二元二次不定方程解法探讨.doc

对二元二次不定方程解法的探讨院 系： 教师教育学院 专 业： 小学教育 年 级： 2009级 学生姓名:张建丽，董雪娇，杨汝，李蓓 学 号： 第十四组 导师及职称： 杜先存 2011年12月 二元二次不定方程解法探讨摘要：在实际生活中，许多问题往往归结为不定方程求解。同时，不定方程与其它学科如组合数学、运筹学、几何等也有着密切的联系，故研究不定方程有及大的实用价值。本文主要介绍二元二次不定方程的解法。关键词：不定方程，二元二次，解法。二次不定方程的一般形式：（皆非零），以此形式来研究其解法。一、二元二次不定方程解的情况：（1）无解例 的整数解。解：因为是整数，故必须是完全平方数，为了找出取哪些整数值时为完全平方数，不妨对作如下变形：或由此可知当且仅当时才可能非负，对的整数逐一检验，相应的均非完全平方数，故方程无解。（2）有限组解。例 解：看成的二次方程得： 因或故只有时，才可能非负，对的整数逐一检验只有、时，、才是完全平方数，故原方程有且仅有四组整数解： （3）有无穷多解例 求的整数解。解：因式分解得：故由或易知原方程有无穷多组整数解。二、二元二次不定方程的解法：（1）一般方法（又名判别式法）：将它看作某一未知数（如）的一元二次方程，由求根公式求解，并由“另一未知数（如）的取值必须使被开方数为平方数”的原则找到该未知数的取值（可将变形或解缩小的取值范围，再试验。）从而求出另一变元进而取得原方程的整数解。（2）特殊解法：对特殊的二元二次不定方程式可化为二元二次不定方程的方程往往有特殊解法，有观察法，因式分解法，分离分式法，奇偶分析法，换元法，配方法，同余法等。（一）、因式分解及因式组合法。对于可化为 (是整数的形式的不定方程可用因式分解及因式组合求解)。例 若，求的整数解。解：分解因式得 ，有整数解且满足 的方程组 解之得整数解：二判别式法。巧用判别式，简便快速解题。例 求不定方程 的整数解. 解：将方程整理成关于x 的一元二次方程 判别式 即 因为为整数，所以 0,1,2把0 代入原方程中，得 0 或1把1代入原方程中，得 0 或 2把2代入原方程中，得 1 或 2所以不定方程的解为: 三奇偶分析法。例 求 ，列表如下： 奇 奇 偶 偶偶 偶 偶 偶奇 偶 奇 奇偶 奇 奇 奇因 与同奇、同偶，则 与均为偶数设，代入原方程，得 所以 或，代入方程得 解之得原方程的正整数解为： 四. 求根公式法。求根公式一直以来是一元二次方程的主要解法，把二元二次转化为已知的一元二次求解，即化未知为已知。例4. 求 的正整数解.解：把原方程看成的二元二次方程， 因为 所以只可能取 5,4,3,2,1,0 分别代入方程，求得正整数解为： 五.估计法。若一个不定方程有整数解，它当然就有实数解。当方程的实数解集为有界集时，就能用这一必要条件确定整数解的界限，然后逐一检验以确定全部解。应着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式，进行解得估计。例6. 求不定方程的全部整数解. 解：假设方程有整数解，当然就有实数解。作为 X 的二次方程其判别式应非负，即 可解得 即 ，将y在这一范围内的整数逐一代入原方程检验（可首先检查上述判别式是否为完全平方数），从而得出方程的全部整数解为，例 式求求出所有的整数解使得 能够整除,其中. 解：首先估计 的范围。令则 ，注意到所以或若则_（1）显然，若，则，此时与（1）矛盾，因此,此时 易知（当时，上式不成立）从而得出 若，则 _（2）于是有，否则（2）左边此时（2）式为易知，从而得出的方程的整数解为六、同余法。求的整数解。解：利用同于，因为，所以令，显然，对任意整数都不能被整除，故原方程无整数解。七、换元法。求的整数解。解：令有，因，故，令则，列表如下： K-6-3036 P-18-90918Q1223402094(X,Y)无解无解(0,0)(5,4)无解舍去（0，0）或（5，4）八、解析法。 形如 ：_(1)当时的解。我们知道，当时，（1）表示一个椭圆形圆锥曲线，过它上任意一点的切线斜率为 故过点的切线方程为 注意到，解不定方程（1）（当）就是求适合条件（1）的整数对而（1）表示椭圆型圆锥曲线，那么，适合（1）的必在某一有限范围内且也在某一有限范围内。只要知道其中一个有限范围，利用实验法就可以求出不定方程（1）的解。不失一般性，假设（1）表示椭圆型圆锥曲线的图型如下图所示:从上图易知，适合条件（1）的任何实数对(X,Y)必满足因为（，0），（，0）是椭圆型圆锥曲线的平行y轴的焦点，故与y轴平行的切线的切点（，）从中求出的两个值，即为和，同理，与x轴平行的切点必满足 从中求出的值，即和。 这样，不定方程（1）中的x 可能取值已知，同时y的取值也可能已知，然后利用实验法就可求出不定方程（1）的所有解。例 试判断不定方程是否有正整数解。 解：因为，故由可得方程组： 解之得， 这样，的可能取值为0,1,2,3,4,5. 又由（3）可得方程组 解之得，由于，知1,所有，适合已知不定方程的正整数y不存在。因此，已知不定方程无正整数解。九、分离变数例 求的正整数解。解：求得（因为代入原式不成立），必为的约数，解得,或十、一个重要的二元二次不定方程佩尔方程1、佩尔方程定理 设,且不是完全平方数，则形如 的方程叫做佩尔方程.如果是使最小的方程的解（称为最小解），则每个解都可以取幂得到 证明 若是方程的解，则假设解不能表示为式的形式，由的最小性可知.又由假设，存在使得不妨设则式的对偶式是得所以，是方程的解.由,及，则,因此，由式与的最小性矛盾，所以式成立.2、佩尔方程的应用求方程的正整数解。解：设是方程的最小整数解.则方程的所有正整数解满足.它的前几组解也可以这样得到：由，所以，是方程的一组解对式两边立方得所以，是方程的一组解对式两边4次方得所以式方程的一组解.因式的前几组解是参考文献：1 7 8 9 何政 从教材的一处错误说起谈二元二次不定方程的解法【N】四川教育学院学报十五卷 第一期 1999.12 中学数学里不定方程的解法【N】贵州教育学院学报2003.83 马稀远 妙解二元二次不定方程【D】陕西省武功县教育局.4 10 周凤春 某些二元二次不定方程的