高考数学一轮复习 第五篇 数列 第3节 等比数列训练 理 新人教版.doc

第3节等比数列【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定与证明2,15等比数列的基本运算1,8等比数列的性质3,5,7等差、等比数列的综合4,6,9,11,13,14等比数列与其他知识的综合10,12基础巩固(时间:30分钟)1.(2017山西一模)设sn是等比数列an的前n项和,a3=,s3=,则公比q等于(c)(a) (b)-(c)1或- (d)1或解析:因为a3=,s3=,所以两式相比,化简得2q2-q-1=0,解得q=1或-,故选c.2.(2017广西钦州二模)已知数列an满足:=,且a2=2,则a4等于(d)(a)- (b)23 (c)12(d)11解析:因为数列an满足:=,所以an+1+1=2(an+1),即数列an+1是等比数列,公比为2.则a4+1=22(a2+1)=12,解得a4=11.故选d.3.(2017郑州三模)已知等比数列an,且a6+a8=4,则a8(a4+2a6+a8)的值为(d)(a)2(b)4(c)8(d)16解析:由题意知:a8(a4+2a6+a8)=a8a4+2a8a6+=+2a6a8+=(a6+a8)2,因为a6+a8=4,所以a8a4+2a8a6+=(a6+a8)2=16.故选d.4.(2017兰州二模)已知等差数列an的公差d=2,若a1,a3,a4成等比数列,则a6等于(a)(a)2(b)0(c)-2 (d)-4解析:a1,a3,a4成等比数列,可得=a1a4,即(a1+2d)2=a1(a1+3d),由等差数列an的公差d=2,即有(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,则a6=a1+5d=-8+10=2.故选a.5.设各项都是正数的等比数列an,sn为前n项和,且s10=10,s30=70,那么s40等于(a)(a)150 (b)-200(c)150或-200(d)400或-50解析:由题意得,数列s10,s20-s10,s30-s20,s40-s30成等比数列,因此有(s20-s10)2=s10(s30-s20).即(s20-10)2=10(70-s20),故s20=-20或s20=30,又s200,因此s20=30,s20-s10=20,s30-s20=40,故s40-s30=80,s40=150.故选a.6.(2017陕西渭南二模)成等差数列的三个正数的和等于12,并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列bn中的b2,b3,b4,则数列bn的通项公式为(a)(a)bn=2n(b)bn=3n(c)bn=2n-1(d)bn=3n-1解析:设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,可得3a=12,解得a=4,即成等差数列的三个正数分别为4-d,4,4+d,这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列bn中的b2,b3,b4,可得(4+4)2=(1+4-d)(4+d+11),解方程可得d=1(d=-11舍去),则b2=4,b3=8,b4=16,即有b1=2,则bn=22n-1=2n,故选a.7.(2017湖北二模)若等差数列an的公差为2,且a5是a2与a6的等比中项,则该数列的前n项和sn取最小值时,n的值等于(c)(a)4(b)5(c)6(d)7解析:由a5是a2与a6的等比中项,可得=a2a6,由等差数列an的公差d为2,得(a1+4d)2=(a1+d) (a1+5d),即(a1+8)2=(a1+2)(a1+10),解得a1=-11,an=a1+(n-1)d=-11+2(n-1)=2n-13,令an0则2n-130,所以n,因为nn+可得该数列的前n项和sn取最小值时,n=6.故选c.8.(2016安徽六校联考)在各项均为正数的等比数列an中,a2,a4+2,a5成等差数列,a1=2,sn是数列an的前n项的和,则s10-s4等于(b)(a)1 008 (b)2 016 (c)2 032(d)4 032解析:设等比数列an的公比为q,因为a2,a4+2,a5成等差数列,所以2(a4+2)=a2+a52(2q3+2)=2q+2q4,因为q0,解得q=2,所以s10=2 046,s4=30,s10-s4=2 046-30=2 016,故选b.9.(2017西城区二模)已知等差数列an的公差d为2,且a1,a2,a4成等比数列,则a1=;数列an的前n项和sn=.解析:因为数列an是公差d为2的等差数列,且a1,a2,a4成等比数列,所以a1,a1+2,a1+6成等比数列,所以(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,数列an的前n项和sn=2n+2=n2+n.答案:2n2+n能力提升(时间:15分钟)10.导学号 38486097(2017江西二模)在等比数列an中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则的值为(a)(a)2 (b)4(c)2 (d)4解析:因为a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,所以所以a3=2,a15=4;或a3=4,a15=2.可知a3=a1q2=2,a10.所以a9=2,同理a3=4,a15=2,得a9=2.则=a9=2.故选a.11.(2017福州一模)设等差数列an的公差d0,且a2=-d,若ak是a6与ak+6的等比中项,则k等于(c)(a)5(b)6(c)9(d)11解析:由等差数列an的公差d0,且a2=-d,可得a1=a2-d=-2d,则an=a1+(n-1)d=(n-3)d,若ak是a6与ak+6的等比中项,则=a6ak+6,即(k-3)2d2=3d(k+3)d,因为d0,得k2-9k=0,解得k=9(k=0舍去).故选c.12.(2017商丘三模)若数列an是等比数列,公比q=2,sn为an的前n项和,记tn=(nn*),则数列tn最大项的值为.解析:因为数列an是等比数列,公比q=2,sn为an的前n项和,tn=(nn*),所以tn=9-2n-,因为2n+2=4,当且仅当2n=时取等号,又nn*,n=1或2时,tn取最大值t1=9-2-4=3.所以数列tn最大项的值为3.答案:313.某市2017年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2017年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?(参考数据:1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)解:(1)设中低价房的面积构成数列an,由题意可知an是等差数列,其中a1=250,d=50,则sn=250n+50=25n2+225n.令25n2+225n4 750,即n2+9n-1900,而n是正整数,解得n10.答:到2026年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.(2)设新建住房的面积构成数列bn,由题意可知,bn是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=4001.08n-1.由题意可知an0.85bn,有250+(n-1)504001.08n-10.85.当n=5时,a50.85b6,即满足上述不等式的最小正整数n为6.答:到2022年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.14.(2017丰台区一模)已知an是各项均为正数的等比数列,a11=8,设bn=log2 an,且b4=17.(1)求证:数列bn是以-2为公差的等差数列;(2)设数列bn的前n项和为sn,求sn的最大值.(1)证明:设等比数列an的公比为q,则bn+1-bn=log2 an+1-log2 an=log2=log2 q(常数),因此数列bn是等差数列.又b11=log2 a11=3, b4=17,所以等差数列bn的公差d=-2,所以bn=b4+(n-4)d,即bn=25-2n.即数列bn是以-2为公差的等差数列.(2)解:等差数列bn的前n项和为sn,则sn=n=(24-n)n=-(n-12)2+144,所以当n=12时,sn有最大值,最大值为144.15.已知在正项数列an中,a1=2,点an(,)在双曲线y2-x2=1上,数列bn中,点(bn,tn)在直线y=-x+1上,其中tn是数列bn的前n 项和.(1)求数列an的通项公式;(2)求证:数列bn是等比数列.(1)解:由点an在y2-x2=1上知,an+1-an=1,所以数