高考数学一轮复习精讲课件 第10单元第63讲 轨迹问题 湘教版 .ppt

1 了解曲线与方程的关系 掌握求动点轨迹的基本思路和常用方法 并能灵活应用 培养用坐标法解题思想 2 c 解析 3 c 解析 4 解析 d 5 解析 6 5 设p为双曲线 y2 1上一动点 o为坐标原点 m为线段op的中点 则点m的轨迹方程为 x2 4y2 1 解析 7 1 曲线与方程的关系一般的 在平面直角坐标系中 如果某曲线c 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下关系 1 曲线上的点的坐标都是这个 2 以这个方程的解为坐标的点均是 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 方程的解 曲线上的点 8 2 求轨迹方程的基本思路 1 建立适当的直角坐标系 设曲线上的任意一点 动点 坐标为m x y 2 写出动点m所满足的 3 将动点m的坐标 列出关于动点坐标的方程f x y 0 4 化简方程f x y 0为最简形式 5 证明 或检验 所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件 几何条件的集合 代入几何条件 9 注意 第 2 步可以省略 如果化简过程都是等价交换 则第 5 可以省略 否则方程变形时 可能扩大 或缩小 x y的取值范围 必须检查是否纯粹或完备 即去伪与补漏 3 求轨迹方程的常用方法 1 直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量 如距离与角 的等量关系 或这些几何条件简单明了且易于表达 我们只需把这种关系转化为x y的等式就得到曲线的轨迹方程 10 2 定义法 某动点的轨迹符合某一基本轨迹 如直线 圆锥曲线 的 则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程 3 代入法 相关点法 当所求动点m是随着另一动点p 称之为相关点 而运动 如果相关点p满足某一曲线方程 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标 再把相关点代入曲线方程 就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程 定义 11 4 参数法 有时求动点应满足的几何条件不易得出 也无明显的相关点 但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量 角度 斜率 比值 截距或时间等 的制约 即动点坐标 x y 中的x y分别随另一变量的变化而变化 我们可称这个变量为参数 建立轨迹的参数方程 5 交轨法 在求两动曲线交点的轨迹问题时 通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程 再联立方程 通过解方程组消去参变量 直接得到x y的关系式 12 题型一直接法求轨迹方程 例1 分析 13 解析 14 评析 15 素材1 解析 16 如图 已知圆a x 2 2 y2 1与点a 2 0 b 2 0 分别求出满足下列条件的动点p的轨迹方程 1 pab的周长为10 2 圆p与圆a外切 p为动圆圆心 3 圆p与圆a外切且与直线x 1相切 p为动圆的圆心 题型二定义法求轨迹方程 例2 17 根据题意 先找出等价条件 再根据条件判定曲线类型 最后写出曲线的方程 1 pa pb 10 ab 6 2 pa pb 1 3 p点到a点的距离比p点到直线x 1的距离长1 即p点到a点的距离等于p点到直线x 2的距离 分析 18 1 根据题意 知 pa pb ab 10 即 pa pb 6 4 ab 故p点的轨迹是椭圆 且2a 6 2c 4 即a 3 c 2 则b 因此其方程为 1 y 0 2 设圆p的半径为r 则 pa r 1 pb r 因此 pa pb 1 解析 19 由双曲线的定义知 p点的轨迹为双曲线的右支 且2a 1 2c 4 即a c 2 则b 因此其方程为4x2 y2 1 x 3 依题意知 动点p到定点a的距离等于到定直线x 2的距离 故其轨迹为抛物线 且开口向左 p 4 因此其方程为y2 8x 20 1 本题为利用圆锥曲线的定义求动点轨迹方程的问题 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 如圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程 2 圆锥曲线的定义提示了其本质特征 而圆锥曲线的方程随坐标系的不同而不同 因而掌握定义是根本 评析 21 题型三代入法 相关点法 求轨迹方程 例3 分析 22 解析 评析 23 素材2 分析 24 解析 25 26 题型四用参数法求轨迹方程 例4 分析 27 解析 28 评析 29 素材3 解析 30 31 32 解析 33 34 35 36 37 1 曲线与方程关系的理解 1 曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横 纵坐标之间的关系 这种关系同时满足两个条件 曲线上所有点的坐标均满足方程 适合方程的所有点均在曲线上 2 如果曲线c的方程是f x y 0 那么点p0 x0 y0 在曲线c上的充要条件是f x0 y0 0 38 3 视曲线为点集 曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标所满足的方程 则曲线上的点集 x y 与方程的解集之间建立了一一对应关系 2 求轨迹方程方法实质剖析 1 轨迹问题的实质就是用动点的两坐标x y一一对应的揭示曲线方程解的关系 在实际计算时 我们可以简单地认为 求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系 当两坐标之间的关系为直接关系f x y 0 就是曲线方程的普通形式 39 当x y的关系用一个变量 如t变量 表示时 坐标之间的关系就是间接关系 这时的表示式就是曲线的参数方程 所以解决问题时 应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展开探究 2 定义法求轨迹是不同于其他求轨迹的思维方法 它从动点运动的规律出发 整体把握点在运动中不动的 不变的因素 从而得到了动点运动规律满足某一关系 简单地说 就是在思维的初期 先不用设点的坐标 而直接找动点所满足的几何性质 往往是距离的等量关系