第1章 极限与连续.ppt

第1章极限与连续 1 1初等函数1 2函数的极限1 3无穷小量与无穷大量1 4极限的运算1 5两个重要极限1 6函数的连续性复习题1 1 1初等函数 1 1 1常量与变量在观察某种自然现象或进行某项科学实验的过程中 常涉及一些事物的数量变化情况 例如 一物体作匀速直线运动 那么时间与位移的大小都是变量 而速度则为常量 又如 一密闭容器内的气体在加热过程中 需要考虑容器内气体的体积V 分子数n 绝对温度T以及压力P 其中体积V与分子数n两个数量在整个过程中保持不变 而绝对温度T与压力P则不断变化 一般地 我们把在某个过程中保持一定数值的量称为常量 把可以取不同数值的量称为变量 应当注意 一个量究竟是常量还是变量是由该过程的具体条件来确定的 同一个量在这个过程中是常量 而在另一个过程中却有可能是变量 例如速度 在匀速运动中是常量 而在匀加速运动中是变量 1 1 2区间与邻域1 区间一个变量能取得的全部数值的集合 称为这个变量的变化范围或变域 今后我们常遇到的变域是区间 所谓变量x的区间就是介于两实数a与b之间的一切实数 在数轴上就是从a到b的线段 a与b称为区域的端点 当a b时 a称为左端点 b称为右端点 1 闭区间 满足不等式a x b的所有实数x的集合 称为以a b为端点的闭区间 记为 a b 见图1 1 即 a b x a x b 图1 1 2 开区间 满足不等式a x b的所有实数x的集合 称为以a b为端点的开区间 记为 a b 见图1 2 即 a b x a x b 图1 2 3 半开区间 满足不等式a x b 或a x b 的所有实数x的集合 称为以a b为端点的半开区间 记为 a b 或 a b 分别见图1 3和图1 4 即 a b x a x b a b x a x b 图1 3 图1 4 4 a x x a a x x a b x x b b x x b 它们在数轴上表现为长度为无限的半直线 如图1 5所示 全体实数的集合R也记为 x x 图1 5 2 邻域设 是一个正数 对于数轴上一点x0 我们把以x0点为中心 长度为2 的开区间 x0 x0 称为点x0的 邻域 见图1 6 可用不等式 x x0 表示 正数 称为这个邻域的半径 若在点x0的邻域内去掉x0点 其余部分称为点x0的去心邻域 可用不等式0 x x0 表示 图1 6 1 1 3函数概念在讨论函数的概念之前 我们先来看几个实际生活中的例子 例1某会员制商店对会员购物提供优惠 会员可按商品价格的85 购买商品 但每年需交纳会员费300元 问 若某人只在此商店购物 至少需购多少钱的商品 按商品价格计算 才能真正受惠 一年内实际受惠多少钱 解假设按商品价格计算此人一年内购买x元的商品 获得商品优惠 即在商品上少付的钱 0 15x 但因交纳了300元会员费 因此实际获得的优惠y是0 15x 300 按此公式我们可以计算出表1 1 表1 1 例2火车站收取行李费的规定如下 当行李不超过50kg时 按基本运费0 15元 kg收费 当超过50kg时 超重部分按0 25元 kg收费 则运费y与重量x之间的关 系为 0 15x0 x 50 0 15 50 0 25 x 50 x 50 y 例3某气象站用自动温度记录仪记下一昼夜气温 如图1 7所示 由上面例子看到 各例中各有两个变量且两变量之间都有一定的对应关系 这种对应关系 正是函数概念的 实质 图1 7 定义1 1设x和y是某过程中的两个变量 D是一个给定的数集 如果对于D中的每一个数x 变量y按照某种对应法则总有确定的数值和它对应 则称y是x的函数 记为y f x 数集D称为这个函数的定义域 x称为自变量 y称为因变量 因变量y所对应的数值范围称为函数的值域 当x x0 D时 对应的函数值记为f x0 由定义可看出 确定函数有两个要素 定义域和对应法则 函数y f x 中表示对应关系的记号f也可改用其他字母 如函数y x y x y F x 等 例4求下列函数的定义域 解 1 根据对数真数必须为正数 有即1 x2 0 解之 