高中数学 函数的单调性（3）课件 新人教A版必修1.ppt

1 3 1函数的单调性 t 气温t是关于时间t的函数曲线图 4 8 12 16 20 24 t o 2 2 4 8 6 10 思考 气温发生了怎样的变化 在哪段时间气温升高 在哪段气温降低 观察下列各个函数的图象 并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律 1 观察这三个图象 你能说出图象的特征吗 2 随x的增大 y的值有什么变化 画出函数f x x的图象 观察其变化规律 1 从左至右图象上升还是下降 2 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 增大 上升 1 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 0 0 增大 减小 画出函数f x x2的图象 观察其变化规律 如何利用函数解析式f x x2来描述图象这种变化规律 一 函数单调性定义 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间d上是增函数 1 增函数 一 函数单调性定义 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在区间d上是减函数 2 减函数 1 函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的 是函数的一个局部性质 注意 2 必须是对于区间d内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 分别是增函数和减函数 判断 定义在r上的函数f x 满足f 2 f 1 则函数f x 在r上是增函数吗 例如 y x在整个定义域 上单调递增 y x2在 0 单调递增 在 0 单调递减 如果函数y f x 在某个区间d上是增函数或是减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的单调区间 二 函数单调区间定义 y y 1 y 2x 1 增区间为 增区间为 减区间为 减区间为 4 y 2 无单调性 o 例1 下图是定义在区间 5 5 上的函数y f x 根据图象说出函数的单调区间 以及在每个区间上 它是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 例2 物理学中的玻意耳定律告诉我们 对于一定量的气体 当其体积v减小时 压强p将增大 试用函数的单调性证明之 证明 根据单调性的定义 设v1 v2是定义域 0 上的任意两个实数 且v1 v2 则 由v1 v2 0 且v10 v2 v1 0 又k 0 于是 所以 函数是减函数 也就是说 当体积v减少时 压强p将增大 取值 定号 结论 三 函数单调性的方法步骤 1取值 任取x1 x2 d 且x1 x2 2作差 f x1 f x2 3变形 通常是因式分解或配方等 4定号 即判断差f x1 f x2 的正负 5结论 即指出函数f x 在给定的区间d上的单调性 利用定义证明函数f x 在给定的区间d上的单调性的一般步骤 证明 设x1 x2是 0 上任意两个实数 且x1 x2 则 f x1 f x2 由于x1 x2得x1x2 0 又由x10所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 因此f x 1 x在 0 上是减函数 取值 定号 变形 作差 判断 证明 函数f x 在 0 上是减函数 四 归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断 再利用定义证明 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域 单调性的证明一般分五步 取值 作差 变形 定号 下结论 数与形 本是相倚依 焉能分作两边飞 数无