高三数学一轮复习 数列的概念课件 文.ppt

2013届高三数学一轮复习课件第三章数列数列的概念 本节是数列整章的基础 也是高考常考的基础知识 在新课标的要求中 降低了相应问题的难度 明确提出要通过日常生活实例来了解数列的概念 并把通项公式归为几种简单表示方法中其中一种 与列表法 图象法放在同等地位 所以预测2013年高考中涉及本节知识的试题若为选择题或填空题 属于基础题 难度不大 若为综合题 难度一般也不大 当然不排除出现难题 复习过程中注意解题的规范性 技巧性及效率 不能在基础题中失分 注意用函数的思想方法解决数列问题 1 数列的概念 数列是按一定的次序排列的一列数 在函数意义下 数列是定义域为正整数集n 或它有有限子集 的函数f n 当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值f 1 f 2 f 3 f n 通常用an来代替f n 其图象是一群孤立点 2 数列的通项公式 一个数列的第n项an与n之间的关系 如果可以用一个公式an f n 来表 示 那么我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 且不是每个数列都有通项公式 3 数列的分类 1 按数列项数是有限还是无限分为 有穷数列 无穷数列 2 按数列项与项之间的大小关系分为 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 3 按任何一项的绝对值是否都大于某一正数分为 有界数列和无界 数列 4 数列的通项an与前n项和sn之间的关系 数列 an 中 sn a1 a2 a3 an an 由数列的前n项和sn求通项an时 要分n 1和n 2两种情况分别进行计算 然后验证这两种情形是否可用统一的式子表示 若不能 就采用类似分段函数的形式表示 5 数列的性质 1 数列的单调性 在数列 an 中 如果对于任意的n n 都有an 1 an成立 那么我们就说数列 an 为递增数列 如果对于任意的n n 都有an 1 an成立 那么我们就说数列 an 为递减数列 2 数列的周期性 在数列 an 中 若存在正整数k 对n n 都有an k an 则数列 an 是周期数列 且周期为k 6 sn的最值 1 若已知sn 则可依据函数最值的求法计算 其中n n 2 若已知an 则sn取最值时n n n 的值可由或来确定 1 已知数列 an 的通项公式为an 25 2n 下列各数中不是 an 的项的是 a 1 b 1 c 2 d 3 解析 令1 25 2n 得n 12 同理 1和3都是数列中的项 c不是 答案 c 2 观察下列等式 13 23 1 2 2 13 23 33 1 2 3 2 13 23 33 43 1 2 3 4 2 根据上述规律 第四个等式为 解析 第i个等式左边为1到i 1的立方和 右边为1到i 1和的完全平方 所以第四个等式为13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 答案 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 3 设数列 an 的前n项和sn n2 则a8的值为 a 15 b 16 c 49 d 64 解析 a8 s8 s7 64 49 15 答案 a 4 在数列 an 中 an 1 n n 且a7 则a5等于 a b c 1 d 1 解析 由an 1 n n 得an 又a7 所以a6 a5 1 答案 c 题型1归纳数列的通项公式 例1 1 数列1 3 6 10 的一个通项公式是 a n2 n 1 b c n n 1 d 2 若数列的前四项为2 0 2 0 则这个数列的通项公式不可能是 a an 1 1 n 1 b an 1 cosn c an 2sin2 d an 1 1 n 分析 找出数列的通项公式 应注意观察数列中an和n的联系与变化情况 应特别注意 自然数列 正奇数列 正偶数列 1 n和相关数列 等差 等比数列 以及由它们组成的数列 从中找出规律性 并分别写出通项公式 在选择题中 可以用特例法或排除法得到结果 解析 1 令n 1 2 3 4 验证答案 2 当n 1时 d中a1 0不符合题意 答案 1 d 2 d 点评 1 联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法 2 求数列的通项公式 应运用观察 分析 归纳 验证的方法 易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确 以及观察 分析 归纳 验证这四个环节做得不够多 应注意对每一数列认真找出规律并验证 变式训练1 1 设数列 2 则4是这个数列的 a 第9项 b 第10项 c 第11项 d 第12项 2 数列 的一个通项公式是 解析 1 由条件可知an 4 2 数列的奇数项为负数 偶数项为正数 所以借助 1 n来确定符号 易看出各项分母分别为21 22 23 24 25 