得 1 x 1 所以定义域为 x 1 x 1 或记为 1 1 2 函数是一个分式且分母开平方 所以有sinx 0解之 得2k x 2k k Z 所以定义域D x 2k x 2k k Z 例5下列各对函数是否相同 为什么 1 f x x x p x 1 2 f x x p x 解 1 不相同 因为定义域不同 f x 的定义域为 0 0 而p x 的定义域为 2 不相同 因为对应关系不同 当x 1时 f 1 1 而p 1 1 例6函数y x 的定义域D x x 值域 W x x 0 它的图形如图1 8所示 x 当x 0 x 当x 0 图1 8 例7函数 y sgnx 1 x 0 0 x 0 1 x 0 称为符号函数 它的定义域D 值域W 1 0 1 它的图形如图1 9 所示 图1 9 1 1 4函数的几种特性1 单调性如果函数f x 在区间 a b 内随x的增大而增大 即对于 a b 内的任意两点x1和x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 则称函数f x 在 a b 内是单调增加的 区间 a b 称为函数f x 的单调增加区间 单调增加函数的图像沿横轴正向而上升 如图1 10 所示 图1 10 如果函数f x 在区间 a b 内随x的增大而减小 即对于 a b 内的任意两点x1和x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 则称函数在区间 a b 内是单调减少的 区间 a b 称为单调减少区间 单调减少函数的图像沿横轴正向而下降 如图1 11所示 图1 11 2 奇偶性如果函数f x 的定义域关于原点对称 且对任意x 都有f x f x 则称 f x 为奇函数 如果f x 的定义域关于原点对称 且对任意x 都有f x f x 则称f x 为偶函数 奇函数的图像关于原点对称 如图1 12所示 偶函数的图像关于y轴对称 如图1 13所示 例如 函数f x x2 4是偶函数 函数f x x3是奇函数 图1 12 图1 13 3 周期性对于函数f x 如果存在一个正数l 使得对于定义域内的一切x 有f x l f x 则称f x 为周期函数 周期函数的周期通常是指满足上述条件的最小正数 一个以l为周期的函数 它的图像在定义域内每隔长度为l的相邻区间上 有相同的形状 如图 1 14所示 图1 14 4 有界性对于函数f x 如果存在一个正数M 使得对于定义区间 a b 内的一切x值 对应的函数值均有 f x M 则称f x 在区间 a b 内有界 如果这样的正数不存在 则称f x 在区间 a b 内无界 例如y sinx是有界函数 而函数y x3则是无界函数 1 1 5基本初等函数我们将已学过的幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 它们的定义域 值域 图像和特性如表1 2所示 表1 2 1 1 6复合函数先看一个例子 一个质量为m的质点以速度v作直线运动 其动能为速度的函数 如果又知质点作匀加速运动 则v为时间t的函数v at a为加速度 因而E通过v成为时间t的函数 即 我们把这个函数称为由和v at复合而成的函数 v称为中间变量 定义1 2设有两个函数y f u 及u x 且 x 的值域包含在f u 的定义域内 那么y通过u的作用也是x的函数 我们称y f x 是由y f u 与u x 复合而成的复合函数 其中u x 称为中间变量 例8设f x 2x2 1 g x cosx 求f g x g f x f f x 解设f u 2u2 1 u g x cosx 则将u代到f u 中去 就得到f g x 2cos2x 1 同理可得g f x cos 2x2 1 f f x 2 2x2 1 2 1 8x4 8x2 3 1 1 7初等函数由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次的复合步骤所构成的 