lnx 2x 2 h x 2xlnx x 2 x 1 2xlnx 0 x 2 即h x 0 h x 在 1 上单调递增 h x h 1 0 g x f x 在x 1 上恒成立 点评 利用导数研究不等式问题的处理办法是构造新的函数 将原来的问题转化为新函数的最值问题来解决 变式训练2已知函数f x ax3 cx d a 0 是r上的奇函数 当x 1时 f x 取得极值 2 1 求f x 的单调区间 2 证明 对任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 解析 1 f x 为r上的奇函数 f x f x d 0 f x ax3 cx f x 3ax2 c 当x 1时 f x 的极值为 2 得 f x x3 3x f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 x1 f x 0 1 x 1 f x 的单调递增区间为 1 1 递减区间为 1 1 值为m f 1 2 最小值为m f 1 2 对于任意x1 x2 1 1 恒有 f x1 f x2 m m 2 2 4 原不等式得证 2 由 1 知 f x 在 1 1 上是减函数 所以f x 在 1 1 上的最大 例3已知函数f x alnx 2 a 0 1 若曲线y f x 在点p 1 f 1 处的切线与直线y x 2垂直 求函数y f x 的单调区间 2 记g x f x x b b r 当a 1时 方程g x 0在区间 e 1 e 上有两个不同的实根 求实数b的取值范围 分析 1 先根据条件求出函数解析式 然后对函数求导 解不等式f x 0和f x 0即可求出单调区间 2 根的分布主 题型3利用导数研究方程根的个数问题 要是结合图像 得到满足题意的数学关系式 解析 1 函数f x 的定义域为 0 因为f x 且知直线y x 2的斜率为1 所以f 1 1 所以a 1 所以f x lnx 2 f x 由f x 0 解得x 2 由f x 0 解得0 x 2 所以f x 的单调增区间是 2 单调减区间是 0 2 2 依题得g x lnx x 2 b 则g x 由g x 0解得x 1 由g x 0解得0 x 1 所以函数g x 在区间 0 1 内为减函数 在区间 1 内为增函数 又因为方程g x 0在区间 e 1 e 上有两个不同的实根 所以解得1 b e 1 所以b的取值范围是 1 e 1 点评 利用导数研究根的分布问题 关键是利用导数研究得出函数图像的特点 再将方程转化为函数图像与x轴的交点 从而可得根的分布情况或参数的取值情况 变式训练3已知函数f x x2 alnx a r 1 若a 2 求证 f x 在 1 上是增函数 2 求f x 在 1 e 上的最小值 解析 1 当a 2时 f x x2 2lnx 当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 上是增函数 2 f x x 0 当x 1 e 时 2x2 a 2 a 2e2 a 若a 2 则当x 1 e 时 f x 0 所以f x 在 1 e 上是增函数 又f 1 1 故函数f x 在 1 e 上的最小值为1 若a 2e2 则当x 1 e 时 f x 0 所以f x 在 1 e 上是减函数 又f e e2 a 所以f x 在 1 e 上的最小值为e2 a 若2 a 2e2 则当1 x 时 f x 0 此时f x 是减函数 当0 此时f x 是增函数 又f ln 所以f x 在 1 e 上的最小值为 ln 综上可知 当a 2时 f x 在 1 e 上的最小值为1 当2 a 2e2时 f x 在 1 e 上的最小值为 ln 当a 2e2时 f x 在 1 e 上的最小值为e2 a 导数的综合应用主要包括以下几个方面 1 利用导数求参数的取值范围问题 2 利用导数研究不等式的证明问题 3 利用导数研究函数的零点问题 4 利用定积分解决实际问题等 在复习过程中 应注意总结规律 一般来说 利用导数解决的问题 其所涉及的函数往往具有明显的特征 例如 三次函数等高次函数 非常规函数 由基本初等函数构成 等 这些函数尤其适合利用导数解决 在复习过程中 要注意等价转化 分类讨论 数形结合等数学思想方法的训练 在解决导数的综合应用题中 这些思想始终贯穿于其中 是解决问题的关键 在研究函数的有关性质时 一定要注意优先考虑定义域 例已知函数f x x3 2x2 x 4 g x ax2 x 8 若对任意的x 0 都有f x g x 恒成立 求a的取值范围 错解 由题意得f x min g x max x 0 f x 3x2 4x 1 x 0 时 f x 0 f x 在x 0 上是增函数 当x 0时 f x 有最小值 4 又 a 0时 g x 无最大值 不合题意 a 0 又 0 g x max 4 解得a a的取值范围是 剖析 上述解法错误地认为原命题等价于f x min g x max 但事实上 f x 与g x 中的x需取相同的值 即在 0 上任取 同一个x的值 都有f x g x 因此并不等价于f x min g x max 事实上 原命题等价于f x f x g x 0恒成立 正解 令f x f x g x x3 2 a x2 4 原命题等价于f x min 0 x 0 f x 3x2 2 a 2 x 3x x 令f x 0 得x 0或x 当a 2 0 即a 2时 f x 在 0 上为减函数 在 上为增函数 故f x min f a 2 3 27 令 