且每一项的分子比分母少1 所以这个数列的通项公式为 an 1 n 答案 1 c 2 an 1 n 例2 1 2011年丰台二模 已知数列 an 中 a1 an 1 n 2 则a2011等于 a b c d 题型2数列的周期性 2 已知数列2012 2013 1 2012 2013 1 这个数列的特点是从第二项起 每一项都等于它的前后两项的和 则前2013项的和s2013的值为 分析 1 由已知可知a2 a3 a4 a5 所以数列是周期数列 周期为3 2 由题意可知an 1 an 1 an an an 2 an 1 两式相加即可得到an 2 an 1 an 3 an 从而联想到函数的周期性可以得到an 6 an 从而确定出数列 an 的周期性 解析 1 由递推公式得a2 a3 a4 a5 所以数列是周期数列 周期为3 于是a2011 a670 3 1 a1 2 由题意可知an 1 an 1 an an an 2 an 1 两式相加即可得到an 2 an 1 an 3 an可得到an 6 an 即是以6为周期的数列 且a1 a2 a3 a4 a5 a6 0 又 2013 335 6 3 a1 a2 a3 a2013 a1 a2 a3 2012 2013 1 4026 即s2013 4026 答案 1 c 2 4026 点评 观察是数学研究中最基本的方法 而 周期现象 又是数学规律中一个十分重要的规律 数列的周期性与函数的周期性类似 可以借鉴 解题中要总结规律 当遇到递推公式同时所求的项较大 往往就是数列的周期性变化规律 同学们要认真分辨 变式训练2 1 设函数f x 定义如下表 数列 xn 满足x0 5 且对任意n n均有xn 1 f xn 则x2013的值为 a 1 b 2 c 4 d 5 2 已知数列 an 满足an 1 an an 1 n 2 a1 a a2 b 设sn a1 a2 an 则下列结论正确的是 a a100 a s100 2b a b a100 b s100 2b a c a100 b s100 b a d a100 a s100 b a 解析 1 x1 f 5 2 x2 f x1 f 2 1 x3 f x2 f 1 4 x4 f x3 f 4 5 所以x0 x4 可知是以4为周期的数列 所以x2013 x1 2 2 an 1 an an 1 an 1 an 2 an 1 an 2 an 1 an 5 数列是以6为周期的周期数列 a100 a6 16 4 a4 a s6 0 s100 s4 2b a 答案 1 b 2 a 题型3数列的增减性与最值 例3设f n 1 g n lnn n n 设an f n g n 求a1 a2 a3 并证明 an 为递减数列 分析 由通项公式分别求出数列的前几项 根据递减数列的定义证明数列的单调性 注意利用构造函数法来解决问题 对复杂的函数可以利用导数的应用解决其单调性问题 解析 1 an 1 lnn 由此a1 1 a2 ln2 a3 ln3 又an 1 an lnn ln n 1 ln 1 构造函数h x ln 1 x x x 0 1 由h x 1 0 知h x 在 0 1 上为单减函数 从而当x 0时 h x h 0 0 取x 0 1 有h 0即an 1 an 0 故 an 为递减数列 点评 数列的单调性等性质是高考中经常考查的内容 有关数列的最大项 最小项 有界性等问题 都可以借助于数列的单调性来研究 必须牢固掌握这类问题的解决方法 常用方法有作差法 作商法 利用函数的单调性等方法 特别要注意导数的应用与数列单调性的结合问题 变式训练3 1 已知an n n 则数列 an 的最大项是 a 第12项 b 第13项 c 第12项或第13项 d 不存在 2 已知数列 an 的通项公式为an 则 an 为 a 递增数列 b 递减数列 c 从某项后为递减数列 d 从某项后为递增数列 解析 1 由已知得 an 由函数的知识即可知n 12或13时an最大 2 an 1 an 从第11项开始递增 答案 1 c 2 d 例4已知数列 an 的前n项和sn 2n2 2n 数列 bn 的前n项和tn 2 bn 题型4利用an与sn的关系解题 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 设cn bn 证明 当且仅当n 3时 cn 1 cn 分析 由an 可求出an和bn 这是数列中求通项的常用方法之一 在求出an和bn后 进而得到cn 接下来用作差法与作商法来比较大小 这也是一常用方法 解析 1 由于a1 s1 4 当n 2时 an sn sn 1 2n2 2n 2 n 1 2 2 n 1 4n an 4n n n 又当n 2时bn tn tn 1 2 bn 2 bn 1 bn 1 bn 2bn bn 1 又b1 1 数列 bn 是等比数列 其首项为1 公比为 bn n 1 2 由 1 知c1 b1 16 由 1得 1 即n 3 又n 3时0恒成立 因此 当且当仅n 3时 cn 1 cn 点评 已知一个数列的前n项和sn 相当于间接给出了n