数学建模真题 艾滋病2.doc

晋中学院数学学院2007届本科毕业论文艾滋病疗法的评价及疗效的预测全国大学生数学建模竞赛题目学生姓名：刘琰博（专升本051班）指导老师：张国志摘要：目前控制爱滋病的主要手段就是尽量减少爱滋病毒（HIV）在人体内的数量，所以本文根据美国爱滋病医疗机构所给的两组数据（附件1和附件2），运用Excel及Matlab软件对其进行处理，分别拟合出CD4和HIV的浓度随时间变化的函数关系式和问题中所给4种疗法中CD4的变化图象，然后利用Logistic模型，稳定性模型，最大曲边面积模型及层次分析法可分别得到同时服用3种药物的病人的最佳治疗终止时间是167.4117周；在4种疗法中疗法三对30岁以下的患者效果最好，疗法四对30岁以上的患者效果最好；考虑4种疗法的费用后，疗法一是最经济的关键词：CD4细胞；HIV；最佳治疗时间；抑制率；相对增长率；对比图；预测目录1问题的提出 12问题的解决 22.1 问题的假设 2 2.2 符号说明 2 2.3 问题分析 2 2.4 模型的建立与求解 33模型的评价与改进 8 3.1 模型的评价 8 3.2 模型的改进 9参考文献 10The Evaluation of The Therapy of AIDS and Prediction of Its Curative EffectThe topic of china undergraduate mathematics contest in modelingStudent：Liu Yan-bo (Class 051)Instructor：Zhang Guo-zhiAbstract：Currently，the main means which controls AIDS is to decreas as much as possible the amount of HIV in the human bodySo the article is relate to two sets of data from the AIDS medical treatment organization of the United States (accessory 1 and accessory 2)，then using the Excel and Matlab software to deal with them，and respectively get the function which responses a change about the density of CD4 ad HIV going along with time，and the picture on a change about 4 kinds of therapies in the problemThen make use of Logistic model，stability model，the biggest area model of covering with the curve，and the method of analysis in layers can get the best treatments terminate time for the patient who take 3 kinds of medicine at the same time is 167.4116 weeks；Among the 4 kinds of therapies，the third one is the best one for the patient under the age of 30 and the forth one is the best one for the patient over the age of 30；when considering the expenses of the 4 kinds of therapies，the first one is the most profitableKey words：CD4 cell；HIV；The best treatment time；Repress rate；Opposite growth rate；Contrast diagram；Estimate1问题的提出艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，它的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”，英文简称HIV）引起的这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）请你完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（3）艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变2问题的解决2.1问题的假设1.在适合的条件下，HIV独立生存是以指数规律增长2.在适合的条件下，CD4细胞独立生存是以二分裂的形式增长3.CD4细胞均无记忆性 4.病人服用药物后直接作用于CD4细胞，增加CD4细胞的数量来抑制HIV5.人群的年龄最大可以达到70岁6.四个星期为一个月，一个月为30天2.2符号说明x(t)：t时刻HIV的数量 y(t)：t时刻CD4细胞的数量 ：HIV的相对增长率（为常量）：CD4细胞的固有增长率（为常量）：病人服用问题（1）中所提到的药物进入人体后人体内CD4细胞数量的增长率：每周每个CD4细胞对HIV的抑制数量与HIV数量的比例系数,即抑制率（为常量）：每周每个单位的HIV对CD4细胞的感染和裂解的数量与CD4细胞数量的比例系数（为常量）：第（1，2，3，4）种药物的费用 ：第（1，2，3，4）种疗法的费用 2.3 问题分析问题（1）的分析：因为问题（1）是要预测继续治疗的效果，或者确定最佳的治疗终止时间同时由已知条件中可知在人类免疫系统中CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要的作用，即是说CD4细胞对HIV有着一定的抵制作用，在一定程度上可以控制HIV的增长，而HIV又会对CD4细胞感染裂解，根据这些关系列出模型，同时可以从数据中分析得到CD4细胞及HIV与时间变化的关系，从而可确定出最佳治疗时间就是要确定什么时间的时候CD4细胞的数量和HIV的数量保持平衡，即在此时CD4细胞不在减少且HIV的数量不再增加 