2015-2016学年四川省遂宁市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版).doc

2014-2015学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1复数z=在复平面内对应的点的坐标为（）A（0，1） B. （-1，0）C（0，1）D. （1，0）2已知向量=（1，1，0），=（1，0，2）且k+与2互相垂直，则k的值是（）A1 B C D3曲线（为参数）的对称中心（）A在直线y=2x上 B在直线y=2x上C在直线y=x1上 D在直线y=x+1上4二项式（x）8的展开式中常数项为（）A7 B7 C28 D285在一次智力竞赛中，每位参赛者要从5道题中不放回地依次抽取2道题作答，已知5道题中包含自然科学题3道，人文科学题2道则参赛者甲连续两次都抽到自然科学题的概率是（）A B C D6曲线=1与曲线=1（k9）的（）A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等7已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如下表x1045f（x）1221f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示下列关于函数f（x）的命题：函数y=f（x）是周期函数；函数f（x）在0，2是减函数；如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点其中真命题的个数是（）A4个 B3个 C2个 D1个8若甲乙两人从A，B，C，D，E，F六门课程中选修三门，若甲不选修A，乙不选修F，则甲乙两人所选修课程中恰有两门相同的选法有（）A42种 B72种 C84种 D144种9函数f（x）是R上的可导函数，x0时，f（x）+0，则函数g（x）=f（x）+的零点个数为（）A3 B2 C1 D010过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点的切线相交于P，则SPABmin=（）A16 B8 C4 D2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11过点A（2，0）且垂直于极轴的直线L的极坐标方程是12在区间（0，1）内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为13已知方程表示双曲线，则的取值范围为14已知（x2）2015=a0+a1x+a2x2+a2015x2015，则a1+2a2+3a3+2015a201515德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：函数f（x）是偶函数；f（f（x）=0；任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的xR恒成立；不存在三个点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），C（x3，f（x3），使得ABC 为等边三角形其中为真命题的是三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16实数m取什么值时，复平面内表示复数z=（m28m+15）+（m25m14）i的点（）位于第四象限象限；（）位于直线y=x上17已知函数f（x）=x32ax2+bx，（）f（x）在点P（1，3）处的切线为y=x+2，求a，b的值；（）在（）的条件下求f（x）在1，4上的值域18如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为正方形AA1D1D的中心，N为棱AB的中点（1）求证：MN面BB1D1D；（2）求二面角D1MB1N的余弦值19小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望20如图，O为坐标原点，椭圆C1： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=1（）求C1、C2的方程；（）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值21设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（）求函数f（x）的极值点；（）证明对任意的正整数n，不等式都成立2014-2015学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1复数z=在复平面内对应的点的坐标为（）A C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，求得z的坐标得答案【解答】解：z=，复数z=在复平面内对应的点的坐标为（0，1）故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2已知向量=（1，1，0），=（1，0，2）且k+与2互相垂直，则k的值是（）A1 B C D【分析】由向量=（1，1，0），=（1，0，2），求得k+与2的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值【解答】解： =（1，1，0），=（1，0，2），k+=k（1，1，0）+（1，0，2）=（k1，k，2），2=2（1，1，0）（1，0，2）=（3，2，2），又k+与2互相垂直，3（k1）+2k4=0，解得：k=故选：D【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题3曲线（为参数）的对称中心（）A在直线y=2x上 B在直线y=2x上C在直线y=x1上 D在直线y=x+1上【分析】曲线（为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论【解答】解：曲线（为参数）表示圆，圆心为（1，2），在直线y=2x上，故选：B【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题4二项式（x）8的展开式中常数项为（）A7 B7 C28 D28【分析】利用展开式的通项公式即可得出【解答】解：二项式（x）8的展开式中的通项公式：Tr+1=x84r，令84r=0，解得r=2二项式（x）8的展开式中常数项=7故选：B【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5在一次智力竞赛中，每位参赛者要从5道题中不放回地依次抽取2道题作答，已知5道题中包含自然科学题3道，人文科学题2道则参赛者甲连续两次都抽到自然科学题的概率是（）A B C