并能用一个式子表示的函数叫作初等函数 例9中的两个函数 以及y sin2x y esinx y x2lnx等都是初等函数 1 1 8建立函数关系举例在解决实际问题时 通常要建立问题中的函数关系 然后再进行计算 下面通过一些实例明建立函数关系的过程 例10将直径为d的圆木料锯成截面为矩形的木材 见图1 15 列出矩形截面的两条边长之间的函数关系 图1 15 例11在机械中常用一种曲柄连杆机构 如图1 16所示 当主动轮匀速转动时 连杆AB带动滑块B作往复直线运动 设主动轮半径为r 转动的角速度为 连杆长度为l 求滑块B的运动规律 图1 16 1 2函数的极限 1 2 1数列的极限考察下列数列当n无限增大时的变化趋势 为清楚起见 把三个数列的前几项分别在数轴上表示出来 如图1 17 图1 18和图1 19所示 图1 17 图1 18 图1 19 定义1 3如果当n无限增大时 数列xn无限接近于一个确定的常数a 则称a为数列xn的极限 记为 其中的 读作 趋于 1 2 2函数的极限我们就自变量不同的变化情况给出函数极限的定义 1 当x 时 函数f x 的极限考察函数f x arctanx的图像 如图1 20 从图1 20可以看出 当x无限增大 记为x 时 函数f x arctanx的值越来越接近于常数 2 而当x无限减小 记为x 时 函数的值越来越接近于常数 2 对于函数的这种变化趋势 我们给出下面定义 图1 20 定义1 4对于函数y f x 如果当x无限增大 或减小 时 其函数值y无限接近于一个确定的常数A 则称A为当x 或x 时 f x 的极限 记为也可记为 f x A 当x 时 或f x A 当x 时 考察函数f x 的图像 如图1 21所示 图1 21 定义1 5设函数f x 在区间 内有定义 如果当 x 无限增大时 对应的函数f x 的值无限接近于某一常数A 则称A为函数f x 当x 时的极限 记为 当x 时 根据上述定义可知 当x 时 的极限是0 可记为 定理1 1的充分必要条件是 2 当x x0时 函数f x 的极限考察函数和函数 如图1 22和图1 23所示 当x 2时函数值的变化情况 图1 22 图1 23 定义1 6设函数f x 在x0点的某邻域内有定义 x0可除外 如果当x无限趋近于x0 但x x0 时 函数值f x 无限接近于一个确定的常数A 则称A为函数f x 当x x0时的极限 记为 或f x A 当x x0时 例3讨论下列极限是否存在 解 1 设f x 1 x 当x 0时 f x 无限增大 不趋向于一个确定的常数 因此 不存在 如图1 24所示 2 设f x sin 这个函数在x 0处无定义 其函数值始终在1和 1之间来回摆动 如图1 25所示 当x越来越接近于0时 函数值sin的摆动愈来愈频繁 因此函数值不可能有一个确定的变化趋势 也就是说 不存在 图1 24 图1 25 3 当x x0时 f x 的左极限与右极限上面讨论的极限 是x从x0的左右两侧同时趋近于x0时函数值的变化趋势 但有时我们需要考虑x只从x0的左侧趋近于x0 记为x x 0 或x只从x0的右侧趋近于x0 记为x x 0 时函数值的变化趋势 下面再给出当x x 0或x x 0时函数极限的定义 定义1 7如果当x x 0 或x x 0 时 函数f x 无限接近于一个确定的常数A 则称A为函数f x 当x x0时的左极限 或右极限 记为 左极限和右极限统称为单侧极限 图1 26 1 3无穷小量和无穷大量 1 无穷小定义1 8如果当x x0 或x 时 函数f x 的极限为零 则称函数f x 为x x0 或x 时的无穷小量 简称无穷小 2 无穷小的性质无穷小具有下列基本性质 性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小 性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小 推论常数与无穷小的乘积为无穷小 性质3有限个无穷小的乘积仍为无穷小 3 无穷小的比较由无穷小的性质知 