重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第三章第四节 定积分与微积分基本定理(理)指导课件 新人教A版 .pptVIP

第四节定积分与微积分基本定理 理 一 定积分 1 定积分的定义 一般地 设函数y f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b将区间 a b 等分为n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i i 1 2 n 作和式当n 时 上述和式无限接近某个常数 这个常数叫做函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作f x dx 即其中f x 叫做被积函数 区间 a b 叫做积分区间 a叫做积分下限 b叫做积分上限 x叫做积分变量 f x dx叫做被积式 2 定积分的几何意义 定积分f x dx表示由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的曲边梯形的面积 3 定积分的性质 4 思想方法 1 定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的 它的解决过程充分体现了 由直到曲 由有限到无限 的极限的思想方法 2 利用定积分的定义求定积分可以分为四步 分割 近似代替 求和 取极限 二 微积分基本定理 一般地 如果f x 是在区间 a b 上的连续函数 且f x f x 那么f x dx f b f a 这个结论叫做微积分基本定理 又叫做牛顿 莱布尼兹公式 其中f x 叫做f x 的一个原函数 为了方便 我们常把f b f a 记作f x 即f x dx f x f b f a 三 定积分的简单应用 1 求几何图形的面积 2 求变速直线运动中物体的路程 3 求变力所做的功 1 定积分是一个数值 极限值 它只与被积函数以及积分区间有关 而与积分变量无关 f t dt f u du 2 求定积分的方法 1 定义法 此法繁琐 很少使用 2 用微积分基本定理 3 用定积分的几何意义 1 2010年湖南卷 dx等于 a 2ln2b 2ln2c ln2d ln2 解析 dx lnx ln4 ln2 2ln2 ln2 ln2 故选d 答案 d 解析 2x dx x2 lnx a2 lna 1 故有a2 lna 1 3 ln2 即a 2 答案 d 3 已知自由落体的速度为v gt 则落体从t 0到t t0所走过的路程为 答案 c 答案 c 答案 1 5 教材改编题 如图所示的 阴影部分 的面积是 答案 4 用微机分基本定理求定积分 定积分几何意义的应用 解析 如图 所求封闭图形面积为 答案 a 方法技巧 1 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤 画出图形 确定被积函数 确定积分的上 下限 并求出交点坐标 运用微积分基本定理计算定积分 求出平面图形的面积 注意要把定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别开 定积分是一种积分和的极限 可为正 也可为负或零 而平面图形的面积在一般意义上总为正 一般情况下 借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积 然后将它们加在一起 2 在直角坐标系中 由曲线f x 直线x a x b和x轴围成的曲边梯形的面积的求法分以下几种情况 y f x f x 0 x a b x a x b a b 和x轴围成的曲边梯形的面积为s 这时曲线全部在x轴上方 如果在 a b 上 f x 有正有负 即曲线在x轴上方和下方都有图象 例如 在 a c 上位于x轴上方 在 c b 上位于x轴下方 则曲线y f x x a x b a b 和x轴围成的曲边梯形的面积为 定积分在物理中的应用 导数与定积分的综合 一 选择题 1 2010年广东汕头质量测评一 求曲线y x2与y x所围成图形的面积 其中正确的是 解析 将曲线y x2与y x联立 解方程组x 0 x 1 结合图象可知 选项b成立 答案 b 2 2010年辽宁省锦州市模拟 如图 阴影部分的面积是 解析 设阴影部分面积为s 则 答案 c 3 2009年龙岩市普通高中毕业班质量检查 计算s 的结果是 a 4 b 2 c d 解析 表示曲线y 与两坐标轴围成的阴影部分的面积 由图知该面积为 r2 故选c 答案 c 4 2010年山东青岛一模 若则a与b的关系是 a abc a bd a b 0 答案 a 5 2009年广东卷 已知甲 乙两车由同一起点同时出发 并沿同一路线 假定为直线 行驶 甲车 乙车的速度曲线分别为v甲和v乙 如图所示 那么对于图中给定的t0和t1 下列判断中一定正确的是 a 在t1时刻 甲车在乙车前面b t1时刻后 甲车在乙车后面c 在t0时刻 两车的位置相同d t0时刻后 乙车在甲车前面 解析 判断甲 乙两车谁在前 谁在后的问题 实际上是判断在t0 t1时刻 甲 乙两车行驶路程的大小问题 根据定积分的几何意义知 车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分 即速度函数v t 的图象与t轴以及时间段围成区域的面积 从图象知 在t0时刻 v甲的图象与t轴和t 0 t t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t 0 t t0围成区域的面积 因此 在t0时 刻 甲车在乙车的前面 而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度 所以选项c d错误 同样 在t1时刻 v甲的图象与t轴和t 0t t1围成区域的面积仍然大于v乙的图象与t轴和t 0 t t1围成区域的面积 所以 可以断定 在t1时刻 甲车还是在乙车的前面所以选a 答案 a 二 填空题 6 设函数f x ax2 1 若f x dx 2 则a 解析 f x ax2 1 a 3 答案 3 7 2010年汕头模拟 曲线y 与直线x 1 x 4及x轴所围成的区域的面积是 解析 答案 ln4 8 设y sinx cosxsinx dx 则y的最大值是 答案 2 9 定积分 2x x3 dx的值为 解析 因f x 2x x3是奇函数 所以由定积分的几何意义易知 2x