解三角形期末小结.doc

第一章 解三角形第1讲 正弦定理和余弦定理 知 识 梳 理 解三角形正弦定理余弦定理余弦定理的变形形式解三角形应用举例测量实习正弦定理的变形形式1 三角形内角和定理： 在中，；(1)；(2); (3)2正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： (边角转化的重要工具)形式三：;形式四： (合比性质) 3.关于三角形面积问题=ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；absinCbcsinAacsinB；2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）；,；p( r为ABC内切圆的半径) 4、判断三角形解的个数：（一）若角A是锐角（二）若角A是钝角4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： ； ； cosC=形式三：若，则；若，则 （特殊形式）勾股定理与余弦定理的之间的关系.由可得若A为直角，则a=b+c若A为锐角，则ab+c因此，余弦定理可以看做是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况. 重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用2.难点：根据已知条件,确定边角转换.3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.(1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论问题1: 在中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 （ ） A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 点拨：在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。由得，又故有两解答案B.(1) 在解三角形时要注意充分利用平面几何的性质问题2: 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积 点拨 :如图连结BD，则有四边形ABCD的面积 S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA在CDB中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=，又0A180，A=120故S=16sin120=8 热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 运用正、余弦定理求角或边（1）必须条件：至少知道一个边（2）知道三个条件（两角一边，两边一角，三边）求其它三个题型1.求三角形中的某些元素【新题导练】1.在ABC中，a1，b，B60，求c.解析：由余弦定理得 ()212c22ccos60，c2c60，解得c13，c22(舍去).c3.2若在ABC中，求ABC外接圆的半径R. 解析: 题型2判断三角形形状例3在ABC中，bcosAcosB，试判断三角形的形状.【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理解析：方法1：利用余弦定理将角化为边.bcosAcosB 故此三角形是等腰三角形.方法2：利用正弦定理将边转化为角.bcosAcosB 又b2RsinB，2RsinA2RsinBcosA2RsinAcosB sinAcosBcosAsinB0sin（AB）0 0A，B，ABAB0，即AB故三角形是等腰三角形.【名师指引】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式.【新题导练】3.在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB4. 在ABC中，若，则ABC的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰或直角三角形D.等边三角形解析：由已知及正弦定理得sin2A=sin2B2A2B或2A2B，即AB或AB，故ABC为等腰三角形或直角三角形.选C考点2: 三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.5在ABC中，设，求A的值解：根据正弦定理 【名师指引】在解三角形的背景下一般见“切割就化弦”【新题导练】6三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，, 若,求角B的大小； 解析:， ， 7在RtABC中，C=90,且A，B，C所对的边a,b,c满足a+b=cx，求实数x的取值范围.解析，又，即考点3 与三角形的面积相关的题题型1:已知条件求面积例1:在中， （）求的值；（）设，求的面积【解题思路】求角C的三角函数值可考虑用内角和定理;求三角形的面积直接用面积公式.解析：（）由，得，由，得 又所以（）由正弦定理得 所以的面积【名师指引】本题主要考查三角变换、余弦定理、三角形面积、解三角形等基础知识，考查运算求解能力.题型2:已知面积求线段长或角例2在中， 、求的值；、设的面积，求的长【解题思路】已知面积求边长或高,可考虑等积法.解析：、由，得，由，得所以、由得，由知，故，又，故，所以【名师指引】在处理解三角形的相关问题时,逆向思维也是必不可少的.【新题导练】7.在三角形中，求三角形的面积。【解析】 由题意，得为锐角， ， 由正弦定理得 ， 8. 在中，则等于 A、 B、 C、或 D、或【解析】C 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 在中，若，则一定是( )A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形解析： 2. 在中，且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边的长为（）A2 B3 C4 D5解析： ，且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边为 3.在ABC中，C=，则的最大值是_.解析 在ABC中，C=， ，时，取得最大值。4. 若中，则角C的大小是_解析 5.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边, ， =，则其外接圆的半径为_.解析,6.在ABC中，已知，A45，BC=，求角C。解：由正弦定理得,又BC时，故 sinC； 有两解 或120综合拔高训练7.在ABC中，已知，试判断ABC的形状。解：由正弦定理得：，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，ABC为等边三角形。8.在锐角三角形中，边a、b是方程x22x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)=0，求ABC的面积。解：由2sin(A+B)=0，得sin(A+B)=, ABC为锐角三角形 A+B=120, C=60, 又a、b是方程x22x+2=0的两根，a+b=2, ab=2, c2=a2+b22abcosC=(a+b)23ab=126=6, c=, =2= 。