两个无穷小的和 差 积仍为无穷小 现在来讨论两个无穷小量的商 设f x x g x x2 h x 2x2 则当x 0时 这三个函数都是无穷小 而 仍是无穷小 但 及 都不是无穷小 因此 两个无穷小的商不一定是无穷小 我们看到 当x 0时 g x x2比f x x趋于零的速度快 而h x 和g x 趋于零的速度相差不多 为了描述这种现象 我们引入无穷小的阶的概念 定义1 9设当x x0时 和 都是无穷小 若 则称 是关于 的高阶无穷小 记为 o x x0时 若 C为非零常数 则称 和 是同阶无穷小 特别地 若 则称 和 是等价无穷小 记为 x x0时 4 无穷大定义1 10如果当x x0 或x 时 f x 的值无限增大 则称函数f x 当x x0 或x 时为无穷大量 简称无穷大 记为 定理1 3如果函数f x 在自变量的某一过程中为无穷大 则在同一过程中1 f x 为无穷小 反之 在自变量的某一过程中 如果f x 0 为无穷小 则在同一过程中1 f x 为无穷大 1 4极限的运算 1 4 1极限的基本性质下面我们直接给出极限的一些重要性质 定理1 4 函数极限与无穷小的关系定理 的充分必要条件是f x A x 其中 即 x 为x x0时的无穷小 定理1 5 极限的唯一性定理 具有极限的函数 其极限是唯一的 很显然 这个定理是符合极限定义的 定理1 6具有极限的数列是有界的 这个定理的条件是充分的 但不是必要的 即有界数列不一定有极限 例如数列xn 1 n 是一个有界数列 但这个数列没有极限 定理1 7 局部保号性定理 如果 并且A 0 或A 0 则必存在x0的某一邻域0 x x0 当x在该邻域时有f x 0 或f x 0 这个定理的几何解释如图1 27 只要x充分接近x0 就能保证y f x 的图像位于x轴上方 即f x 0 A 0的情形类似 图1 27 1 4 2极限的四则运算如果limf x A lim x B 则lim f x g x limf x lim x A B lim f x g x limf x limg x A B limCf x Climf x CA C为常数 以上每个等式中的 lim 均指x的同一种趋向 x x0 或x 时的极限 例1计算 解由极限运算法则得 一般地有 1 5两个重要极限 计算一个函数的极限 除了可利用极限的定义和运算法则外 还经常要用到这一节讨论的两个重要极限 在给出这两个重要极限之前 先引入判断极限存在的两个重要准则 1 5 1极限存在准则准则1 夹逼准则 设函数f x g x h x 在x0的某邻域 x0可以除外 内满足条件 g x f x h x 且有极限 则有 上述准则 当x 也成立 准则2单调有界数列必有极限 1 5 2两个重要极限1 函数的图像如图1 28所示 从图像上很容易看到 当x 0时 函数无限接近于1 即 图1 28 图1 29 例1计算 例2计算 为非零常数 解 令u x 当x 0时 u 0 所以 即 一般地 若 则 2 先看数列极限 设 现将数列xn的前几项列于表1 3中 表1 3 由表1 3可见 当n逐渐增大时 xn也在逐渐增大 但增大的速度逐渐趋缓 且不超过3 因此 该数列是一个单调有界数列 由准则2知 一定存在极限 记此极限为e 即 究表明 e是一个无理数 仅列出前几项的e 2 71828182845 若把n换成连续变量x 则x取实数值趋向于 或 时 的极限也存在 并且也等于e 即 也可以写为 例6计算 解 一般地 若 则有 1 6函数的连续性 自然界中有许多现象 例如气温的变化 生物的生长等都和时间有关 它们有一个共同的特性 就是当时间的改变量很小时 这些量的改变量也都很小 反映在函数关系上 就是函数的连续性 下面先引入增量 或改变量 的概念 再引入连续性的定义 设变量u从它的一个初值u1变到终值u2 终值与初值的差u2 u1称为变量u的增量 或改变量 记为 u 即 u u2 u1增量 u可以是正的 也可以是负的 在 u为正的情况下 u从u1变到u2是增大的 当 u为负时 变量u是减小的 对函数y