中考数学复习 第五章基本图形 第22课 特殊三角形课件.ppt

第22课特殊三角形 基础知识自主学习 1 等腰三角形 1 性质 相等 相等 底边上的高线 中线 顶角的角平分线 三线合一 2 判定 有两边相等 两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形 2 等边三角形 1 性质 相等 三内角都等于 2 判定 三边相等 三内角相等或有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 要点梳理 两腰 两底角 三边 60 3 直角三角形 在 abc中 c 90 1 性质 边与边的关系 勾股定理 a2 b2 2 角与角的关系 a b 3 边与角的关系 若 a 30 则a c b c 若a c 则 a 30 若 a 45 则a b c 若a c 则 a 45 斜边上的中线m c r 其中r为三角形外接圆的半径 4 判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 c2 90 难点正本疑点清源 1 等腰三角形的特殊性 等边对等角 是今后我们证明角相等的又一个重要依据 等角对等边 可以判定一个三角形是等腰三角形 同时也是今后证明两条线段相等的重要依据 等边三角形是等腰三角形 但等腰三角形不一定是等边三角形 等边三角形拥有等腰三角形的所有性质 但不分顶角 底角 腰 底边 因为等边三角形任何一个角都为60 任何一条边都可看做腰或底边 解答等腰三角形的有关问题时 常作辅助线 构造出 三线合一 的基本图形 在添加辅助线时 要根据具体情况而定 表达辅助线的语句 不能限制条件过多 如一边上的高并且要平分这条边 作一边上的中线并且垂直平分这条边 作一个角的平分线并且垂直对边等等 这些都是不正确的 2 直角三角形的特殊性直角三角形是重要的基本图形之一 它的特征和识别应用非常广泛 把勾股定理运用到实际生活中解决实际问题 常常渗透着数形结合 方程思想 在利用勾股定理时 一定要看清题中所给的条件是不是直角三角形 所给的边是直角边还是斜边 如果题目无法确定是直角边还是斜边 则需要分类讨论 勾股定理的逆定理是把数转化为形 是通过计算判定一个三角形是否为直角三角形 实际问题可根据实际情况转化为直角三角形去解 图中无直角时 可通过添加辅助线来构造直角三角形 若图形中有特殊角 如30 45 60 的角 在作辅助线时 要注意保留其完整性 以便应用特殊三角形的性质 基础自测 1 2011 济宁 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm 那么此三角形的周长是 a 15cmb 16cmc 17cmd 16cm或17cm答案d解析这个三角形的周长是5 5 6 16或6 6 5 17 2 2011 铜仁 下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是 a 等腰三角形两底角相等b 等腰三角形底边上的高 底边上的中线 顶角的平分线互相重合c 等腰三角形是中心对称图形d 等腰三角形是轴对称图形答案c解析等腰三角形是轴对称图形 不是中心对称图形 3 2011 芜湖 如图 已知 abc中 abc 45 f是高ad和be的交点 cd 4 则线段df的长度为 a 2b 4c 3d 4答案b解析在rt abd中 abd 45 可得ad bd 易证 bdf adc 所以df cd 4 5 2011 鸡西 如图 在rt abc中 ab cb bo ac 把 abc折叠 使ab落在ac上 点b与ac上的点e重合 展开后 折痕ad交bo于点f 连结de ef 下列结论 tan adb 2 图中有4对全等三角形 若将 def沿ef折叠 则点d不一定落在ac上 bd bf s四边形dfoe s aof 上述结论中正确的个数是 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案c 题型分类深度剖析 例1 1 方程x2 9x 18 0的两个根是等腰三角形的底和腰 则这个三角形的周长为 a 12b 12或15c 15d 不能确定答案c解析解方程x2 9x 18 0 得x1 3 x2 6 周长为3 6 6 15 应选c 2 如果等腰三角形的一个内角是80 那么顶角是 度 答案80或20解析顶角是80 或当底角是80 时 顶角是180 2 80 20 探究提高在等腰三角形中 如果没有明确底边和腰 某一边可以是底 也可以是腰 同样 某一角可以是底角也可以是顶角 必须仔细分类讨论 题型一等腰三角形有关边角的讨论 知能迁移1 1 2011 株洲 如图 abc中 ab ac a 36 ac的垂直平分线交ab于e d为垂足 连接ec 求 ecd的度数 若ce 5 求bc长 解 解法一 de垂直平分ac ce ae ecd a 36 解法二 de垂直平分ac ad cd ade cde 90 又 de de ade cde ecd a 36 解法一 ab ac a 36 b acb 72 ecd a 36 bce acb ecd 36 bec 180 36 72 72 b bc ec 5 解法二 ab ac a 36 b acb 72 bec a ecd 72 bec b bc ec 5 2 2011 烟台 等腰三角形的周长为14 其一边长为4 那么 它的底边为 答案4或6解析 等腰三角形的底边为4 等腰三角形的两腰为4时 则底边等于14 4 4 6 题型二等腰三角形的性质 例2 如图 在等腰rt abc中 bac 90 点d是bc的中点 且ae bf 试判断 def的形状 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 解 连接ad 在等腰rt abc中 ad是中线 ad bc dae bac 45 ad bd 又 b c 45 b dae 2分 在 bdf和 ade中 bdf ade sas 4分 df de 1 2 又 3 1 90 2 3 90 即 edf 90 def也是等腰直角三角形 6分 探究提高作等腰三角形的底边中线 构造等腰三角形 三线合一 的基本图形 是常见的辅助线的作法之一 知能迁移2已知 如图 d是等腰 abc底边bc上一点 它到两腰ab ac的距离分别为de df 