高中数学 222《反证法》同步课件 新人教A版选修12.pptVIP

1 知识与技能了解反证法是间接证明的一种基本方法 了解反证法的思考过程 特点 2 过程与方法感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用 本节重点 反证法概念的理解以及反证法的解题步骤 本节难点 应用反证法解决问题 用反证法证明问题 一般由证明p q 转向证明 q r t t与假设矛盾或与某个真命题矛盾 从而到判断 q为假 得出q为真 反证法 不是从已知条件去直接证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上进行演绎推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 1 反证法证明数学命题的四个步骤第一步 分清命题的条件和结论 第二步 做出与命题结论相矛盾的假设 第三步 由假设出发 应用演绎推理方法 推出矛盾的结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因 在于开始所做的假设不真 于是原结论成立 从而间接地证明了命题为真 常见的主要矛盾有 1 与数学公理 定理 公式 定义或已被证明了的结论相矛盾 2 与假设矛盾 3 与公认的简单事实矛盾 2 反证法适宜证明存在性 唯一性 带有 至少有一个 或 至多有一个 等字样的一些数学问题 3 用反证法证明不等式 常用的否定形式有 的反面为 的反面为 及 4 反证法属于逻辑方法范畴 它的严谨体现在它的原理上 即 否定之否定等于肯定 其中第一个否定是指 否定结论 假设 第二个否定是指 逻辑推理结果否定了假设 反证法属于 间接证明方法 书写格式易错之处是 假设 错写成 设 1 反证法的定义一般地 假设原命题不成立 经过 最后得出 因此说明假设 从而证明了原命题 这样的证明方法叫做反证法 反证法是的一种基本方法 2 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与矛盾 或与矛盾 或与定义 公理 矛盾等 正确的推理 矛盾 错误 成立 间接证明 已知条件 假设 定理 事实 例1 求证 若两条平行直线a b中的一条与平面 相交 则另一条也与平面 相交 证明 不妨设直线a与平面 相交 b与a平行 从而要证b也与平面 相交 假设b不与平面 相交 则必有下面两种情况 1 b在平面 内 由a b a 平面 得a 平面 与题设矛盾 2 b 平面 则平面 内有直线b 使b b 而a b 故a b 因为a 平面 所以a 平面 这也与题设矛盾 综上所述 b与平面 只能相交 点评 直接证明直线与平面相交比较困难 故可考虑用反证法 注意该命题的否定形式不止一种 需一一驳倒 才能推出命题结论正确 已知p3 q3 2 求证p q 2 证明 假设p q 2 那么p 2 q 所以p3 2 q 3 8 12q 6q2 q3 将p3 q3 2代入消去p 得6q2 12q 6 0 即6 q 1 2 0 这与6 q 1 2 0矛盾 故假设错误 所以p q 2 点评 本题已知为p q的三次幂 而结论中只有p q的一次幂 若直接证明 应考虑到用立方根 同时用放缩法 但很难证 故考虑采用反证法 点评 该命题中有 至少 直接方法很难证明 故可采用反证法 类题解法揭示 当命题中出现 至少 至多 不都 都不 没有 唯一 等指示性词语时 宜用反证法 注意 至少有一个 至多有一个 都是 的否定形式分别为 一个也没有 至少有两个 不都是 求证 一个三角形中 至少有一个内角不小于60 证明 假设 abc的三个内角a b c都小于60 即 a 60 b 60 c 60 相加得 a b c 180 这与三角形内角和定理矛盾 所以 a b c都小于60 的假定不能成立 从而 一个三角形中 至少有一个内角不小于60 例3 已知 一点a和平面 求证 经过点a只能有一条直线和平面 垂直 分析 证明 根据点a和平面 的位置关系 分两种情况证明 1 如图 点a在平面 内 假设经过点a至少有平面 的两条垂线ab ac 那么ab ac是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于经过点a的一条直线 因为ab 平面 ac 平面 a 所以ab a ac a 在平面 内经过点a有两条直线都和直线a垂直 这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 2 如图 点a在平面 外 假设经过点a至少有平面 的两条垂线ab和ac b c为垂足 那么ab ac是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于直线bc 因为ab 平面 ac 平面 bc ab bc ac bc在平面 内经过点a有两条直线都和bc垂直 这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 综上 经过一点a只能有平面 的一条垂线 已知直线m与直线a和b分别交于a b且a b 求证 过a b m有且只有一个平面 证明 a b 过a b有一个平面 又m a m b b a a b b a b 又a m b m m 即过a b m有一个平面 假设过a b m还有一个平面 异于平面 则a b a b 这与a b 过a b有且只有一个平面相矛盾 因此 过a b m有且只有一个平面 例4 求证 当x2 bx c2 0有两个不相等的非零实数根时 bc 0 证明 假设bc 0 则有三种情况出现 1 若b 0 c 0 方程变为x2 0 x1 x2 0是方程x2 bx c2 0的根 这与已知方程有两个不相等的实根矛盾 2 若b 0 c 0 方程变为x2 c2 0 但当c 0时x2 c2 0与x2 c2 0矛盾 3 若b 0 c 0 方程变为x2 bx 0 方程的根为x1 0 x2 b 这与已知条件 方程有两个非零实根矛盾 综上所述 bc 0 一 选择题1 自然数a b c中恰有一个偶数 的否定为 a 自然数a b c都是奇数b 自然数a b c都是偶数c 自然数a b c中至少有两个偶数d 自然数a b c都是奇数或至少有两个偶数 答案 d 解析 恰有一个偶数的否定有两种情况 其一是无偶数 其二是至少有两个偶数 答案 c 3 命题 三角形中最多只有一个内角是直角 的结论的否定是 a 有两个内角是直角b 有三个内角是直角c 至少有两个内角是直角d 没有一个内角是直角 答案 c 解析 最多 与 至少 互为否定 一个 对应 两个 4 a b c d的必要不充分条件是 a a cb b dc a c且b dd a c或b d 答案 d 解析 a b是既不充分也不必要条件 c是充分不必要条件 只有d正确 可用反证法证明 若a c或b d不成立 则a c且b d 相加得 a b c d 与a b c d矛盾 故条件是必要的 又取a 10 b 1 c 4 d 8知条件是不充分的 二 填空题5 有下列命题 空间四点中有三点共线 则这四点必共面 空间四点 其中任何三点不共线 则这四点不共面 垂直于同一直线的两直线平行 两组对边相等的四边形是平行四边形 其中真