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7.2 球面平均法和泊松公式一 本节主要思想 （1）对三维波动方程的初值问题，先假设已知空间某一点的振动，然后以点为发射子波的波源，根据球面波的对称性，可根据加权平均的思想来考察球面的平均振动，从而将问题归结为两个自变量的一维波动方程，最后采用极限的思想，令，即可得到点的振动 （2）对二维波动方程的初值问题，采用将其上升到三维空间的思想，根据已有的三维波动方程的泊松公式，获得此问题的三维解，再采用降维法，最终获得二维解二 三维波动方程的初值问题，泊松公式三维波动方程初值问题解的泊松公式考察三维波动方程的初值问题： 以表示以点为心，半径为的球面，以表示的面元，则的面元注：下面用加权平均的思想（即球面平均法）求函数在球面上的平均值： 注：（4）、（5）实际上是球的参数方程的表达式（3）式也可写成 ，注：由于，与正好约掉 由此可知，所以，为了求可以先求 下面就来讨论如何求： 注意到，容易算得同理，可求出，将他们相加，得到 注： 将方程（1）两端取球面平均，即得 等式两边同乘以得 （6）注：与时间无关，所以可将放入算子中这是关于的一维波动方程，其通解为 （7）令，得 从而知，故有 （8）注： 的取值范围应是 我们所关心的是的情况，因为此时表明振动已传至所考察的球面，若，表明振动还未传至所考察的球面，这样就无法考察点的振动为求，将上式对求导，得 （9）令，即得 （10）所以，为求，只需求为此将（8）式再对求导，得 （11） 由（9）、（11）两式得 （12）在上式中令，并注意到（3）式和初始条件（2）式，即得 注意到（10）式，在上式中令，即得三维波动方程
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