问题（2）的分析：在附件2中给出了年龄这个变量，以及CD4的log(cd4 count+1)的值，可以预测到结果当中应该是不同疗法的疗效与年龄这个变量有关对于给出的大量数据，要求解出哪种疗法具有更好的疗效，我们可以通过对大量的数据进行整理，从而找出CD4与测量时间的对应关系，拟合出图象，对图象进行分析，预测在该年龄阶段哪种疗法更好，并预测该疗法继续治疗的效果问题（3）的分析：可以认为问题（3）是对问题（2）的补充，需要进一步考虑费用问题，可以考虑引用层次分析模型来解决该问题2.4模型的建立和求解 模型I因为CD4细胞与HIV在病人体内的增加与减少都是相互制约的，所以该模型是一种相互作用的模型，它是对Logistic规律的推广应用，从而对于HIV规模的变化情况的方程就为，同时对CD4细胞数量就满足下面的方程，这样便可以得到CD4细胞与HIV相互作用的数学模型这是一个非线形微分方程组,对此进行讨论:令解得系统的两个平衡位置为 (0，0)， ，作变换:，,将坐标系平移，系统化为在所作变换下，点变为(0，0)，它是上式所对应线形系统的中心点系统的解，都是周期解尽管CD4细胞和HIV的规模在周期时间内的平均值却分别保持常数，而且正好分别等于平衡位置处CD4细胞和HIV的规模，即 ， ，其中为周期解，的周期，这里的周期即为所求因为CD4细胞增长是属于两分裂的，所以它在单位时间内自身的固有增长率b1根据附件1中所给的数据，剔除掉一些数量残缺的数据后对剩余数据中有规律的数据通过Matlab程序进行六维拟合得到CD4细胞数量及HIV数量与时间的关系的图象及函数表达式如下： 图2-1 CD4细胞数量与时间的关系，图2-2 HIV的数量与时间的关系，然后将，的表达式带入到上面的非线形微分方程组的数学模型中取三组数：5.7211，2.9631；3.1792， 127.168； 3.4017， 134.9535；则可计算出各未知系数的值：0.7103，0.0230，代入由周期式，得周期（即最佳终止用药时间）T=167.4116周模型II利用Excel软件对附件2中的大量数据统计出每种疗法中患者的数量，这样就将全部患者按疗法分成四组，分别对每组数据按年龄进行排序，便于研究我们将年龄分成030，3040岁，4050岁，5070岁四个阶段然后按比例随机抽取不同年龄的患者，分析他们体内CD4细胞的数量，从而也就可以拟合出每个固定的测量时刻CD4细胞数量与年龄的变化曲线关系，也即分别作出在t=0，t=8，t=16，t=24，t=32，t=40（单位：周）时刻时的图形图形如下： 图2-1 图2-2 图2-3 图2-4 图2-5 图2-6对六个图形进行数据的分析，我们利用曲线的面积模型，各种疗法在以上六幅图中各个不同的年龄段曲线所覆盖的面积，所得的面积就是该年龄段所测量的时刻患者体内CD4细胞的总数量，然后得到每种疗法在我们所取的各个年龄段中，患者体内CD4细胞的总数量与时间的关系（见表2，其中每个表格第一行表示测量时刻，以下的数据表示所得的面积值）表2-1 三十岁以下0816243240疗法一4013.8325665.7-254.2-2018.892010.339-7699.21疗法二6091.7-3729.94.31-1337.5290.8111492.905疗法三-824.5-815.646321714.8786416.642-2090.74疗法四1563.239762523.783.742315.279-2090.74表2-2 三十岁-四十岁年龄段0816243240疗法一60.2711.766779.97675.439-75.196疗法二-684.2-558.76.3-688.015-147.327-281.312疗法三123.7393.6-313.3-75.961127.874409.525疗法四-90.7477.2166.466.321607.399409.525表2-3 四十岁-五十岁年龄段0816243240疗法一1174.712663.910999.912888.9111826.33-2669.24疗法二-10993.2-10483.29832.2-12516.2-3079.86-4652.92疗法三1743.26213.1-5518.2-1337.822620.2985362.951疗法四-1935.587032347.6729.5919962.6995362.95表2-4 五十岁-七十岁年龄段0816243240疗法一120.41875.21742.6136.1911587.2191049.745疗法二-1880.5-1531.71576.8-1897.9-444.129-801.452疗法三281.2985.03-918-250.42308.7041049.745疗法四-289.91193.8374.6131.1911587.2191041.745利用Matlab软件绘出图形，可以得出在四个不同的年龄段患者体内的CD4细胞与时间的关系，具体图形如下： 图2-7 图2-8 图2-9 图2-10通过对图2-7到图2-10的分析，年龄为三十是一个疗效的分界点.三十岁以下疗法三的效果最佳，三十岁以上疗法四的效果最佳而对于疗法二而言，CD4的数量处于一个相对较低的状态，并且他的波动急剧疗法二的疗效最差同时分析以上的四幅图像，可以得出疗法与年龄的变化无关系从整体来看疗法四的治疗效果相对稳定，疗法一与疗法三次之本文对四种疗法评价的标准有两个：整体的CD4数量相对较高，它的波动相对较小，亦即方差较小模型III由问题（2）中的条件可得各疗法的费用分别为：其中1.60，0.85，1.85，1.20（单位：美元），设t=30(单位：天)，则102.3，207，147，219（单位：美元）根据该条件，使用层次分析，设目标层为选择疗法，准则层为最经济，方案层为，则可得成对比较阵（正互反阵）为 ，由归一法可得该模型的权向量矩阵w=，和它的最大特征根，从矩阵中可以看出疗法一所占的权重最大，所以疗法一是最经济的疗法所以当病人考虑上四种疗法的费用后，对问题（2）中的评价和预测发生了变化，因为经济原因，患者可选择疗法一来治疗3 模型的评价与改进3.1 模型的评价模型的优点：(1) 采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高(2) 建立的数学模型都有相应的专用软件支持，算法简便，编程实现简单，推广容易(3) 利用数学工具，通过Matlab,Excel的方法，严格地对模型求解，具有科学性(4) 在曲线的拟合中采取多维拟