高中数学《2.1.1 曲线与方程》课件 新人教A版选修21.ppt

结合已知的曲线及其方程实例 了解曲线与方程的对应关系 了解数与形结合的基本思想 2 1 1曲线与方程 2 1曲线与方程 课标要求 1 2 理解曲线的方程和方程的曲线的概念 重点 曲线和方程通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系 难点 核心扫描 1 2 曲线的方程与方程的曲线一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是这个方程的 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 那么这个方程叫做 这条曲线叫做 自学导引 解 曲线的方程 方程的曲 点 线 想一想 如果曲线c的方程是f x y 0 能否认为f x0 y0 0是点p0 x0 y0 在曲线上的充要条件 提示能 由曲线方程的定义可知 如果曲线c的方程是f x y 0 那么点p0 x0 y0 在曲线c上的充分必要条件是f x0 y0 0 曲线的方程与方程的曲线概念的理解 1 定义中两个条件是轨迹性质的体现 条件 曲线上点的坐标都是这个方程的解 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点 也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外 纯粹性 而条件 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏 完备性 名师点睛 2 定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程 一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据 缺一不可 从逻辑知识来看 第一个条件表示f x y 0是曲线c的方程的必要条件 第二个条件表示f x y 0是曲线c的方程的充分条件 因此 在判断或证明f x y 0为曲线c的方程时 必须注意两个条件同时成立 3 定义的实质是平面曲线的点集 m p m 和方程f x y 0的解集 x y f x y 0 之间的一一对应关系 由曲线和方程的这一对应关系 既可以通过方程研究曲线的性质 又可以求曲线的方程 题型一曲线与方程的概念 若命题 曲线c上的点的坐标都是方程f x y 0的解 是正确的 则下列命题为真命题的是 a 不是曲线c上的点的坐标 一定不满足方程f x y 0b 坐标满足方程f x y 0的点均在曲线c上c 曲线c是方程f x y 0的曲线d 不是方程f x y 0的解 一定不是曲线c上的点 思路探索 从定义入手 考查定义中的两个条件 例1 解析 题设命题只说明 曲线c上的点的坐标都是方程f x y 0的解 并未指出 以方程f x y 0的解为坐标的点都是曲线c上的点 a b c都是假命题 如曲线c 平面直角坐标系一 三象限角平分线上的点 与方程f x y x2 y2 0 满足题设条件 但却不满足选项a b c的结论 根据逆否命题是原命题的等价命题知 d是正确的 答案d 规律方法 1 判断方程是否是曲线的方程 要从两个方面着手 一是检验点的坐标是否适合方程 二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上 从而建立方程的解与曲线上点的坐标的一一对应关系 2 定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程 一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则 缺一不可 因此 在证明f x y 0为曲线c的方程时 必须证明两个条件同时成立 变式1 2 不正确 直线l上的点的坐标都是方程 x 2的解 然而 坐标满足 x 2的点不一定在直线l上 因此 x 2不是l的方程 直线l的方程为x 2 思路探索 将方程进行同解变形 转化为已知曲线的方程的形式 从而判断出原方程表示的曲线 题型二由方程判断曲线 例2 即x y 1 0 x 1 或x 1 综上可知 原方程所表示的曲线是射线x y 1 0 x 1 和直线x 1 规律方法判断方程表示什么曲线 需对方程进行同解变形 常用的方法有 配方法 因式分解法或化为我们所熟悉的形式 然后根据方程的特征进行判断 方程x2 y2 1 xy 0 的曲线形状是 变式2 解析方程x2 y2 1表示以原点为圆心 半径为1的单位圆 而约束条件xy 0则表明单位圆上点的横 纵坐标异号 即单位圆位于第二或第四象限的部分 答案c 12分 若曲线y2 xy 2x k通过点 a a a r 求k的取值范围 题型三曲线方程的应用 例3 规范解答 曲线y2 xy 2x k过点 a a a2 a2 2a k 4分 题后反思 1 点在曲线上 点的坐标就是曲线方程的解 满足方程 代入后 对参数讨论求解 2 还要注意所给曲线方程中两个变量的范围以防所求参数不正确 设 0 2 点p cos sin 在曲线 x 2 2 y2 3上 则 解析 点p cos sin 在曲线 x 2 2 y2 3上 cos 2 2 sin 2 3 变式3 本节把曲线看成是动点的轨迹 蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法 把曲线看成方程的几何表示 方程看作曲线的代数反映 又包含了对应与转化的思想方法 已知方程y a x 和y x a a 0 所确定的两条曲线有两个交点 则a的取值范围是 a a 1b 01d a 方法技巧数形结合思想的应用 示例 思路分析 作出两方程表示的曲线 根据图形确定参数a的取值范围 解析 a 0 方程y a x 和y x a a 0 的图象大致如图 要使方程y a x 和y x a