D【分析】先求出甲第一次抽到自然科学题概率，再求出在第一次抽到自然科学题的条件下，抽到自然科学题的概率，根据概率公式计算即可【解答】解：因为道题中包含自然科学题3道，人文科学题2道，甲第一次抽到自然科学题概率为所以第一次抽到自然科学题的前提下，第2次抽到自然科学题的概率为P=故参赛者甲连续两次都抽到自然科学题的概率为=故选：A【点评】本题主要考查了条件概率的求法，属于基础题，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用6曲线=1与曲线=1（k9）的（）A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8曲线=1（k9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8对照选项，则D正确故选D【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题7已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如下表x1045f（x）1221f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示下列关于函数f（x）的命题：函数y=f（x）是周期函数；函数f（x）在0，2是减函数；如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点其中真命题的个数是（）A4个 B3个 C2个 D1个【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案【解答】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：为假命题，1，0与4，5上单调性相反，但原函数图象不一定对称为真命题因为在0，2上导函数为负，故原函数递减；为假命题，当t=5时，也满足x1，t时，f（x）的最大值是2；为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）a有2个零点，也可以是3个零点综上得：真命题只有故选 D【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减8若甲乙两人从A，B，C，D，E，F六门课程中选修三门，若甲不选修A，乙不选修F，则甲乙两人所选修课程中恰有两门相同的选法有（）A42种 B72种 C84种 D144种【分析】分别利用排列组合知识进行讨论求解即可【解答】解：若甲不选修A，乙不选修F，则甲选B，C，D，E，F，乙选A，B，C，D，F，则相同的有B，C，D，E，若甲乙两人所选修课程中恰有两门相同得：则从B，C，D，E中选2门，有C42=6，不妨设选相同的是B，C，则此时甲可以选D，E，F，乙可以选A，D，E，若甲选F，则乙可以选A，D，E，此时有3种选法，若甲选D，则乙可以选A，E，此时有2种选法，若甲选E，则乙可以选A，D，此时有2种选法，此时有3+2+2=7种，综上共有67=42种，故选：A【点评】本题主要考查排列组合的实际应用，根据条件先确定相同的两门，然后利用分类讨论的思想进行求解即可9函数f（x）是R上的可导函数，x0时，f（x）+0，则函数g（x）=f（x）+的零点个数为（）A3 B2 C1 D0【分析】x0时，由 xf（x）+f（x）=（xf（x）0，得g（x）对任何大于零的x成立，所以显然在x轴正半轴不可能有零点；x0时，由xf（x）+f（x）0，得g（x）=，此时总是负数，小于是不可能与x轴有交点的所以没有零点【解答】解：x0时，已知条件就是在说：xf（x）+f（x）=（xf（x）0，由于g（x）=，且xf（x）0f（0）=0，g（x）对任何大于零的x成立，所以显然在x轴正半轴不可能有零点；x0时，已知条件就是在说 xf（x）+f（x）0，xf（x）0f（0）=0 （x0），g（x）=，此时总是负数，小于是不可能与x轴有交点的所以没有零点，故选：D【点评】本题考察了函数的单调性，函数的零点问题，导数的应用，是一道综合题10过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点的切线相交于P，则SPABmin=（）A16 B8 C4 D2【分析】求出抛物线的焦点，两边对x求导，可得切线的斜率，讨论AB斜率不存在，求得切线斜率，即可判断量切线垂直；再设AB：y=k（x1），（k0），联立y2=4x，消去x，运用韦达定理，结合切线公式，由直线垂直的条件也可判断APBP，由此结合抛物线的几何性质可知P在抛物线的准线上，设出直线AB与抛物线对称轴的夹角，然后把三角形PAB的面积用含有夹角的代数式表示，利用三角函数求得最值【解答】解：抛物线y2=4x焦点为（1，0），设抛物线y2=4x的点（m，n），由2yy=4，即有y=，即切线的方程为yn=（xm），由于n2=4m，即有ny=2（m+x）若直线l：x=1，则交点A（1，2），B（12），则过A、B的切线方程分别为y2=x1和y+2=（x1），即有PAPB，则ABP为直角三角形；若直线AB的斜率为k，即有AB：y=k（x1），（k0），联立y2=4x，消去x，可得y2yk=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=4则有切线的斜率为，且，即有PAPB，则ABP为直角三角形由抛物线的几何性质可得，过A，B两点的切线的交点P在抛物线的准线上，设直线AB与x轴的夹角为，由抛物线的性质可得：|AB|=且切线交点与弦中点的连线平行于坐标轴，设AB中点为M，则|PM|=|AB|=P到AB的距离为|PM|sin=|AB|=当sin=1时，ABQ的面积有最小值，最小值为p2=4故选：C【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查直线和抛物线的位置关系，注意运用两直线垂直的条件是解题的关键，是中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11过点A（2，0）且垂直于极轴的直线L的极坐标方程是cos=2【分析】设过点A（2，0）且垂直于极轴的直线L上的任意一点P（，），根据直角三角形的边角关系即可得出【解答】解：设过点A（2，0）且垂直于极轴的直线L上的任意一点P（，）则，cos=2故答案为：cos=2【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12在区间（0，1）内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为【分析】由题意，符合几何概型，作图求面积比即可【解答】解：由题意，符合几何概型，如图，则这两个实数的和大于的概率p=，故答案为：【点评】本题考查了几何概型的应用，属于基础题13已知方程表示双曲线，则的取值范围为（，2）（1，+）【分析】根据双曲线的标准方程，可得只需2+与1+只需同号即可，则解不等式（2+）（1+）0即可求解【解答】解：由题意知（2+）（1+）0，解得1或2故的范围是1或2故答案为：（，2）（1，+）【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程解题时要考虑焦点在x轴和y轴两种情况，属于基础题14已知（x2）2015=a0+a1x+a2x2+a2015x2015，则a1+2a2+3a3+2015a20152015【分析】对（x2）2015=a0+a1x+a2x2+a2015x2015两边求导数，再令x=1，即可求出结果【解答】解：（x2）2015=a0+a1x+a2x2+a2015x2015，两边分别对x求导数，得2015（x2）2014=a1+2a2x+2015a2015x2014在等式中，令x=1，可得a1+2a2+3a3+2015a2015=2015故答案为：2015【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是给变量赋值的计算问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，是基础题目15德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：函数f（x）是偶函数；f（f（x）=0；任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的xR恒成立；不存在三个点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），C（x3，f（x3），使得ABC 