a 2 3 27 0 得a 5 故2 a 5 当a 2 0 即a 2时 f x 在 0 上为增函数 故f x min f 0 4 0 a 2 综上所述 a的取值范围是 5 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 设函数f x x3 ax2 a 6 x 1 既有极大值又有极小值 则实数a的取值范围是 a 1 a 2 b a 3或a 6 c 36 解析 由题意可得f x 3x2 2ax a 6 因为函数既有极大值又有极小值 所以有4a2 4 3 a 6 0 解得a6 答案 d 2 基础再现 已知函数f x x2 ax b a b r 在x 2时有极值 其图像在点 1 f 1 处的切线与直线3x y 0平行 则函数f x 的单调减区间为 a 0 b 0 2 c 2 d 即 令f x 3x2 6x 0 得0 x 2 答案 b 解析 f x ax3 bx2 f x 3ax2 2bx 3 视角拓展 已知二次函数f x ax2 bx 1的导函数为f x f 0 0 f x 与x轴恰有一个交点 则的最小值为 a b 2 c 3 d 1 2 1 2 当且仅当b 2时取等号 答案 b 解析 因为f x 2ax b f 0 b 0 因为f x 与x轴恰有一个交点 所以b2 4a 0 4 高度提升 已知函数f x x3 ax2 b a b r 在 0 2 上是增函数 则a的取值范围是 a 3 b 3 3 c 3 d 3 3 当a 0时 由f x 0 解得0 x a 所以f x 在 0 a 上是增函数 又f x 在 0 2 上是增函数 所以a 2 解得a 3 综上 a的取值范围为 3 答案 c 解析 由题意 得f x 3x2 2ax 令f x 0 解得x 0或x a 当a0 解得a x 0 所以f x 在 a 0 上是增函数 与题意不符 舍去 当a 0时 由f x 3x2 0 与题意不符 舍去 5 高度提升 设函数f x x lnx x 0 则函数 a 在区间 0 1 1 内均有零点 b 在区间 0 1 1 内均无零点 c 在区间 0 1 内有零点 在区间 1 内无零点 d 在区间 0 1 内无零点 在区间 1 内有零点 0 在区间 0 1 为减函数 又因为f 1 0 所以在区间 0 1 内恒为正 所以在区间 0 1 内无零点 又因为f e e lne 0 所以函数f x 在区间 1 有零点 答案 d 解析 f x 在区间 0 1 上恒为负 所以f x x lnx x 6 基础再现 已知y x 则当y 2时 x 解析 y 2 cosx x 答案 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 视角拓展 当 2 a 2时 函数f x x3 3x a的零点个数为 解析 f x 3x2 3 0 解得x 1或x 1 且f x 极大值 f 1 2 a f x 极小值 f 1 2 a 因为 2 a 2 所以有结合函数图像可知 函数有3个不同的零点 答案 3 8 高度提升 已知函数f x 2lnx x2 若方程f x m 0在 e 内有两个不等的实根 则实数m的取值范围是 e为自然对数的底数 2 m 1 故所求m的取值范围为 1 2 答案 1 2 解析 由f x 2lnx x2 求导数得到 f x 2x x e 故f x 在x 1处有唯一的极值点 f 2 f e 2 e2 f x 极大值 f 1 1 且知f e f 故 m f x 在 e 上有两个不等实根需满足 9 能力综合 已知函数f x sinx xcosx 若f x x3 a在区间 0 上恒成立 则实数a的最小值是 解析 不等式f x f x x3在区间 0 上恒成立 设g x f x x3 sinx xcosx x3 x 0 则g x x2 xsinx x sinx x 设h x sinx x x 0 h x cosx 1 0 所以h x 在区间 0 上为减函数 所以h x sinx x h 0 0 所以g x 0 所以g x 在区间 0 上为减函数 所以g x g 0 所以a 则a的最小值为 答案 10 高度提升 已知函数f x ax3 bx2 c 3a 2b x d a 0 的图像如图所示 1 求c d的值 2 若x0 5 方程f x 8a有三个不同的根 求实数a的取值范围 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 得 2 依题意f x ax3 bx2 3a 2b x 3 a 0 f x 3ax2 2bx 3a 2b 解析 函数f x 的导函数为f x 3ax2 2bx c 3a 2b 1 由图可知函数f x 的图像过点 0 3 且f 1 0 由 得 25a 3 8a 7a 3 a 3 所以当 a 3时 方程f x 8a有三个不同的根 由f 5 0 b 9a 若方程f x 8a有三个不同的根 当且仅当满足f 5 8a f 1 11 高度提升 已知函数f x ex 2x2 3x 1 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 当x 1时 若关于x的不等式f x x2 a 3 x 1恒成立 试求实数a的取值范围 2 由f x x2 a 3 x 1 得ex 2x2 3x x2 a 3 x 1 即ax ex x2 1 x 1 a 令g x 解析 1 f x ex 4x 3 则f 1 e 1 又f 1 e 1 曲线y f x 在点 1 f 1 处