f x 当自变量x从x0变到x0 x时 对应的函数有增量 y f x0 x f x0 1 6 1连续函数的概念考察如图1 30 图1 31所示的两个函数的图像 图1 30 图1 31 在图1 30中 曲线y f x 在点x0及其邻域内没有断开 此时 保持x0不变 让 x 0 对应的曲线上的点N M 即 y 0 但对图1 31表示的曲线y f x 显然在x0处断开了 此时 保持x0不变 让 x 0 对应的曲线上点N M 但 y不能趋向于0 定义1 11设函数y f x 在点x0的某邻域内有定义 如果在x0处 当自变量的增量 x趋于零时 对应的函数增量 y也趋于零 即 则称函数y f x 在点x0连续 点x0称为函数f x 的连续点 函数的不连续点也叫间断点 图1 31中的点x0是间断点 定义1 12设函数y f x 在点x0的某一邻域内有定义 如果函数f x 当x x0时极限存在 且等于它在x0点的函数值 即 则称函数y f x 在点x0连续 点x0称为函数的连续点 例1证明函数y sinx在其定义域内连续 证明设x0为其定义域 内任意一点 当x在x0处有增量 x时 对应函数增量为 y sin x0 x sinx0 当 x 0时 而 根据无穷小的性质有 所以y sinx在点x0连续 由点x0的任意性 可知y sinx在其定义域连续 同理可证y cosx在其定义域 内也是连续的 1 6 2函数的间断点分析定义1 12可知函数f x 在点x0连续 必须同时满足以下三个条件 1 函数在点x0有定义 如果这三个条件中至少有一条不满足 则f x 在x0间断 间断点通常分为两大类 设x0是函数f x 的间断点 在x0处左右极限都存在 则x0为f x 的第一类间断点 凡不是第一类间断点的都称为第二类间断点 图1 32 图1 33和图1 34的间断点都是第一类间断点 而图1 35的间断点是第二类间断点 图1 32 图1 33 图1 34 图1 35 例3讨论函数 x 0 x 0 在x 0处的间断点类型 解f x 在x 0处有定义 所以x 0是f x 的第二类间断点 1 6 3初等函数的连续性如果函数f x 在一个区间的每一点处都是连续的 则称f x 在该区间上连续 类似于例1可以逐一证明 基本初等函数在其定义域内都是连续的 其次 两个连续函数经过加 减 乘 除运算后仍然连续 相除时要求分母不为零 此外 可以证明两个连续函数的复合函数仍然是连续函数 例如x2和sinx是连续函数 则它们的复合函数sinx2和sin2x也是连续函数 于是 由初等函数的定义 我们可以得到下面的重要结论 定理1 8如果一个初等函数在某个区间内有定义 则它在该区间内是连续的 由定理1 8得到求极限的一个重要且简单的方法 这就是 若f x 是初等函数 且x0属于f x 的定义区间 则 而 故上式又可写为 这表明 对于连续函数f x 而言 函数符号f与极限符号可以交换 这在求极限时是很有用的 例4求 解因为是初等函数 x 2属于其定义区间 所以 例5求 上述结果可写为ln 1 x x 当x 0时 1 6 4闭区间上连续函数的性质定理1 9 最大值最小值定理 闭区间上连续的函数必能取得最大值和最小值 即若f x 在 a b 上连续 则在 a b 上至少存在一点 1和一点 2 对于 a b 区间上任一点x 均满足 f 1 f x f 2 称f 1 为f x 在 a b 上的最小值 f 2 为f x 在 a b 上的最大值 这一点从图1 36中很容易看出 图1 36 称f 1 为f x 在 a b 上的最小值 f 2 为f x 在 a b 上的最大值 这一点从图1 36中很容易看出 需要说明的是 这个定理的两个条件 1 闭区间 2 连续函数 是必需的 如果这两个条件中有一个条件不满足 此定理就不一定成立 如图1 37和图1 38所示 相应函数均无最大值和最小值 图1 37 图1 38 定理1 10 介值定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 则对于任一