9. 在ABC中，若.(1)判断ABC的形状； (2)在上述ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。解：（1）由 可得 即C90 ABC是以C为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径 内切圆半径的取值范围是10.在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积解：（）由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得联立方程组解得，（）由题意得，即，当时，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，所以的面积第2讲 解三角形应用举例 知 识 梳 理 1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东度， 北偏西度，南偏东度，南偏西度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD、OE是视线，是仰角， 是俯角. 重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；（1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，问题1. 如图，为了计算北江岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两个测量点，现测得， ，求两景点与的距离（假设在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：）解：在ABD中，设BD=x，则， 即整理得： 解之： ，（舍去）， 由正弦定理，得： , 11(km). 答：两景点与的距离约为11.km. （2）解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.问题2. 用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.分析：在RtEGA中求解EG，只有角一个条件，需要再有一边长被确定，而EAC中有较多已知条件，故可在EAC中考虑EA边长的求解，而在EAC中有角，EAC180两角与BDa一边，故可以利用正弦定理求解EA.解：在ACE中，ACBDa，ACE，AEC，根据正弦定理，得AE在RtAEG中，EGAEsinEFEGbb，答：气球的高度是b. 热 点 考 点 题 型 探 析考点1:测量问题题型:运用正、余弦定理解决测量问题 例1 如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用求出边长,再进行进一步分析.北甲乙解析如图，连结，由已知，又，图4-4-12是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里【名师指引】解三角形时，通常会遇到两种情况：已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.【新题导练】AB1甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解析：、解: ABDC此时,甲、乙两船相距最近2在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示） 解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则AOB15，OBvt，。在AOB中，由正弦定理，得， 而，即sinOAB1,这样的OAB不存在，因此，游击手不能接着球. 考点2 运用正、余弦定理解决与几何计算有关的实际问题题型:利用解三角形知识研究几何图形的性质例2 （08上海高考）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）【解题思路】转化条件,分析图形建模.【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得CD=500（米），DA=300（米），CDO=4分在中，6分即.9分解得（米）. .13分【解法二】连接AC，作OHAC，交AC于H.2分由题意，得CD=500（米），AD=300（米），.4分AC=700（米）.6分.9分在直角 （米）. 13分【名师指引】解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解;（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.【新题导练】1.如图，货轮在海上以35公里/小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o求此时货轮与灯塔之间的距离A C B北北152o32 o122o2.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米 为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解：如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y0.5）米 在ABC中，依余弦定理得：CAB 即化简，得 ，因此 方法一： 当且仅当时，取“=”号，即时，y有最小值 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）A0.5小时B1小时 C1.5小时D2小时解析:设A地东北方向上点P到B的距离为30千米，APx，在ABP中PB2AP2AB22APABcosA，即302x24022x40cos450化简得x1x22（x1x2）2-4x1x2=400,|x1x220，即CD20故2在中，的平分线把三角形面积分成两部分，则（ ） A B C D 解析： 的平分线把三角形面积分成两部分, , 3如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度q，则cosq= . 解析 在ABC中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 45-15 = 30由正弦定理： BC = 200sin15在DBC中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 + q由正弦定理：cosq = .4如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么电灯悬挂的高度h= ，才能使桌子边缘处最亮.解 R=rcos，由此得 ，5. 某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中，需要在、两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距的、两地（假设、在同一平面上），测得，（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是、距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？ 