当d点在什么位置时 de df 并加以证明 解当点d在bc的中点时 de df ab ac b c de ab df ac deb dfc 90 点d是bc的中点 bd cd bde cdf aas de df 题型三等边三角形 例3 1 已知 如图 p q是 abc边bc上两点 且bp pq qc ap aq 求 bac的度数 解 ap pq aq apq是等边三角形 paq 60 apq 60 ap bp b bap 60 30 同理 c caq 30 bac 30 60 30 120 2 2010 大兴安岭 如图所示 已知 abc和 dce均是等边三角形 点b c e在同一条直线上 ae与bd交于点o ae与cd交于点g ac与bd交于点f 连接oc fg 则下列结论 ae bd ag bf fg be boc eoc 其中正确结论的个数 a 1个b 2个c 3个d 4个答案d 解析由 bcd ace 可得 ae bd成立 由 acg bcf 可得 ag bf成立 acg bcf cg cf 又 acd 60 fcg是等边三角形 cfg 60 acb fg be成立 过c画cm bd cn ae 垂足分别是m n bcd ace cm cn 点c在 boe的角平分线上 oc平分 boe 即 boc eoc成立 探究提高在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质 每个角都相等 每条边都相等 这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件 知能迁移3如图 在等边 abc中 点d e分别在边bc ab上 且bd ae ad与ce交于点f 1 求证 ad ce 2 求 dfc的度数 解 1 在等边 abc中 ab ac bac cba 60 又bd ae abd cae ad ce 2 abd cae bad eca dfc是 afc的外角 dfc eca dac bad dac bac 60 题型四直角三角形 勾股定理 例4 1 如图 已知 abc中 abc 90 ab bc 三角形的顶点在相互平行的三条直线l1 l2 l3上 且l1 l2之间的距离为2 l2 l3之间的距离为3 则ac的长是 a 2b 2c 4d 7答案a 2 如图 在钝角三角形abc中 bc 9 ab 17 ac 10 ad bc 交bc的延长线于d 求ad的长 探究提高在线段的长无法直接求出时 可利用另一线段把这一线段表示出来 然后利用勾股定理得到一个方程 最后得解 这是利用勾股定理解决线段长的常用方法 知能迁移4 1 如图 直线l上有三个正方形a b c 若a c的面积分别为5和11 则b的面积为 a 4b 6c 16d 55答案c 2 2011 鸡西 已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm 第三边上的高为10cm 则此三角形的面积为 cm2 答题规范 考题再现在 abc中 高ad和高be相交于h 且bh ac 求 abc的度数 学生作答解 如图1 在rt bhd和rt acd中 c cad 90 c hbd 90 hbd cad 又 bh ac bhd acd bd ad adb 90 abc 45 9 三角形的高可能在形外 图1 规范解答解 这里的 abc有两种情况 abc是锐角 图1 或 abc是钝角 图2 如图2 在rt bhd和rt acd中 易得 dca dhb 又 ac bh dhb dca ad db dba 45 abc 135 综上 abc 45 或 abc 135 图2 老师忠告1 同学们都知道 三角形的高有可能在形外 但在实际解题中 常因忽略这一点而造成错误 为什么常常会忽略三角形的高可能在形外呢 一个主要原因就是同学们头脑中已形成思维定势 一画三角形就不由自主地画成锐角三角形 从而造成漏解的失误 2 在解答几何问题时 如果没有给出具体的图形 都应该先考虑是否有多种情况 有些命题在一种情况下成立是真命题 而在另一种情况下就可能不成立 是假命题 10 易出错的等腰三角形问题 考题再现已知 abc是等腰三角形 由a所引bc边上的高恰好等于bc边长的一半 试求 bac的度数 学生作答 图3 规范解答解 题目中并没有指明bc是等腰 abc的底或腰 当bc为底时 可求得 bac 90 当bc为腰时 还应对 b的大小进行讨论 图4 图5 老师忠告1 对于等腰三角形问题 当给出的条件 如边 角情况 不明时 一般要分情况逐一考察 否则 容易出现错解或漏解的错误 2 当顶角是锐角时 腰上的高在三角形内 当顶角为直角时 腰上的高与另一腰重合 当顶角为钝角时 腰上的高在三角形外 这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时 应考虑的几个方面 思想方法感悟提高 方法与技巧1 掌握分类的思想和方法 可深入理解 有效记忆 便于应用 例如 从三角形三边长的比较 可把三角形分为不等边三角形和等腰三角形 等腰三角形又分为等边三角形和其它等腰三角形 而从最大内角的大小出发 又可以把三角形分为锐角三角形 直角三角形和钝角三角形 由于两种分类的标准不同 所以一个具体的三角形 在两种分类中 必各属于其中的一类 如等腰直角三角形 在第一种分类中 属于其它等腰三角形 在第二种分类中 属于直角三角形 2 在一个三角形中 等边对等角 等角对等边 当所要求证的两边 两角位于同一个三角形中 利用等腰三角形来论证它们的相等关系是常用的方法 3 等腰三角形 三线合一 的性质 运用广泛而又灵活 在于三线中只要有任两线重合 则可判定三角形等腰 即第三线也重合 4 证明等边三角形的方法一般有两种 一是直接论证三边或三角相等 二是先证明是等腰三角形 再证明其中一角为60 5 在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半 同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形 这一特征在解题中时有运用 在直角三角形中 含锐角30 45 这两类是较为特殊的 它们的边 角有一些特殊的数量关系 应该熟记在心 失误与防范1 在解有关等腰三角形的问题时 有一种习惯上的认识 总认为腰大于底 这是造成错解的原因 实际