为等边三角形其中为真命题的是【分析】由有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意xR，都有f（x）=f（x），即可判断出正误；当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，可得当x为有理数时，f（f（x）=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x）=f（0）=1，即可判断出正误若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，可得f（x+T）=f（x）；取x1=，x2=0，x3=则f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，则ABC为等边三角形，即可判断出正误【解答】解：对于，有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意xR，都有f（x）=f（x），故正确；对于，当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，当x为有理数时，f（f（x）=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x）=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x）=1，故不正确；对于，若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对xR恒成立，故正确；对于，取x1=，x2=0，x3=则f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，则ABC为等边三角形，故正确即真命题是，故答案为：【点评】本题考查了狄利克雷函数的性质、函数的性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16实数m取什么值时，复平面内表示复数z=（m28m+15）+（m25m14）i的点（）位于第四象限象限；（）位于直线y=x上【分析】（）由复数z的实部大于0且虚部小于0联立不等式组求得m的取值范围；（）由复数z的实部和虚部相等求得m值【解答】解：（）由题意知，解得：m3或m5解得：2m72m3或5m7；（）由题意知：m28m+15=m25m14，解得：m=【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题17已知函数f（x）=x32ax2+bx，（）f（x）在点P（1，3）处的切线为y=x+2，求a，b的值；（）在（）的条件下求f（x）在1，4上的值域【分析】（）求出原函数的导函数，由已知可得f（1）=1，f（1）=3，联立方程组求得a，b的值；（）把a，b的值代入f（x），由导函数的零点把函数的定义域分段，由导函数的符号得到原函数的单调性，利用单调性求得最值【解答】解：（）f（x）=3x24ax+b，（2分）f（x）在P（1，3）处的切线为y=x+2，（4分）解得：a=2，b=6；（6分）（）由（）知f（x）=3，f（x）在1，4上恒大于0，从而f（x）在1，4上单调递增（10分）f（x）min=f（1）=11，f（x）max=f（4）=24f（x）的值域为11，24（12分）【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，曲线在某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，训练了利用导数求函数的最值，是中档题18如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为正方形AA1D1D的中心，N为棱AB的中点（1）求证：MN面BB1D1D；（2）求二面角D1MB1N的余弦值【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明MN面BB1D1D；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D1MB1N的余弦值【解答】解：（1）连结AD1，BD1，易知MAD1，M为正方形AA1D1D的中心，M是AD1的中点，MNBD，MN平面BB1D1D，BD1平面BB1D1D，MN面BB1D1D；（2）分别以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图，则D1（0，0，2），B1（2，2，2），M（1，0，1），N（2，1，0），则=（1，0，1），=（1，2，1），设=（x，y，z）是平面D1MB1的法向量，则，令x=1，则y=1，z=1，则=（1，1，1），设=（x，y，z）是平面NMB1的法向量，令x=3，则y=2，z=1，则=（3，2，1），cos=易知二面角D1MB1N为钝角，故二面角D1MB1N的余弦值为【点评】本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及空间二面角的计算，利用向量法是解决本题的关键空间二面角的基本方法19小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望【分析】（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）=（2）两向量数量积的所有可能情形有2，1，0，1X=2时有2种情形X=1时有8种情形X=1时，有10种情形X的分布列为：X2101PEX=【点评】本题主要考查了古典概率的求解公式的应用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解20如图，O为坐标原点，椭圆C1： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=1（）求C1、C2的方程；（）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值【分析】（）由斜率公式写出e1，e2，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；（）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值【解答】解：（）由题意可知，且e1e2=，且|F2F4|=1，且解得：椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为；（）由（）可得F1（1，0）直线AB不垂直于y轴，设AB的方程为x=ny1，联立，得（n2+2）y22ny1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，则=M在直线AB上，直线PQ的方程为，联立，得解得，代入得由2n20，得nP，Q的坐标分别为，则P，Q到AB的距离分别为：，P，Q在直线A，B的两端，则四边形APB