高中数学 本讲归纳整合3课件 新人教A版选修45.ppt

本讲归纳整合 知识网络 1 数学归纳法及其原理数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方法 即先证明当n取第一个值n0 例如n0 1 时命题成立 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 那么就证明了这个命题成立 这种证明方法叫做数学归纳法 要点归纳 2 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题 证明时 它的两个步骤缺一不可 它的第一步 归纳奠基 n n0时结论成立 第二步 归纳递推 假设n k时 结论成立 推得n k 1时结论也成立 数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上 它可用有限的步骤 两步 证明出无限的命题成立 3 运用数学归纳法时易犯的错误 1 对项数估算的错误 特别是寻找n k与n k 1的关系时 项数发生什么变化被弄错 2 没有利用归纳假设 3 关键步骤含糊不清 假设n k时结论成立 利用此假设证明n k 1时结论也成立 是数学归纳法的关键一步 也是证明问题最重要的环节 对推导的过程要把步骤写完整 注意证明过程的严谨性 规范性 专题一数学归纳法证题的常用技巧 在使用数学归纳法证明时 一般说来 第一步验证比较简明 而第二步归纳步骤情况较复杂 因此 熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的 其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题 归纳假设 p k 成立 是问题的条件 而 命题p k 1 成立 就是所要证明的结论 因此 合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键 下面简要分析一些常用技巧 1 分析综合法用数学归纳法证明关于正整数n的不等式 从 p k 到 p k 1 常常可用分析综合法 2 放缩法涉及关于正整数n的不等式 从 k 过渡到 k 1 有时也考虑用放缩法 3 递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时 有时要利用an与an 1的关系 实现从 k 到 k 1 的过渡 专题二归纳猜想数学归纳法证明 应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时 应分析p k 与p k 1 的差异及联系 利用拆 添 并 放等手段 从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 也可考虑寻求二者的结合点 以便顺利过渡 利用归纳假设 经过适当放缩 恒等变形 得到结论需要的形式 凑结论 命题趋势 从近两年的高考试题来看 用数学归纳法证明与自然数有关的不等式以及与数列有关的命题是高考的热点 主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力 同时考查分析问题 解决问题的能力 难度为中高档 预计今后高考可能会以数列 有关的等式或不等式的证明为主要考点 重点考查运用数学归纳法解决问题的能力 高考真题 2 2010 江苏 已知 abc的三边长为有理数 1 求证 cosa是有理数 2 求证 对任意正整数n cosna是有理数 假设当n k k 1 时 coska和sina sinka都是有理数 当n k 1时 由cos k 1 a cosa coska sina sinka sina sin k 1 a sina sina coska cosa sinka sina sina coska sina sinka cosa 及 和归纳假设