高中数学《2.2等差数列》第1课时课件 新人教A版必修5.ppt

1 理解等差数列的概念 掌握等差数列的判定方法 2 掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念 深化认识并能运用 1 等差数列的判定 难点 2 等差数列的通项公式及运用 重点 第1课时等差数列的概念及通项公式 2 2等差数列 课标要求 核心扫描 等差数列的定义如果一个数列从第 项起 每一项与它的 的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个 叫做等差数列的 通常用字母 表示 自学导引 1 2 前一项 同一个常数 常数 公差 若已知数列 an 中 首项为a1 且满足an an 1 d n n n 2 或an 1 an d n n 则数列 an 为等差数列 正确吗 提示 正确 上述式子是等差数列定义的符号表示 d 等差中项由三个数a a b组成的等差数列中 叫做a与b的等差中项 这三个数满足关系式a b 等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则等差数列的通项公式为an 2 3 a 2a a1 n 1 d 推导等差数列的通项公式 除了课本上的归纳法外 还有哪些方法 提示 法一 累加法 an 为等差数列 an an 1 d an 1 an 2 d an 2 an 3 d a2 a1 d 以上各式两边分别相加 得an a1 n 1 d an a1 n 1 d 法二 迭代法 an 是等差数列 an an 1 d an 2 d d an 2 2d an 3 3d a1 n 1 d an a1 n 1 d 法三 逐差法 an 是等差数列 an an an 1 an 1 an 1 an 1 an 2 an 2 an 2 an 2 an 3 an 3 a2 a2 a1 a1 an an an 1 an 1 an 2 an 2 an 3 a2 a1 a1 n 1 d a1 an a1 n 1 d 等差数列定义的理解 1 注意定义中 从第2项起 这一前提条件的两层含义 其一 第1项前面没有项 无法与后续条件中 与前一项的差 相吻合 其二 定义中包括首项这一基本量 且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差 2 注意定义中 每一项与它的前一项的差 这一运算要求 它的含义也有两个 其一是强调作差的顺序 即后面的项减前面的项 其二是强调这两项必须相邻 3 注意定义中的 同一常数 这一要求 否则这个数列不能称为等差数列 名师点睛 1 等差中项的理解 2 等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式 如若an an 1 an 2满足2an 1 an an 2 则数列 an 为等差数列 这是因为2an 1 an an 2等价于an 1 an an 2 an 1 显然满足等差数列的定义 3 在等差数列中 除首末两项外 任何一项都是前后两项的等差中项 2 等差数列的通项公式 1 确定a1和d是确定通项的一般方法 2 由方程思想 根据an a1 n d中任何三个量可求解另一个量 即知三求一 3 通项公式可变形为an dn a1 d 可把an看作自变量为n的一次函数 3 题型一等差数列的通项公式及应用 已知递减等差数列 an 的前三项和为18 前三项的乘积为66 求数列的通项公式 并判断 34是该数列的项吗 思路探索 本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列的基本运算 例1 数列 an 是递减等差数列 d 0 故取a1 11 d 5 an 11 n 1 5 5n 16 即等差数列 an 的通项公式为an 5n 16 令an 34 即 5n 16 34 得n 10 34是数列 an 的第10项 在等差数列 an 中 首项a1与公差d是两个最基本的元素 有关等差数列的问题 如果条件与结论间的联系不明显 则均可化成有关a1 d的关系列方程组求解 但是要注意公式的变形及整体计算 以减少计算量 在等差数列 an 中 已知a5 11 a8 5 求a10 解设数列 an 的首项为a1 公差为d 由题意知 an 19 n 1 2 2n 21 a10 2 10 21 1 变式1 在 1与7之间顺次插入三个数a b c使这五个数成等差数列 求此数列 思路探索 由a1 1及a5 7 可使用通项公式求得公差d 再利用通项公式分别求得a b c 也可利用等差中项先求得b 再依次使用等差中项求得a c 解法一设a1 1 a5 7 7 1 5 1 d d 2 所求的数列为 1 1 3 5 7 法二 1 a b c 7成等差数列 b是 1与7的等差中项 题型二等差中项及其应用 例2 在等差数列 an 中 由定义有an 1 an 若m和2n的等差中项为4 2m和n的等差中项为5 求m和n的等差中项 解由m和2n的等差中项为4 得m 2n 8 又由2m和n的等差中项为5 得2m n 10 两式相加 得m n 6 变式2 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的通项公式 审题指导 题型三等差数列的判定与证明 例3 题后反思 判断一个数列是否是等差数列的常用方法有 1 an 1 an d d为常数 n n an 是等差数列 2 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 an kn b k b为常数 n n an 是等差数列 但若要说明一个数列不是等差数列 则只需举出一个反例即可 判断下列数列是否为等差数列 1 an 3 2n 2 an n2 n 解对任意n n 1 an 1 an 3 2 n 1 3 2n 2 是同一常数 数列 an 是等差数列 2 an 1 an n 1 2 n 1 n2 n 2n 不是同一常数 数列 an 不是等差数列 变式3 若数列 an 的通项公式为an 10 lg2n 试说明数列 an 为等差数列 错解 因为an 10 lg2n 10 nlg2 所以a1 10 lg2 a2 10 2lg2 a3 10 3lg2 所以a2 a1 lg2 a3 a2 lg2 故数列 an 为等差数列 误区警示对等差数列的定义理解不透彻 示例 证明一个数列为等差数列 以特殊代替一般 用验证几个特例作为证明是不正确的 必须用定义或与定义等价的命题来证明 正解 因为an 10 lg2n 1