解：在中，由已知可得，所以，在中，由已知可得，由正弦定理，在中，由余弦定理 所以， 施工单位应该准备电线长 .答：施工单位应该准备电线长 . 综合拔高训练6. 在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为60的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？解 (1)在RtPAB中，APB=60 PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30，AC= (千米)在ACB中，CAB=30+60=90(2)DAC=9060=30sinDCA=sin(180ACB)=sinACB=sinCDA=sin(ACB30)=sinACBcos30cosACBsin30 在ACD中，据正弦定理得，答 此时船距岛A为千米 7. 在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求ADAB的值 解 按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设BAP=，DPA=，BDP=2，再设AB=a，AD=x，DP=x 在ABC中，APB=180ABPBAP=120，由正弦定理知 BP=在PBD中，, 060，6060+2180，当60+2=90，即=15时，sin(60+2)=1，此时x取得最小值a，即AD最小，ADDB=23 8. 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？解析:设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为,人要追上小船,则人船运动的路线满足如图所示的三角形.由余弦是理得, OABvt2(1k)t4kt15即,整理得,要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且,解得, 故当船速在内时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时人可以追上小船.第四章 综合检测一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2ac,则角B的值为（ ）A. B. C.或 D.或解析：A2. 在ABC中，a12，b13，C60，此三角形的解的情况是（ ）A无解B一解C二解D不能确定解析：B3. 在ABC中，已知,那么ABC一定是 ()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形 解析：B4在ABC中，面积为，那么的长度为（ ）A B C D解析：D,得，再由余弦定理，有，得5. 给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC为钝角三角形；(4)若cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1，则ABC为正三角形 以上正确命题的个数是( )A 1 B 2 C 3 D 4解析 其中(3）(4）正确 答案 B6在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB答案：C7ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则的取值是（ ）A、-1 B、1 C、-2 D、2解析：特殊化处理，不妨设ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，此时有，选B。）8在三角形ABC中“cosAsinAcosBsinB”是“C90”的( ) A、充分非必要条件B、必要非充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件解析：C90时，A与B互余，sinAcosB，cosAsinB，有cosAsinAcosBsinB成立但当AB时，也有cosAsinAcosBsinB成立故“cosAsinAcosBsinB”是“C90”的必要非充分条件答案：B二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1315题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分）9若AB=2, AC=BC ，则的最大值 .解析：10在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，则cos2(B+C)=_ 解析 A为最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180 cos(2A+C)=，sin(2A+C)= C为最大角，B为锐角，又sinB= 故cosB= 即sin(A+C)=，cos(A+C)= cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=，cos2(B+C)=2cos2(B+C)1= 11分别为角的对边，为的面积，且则= 解析：由余弦定理得 即 12在ABC中，若_ 解析：13在中, 角A、B、C的对边分别为、.若的外接圆的半径,且, 则B= 解析：由，代入得整理得即14 ABC中，D在边BC上，且BD2，DC1，B60o，ADC150o，则ABC的面积为 AB D C21解析：在ABC中，BAD150o60o90o，AD2sin60o在ACD中，AD2()21221cos150o7，ACAB2cos60o1SABC13sin60o15. 在ABC中，内角A满足，且，则A的取值范围是_。解析，即，又，即，三、解答题：(本大题共6小题,共80分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16（本小题满分13分）在中，内角对边的边长分别是，已知， （）若的面积等于，求；（）若，求的面积解析：（）由余弦定理得，2分又因为的面积等于，所以，得4分联立方程组解得，6分（）由正弦定理，已知条件化为，7分联立方程组解得，12分所以的面积13分18（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，判断ABC的形状解析：（1）由已知得， 4分又是ABC的内角，所以 6分（2）（方法一）由正弦定理得， 9分又 ， ， ，即 13分所以ABC是等边三角形 （方法二）， 又 ，9分 ， 11分，又 ， ，即， 所以ABC是等边三角形13分18（本小题满分14分）航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取1.4,1.7） 图1 图2解：如图 150450300， 4分AB= 180km（千米）/h（小时）420s（秒）= 21000(m ) 在中8分， 735012分答：山顶的海拔高度10000-7350=2650(米) 14分19（本小题满分14分）xOyBCA 如图：是圆上的两点，点是圆与轴正半轴的交点，已知，且点在劣弧上，为正三角形。（1） 求；（2） 求的值。（1）由题意可知：，且圆半径， 10分 12分 14分20（本小题满分14分）甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？AB解: 2