高中数学全程复习方略 2.12 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件 理.ppt

第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 三年31考高考指数 1 了解函数的单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 3 会利用导数解决某些简单的实际问题 1 利用导数判断函数的单调性 求函数的单调区间 求函数的极值 最值 是考查重点 2 含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难点 3 题型有选择题和填空题 难度较小 与方程 不等式等知识点交汇则以解答题为主 难度较大 1 导数与函数单调性的关系 1 函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 在这个区间内 若f x 0 则f x 在这个区间内 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为 单调递增 单调递减 常数函数 2 单调性的应用若函数y f x 在区间 a b 上单调 则y f x 在该区间上不变号 即时应用 1 函数f x 1 x sinx在 0 2 上的单调情况是 2 设f x 是函数f x 的导函数 y f x 的图象如图所示 则y f x 的图象最有可能是 3 若函数y x3 x2 mx 1是r上的单调函数 则实数m的取值范围是 解析 1 在 0 2 上有f x 1 cosx 0 所以f x 在 0 2 上单调递增 2 由导函数图象知 f x 在 0 上为正 在 0 2 上为负 在 2 上为正 所以f x 在 0 上是增函数 在 0 2 上是减函数 在 2 上是增函数 比较 只有 符合 3 函数y x3 x2 mx 1是r上的单调函数 只需y 3x2 2x m 0恒成立 即 4 12m 0 m 答案 1 单调递增 2 3 m 2 函数极值的概念 1 极值点与极值设函数f x 在点x0及附近有定义 且在x0两侧的单调性 或导数值异号 则x0为函数f x 的极值点 f x0 为函数的极值 2 极大值点与极小值点 若先增后减 导数值先正后负 则x0为 点 若先减后增 导数值先负后正 则x0为 点 相反 极大值 极小值 即时应用 1 判断下列结论的正误 请在括号中填 或 导数为零的点一定是极值点 函数f x 在点x0及附近有定义 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 函数f x 在点x0及附近有定义 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 2 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点的个数为 3 函数f x x3 3x2 9x的极值点为 解析 1 导数为零只是函数在该点取极值的必要条件 正确 f x0 为极小值 故错误 2 从f x 的图象可知f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 所以f x 在 a b 内只有一个极小值点 3 由f x 3x2 6x 9 0得x 1或x 3 当x 3时 f x 0 当 3 x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 x 1和x 3都是f x 的极值点 答案 1 2 1 3 1和 3 3 函数极值与最值的求法 1 求可导函数极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 列表 检验f x 在方程f x 0的根左右两侧的符号 判断y f x 在根左右两侧的单调性 确定是否为极值 是极大值还是极小值 2 求函数y f x 在闭区间 a b 上的最值可分两步进行 求y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个为 最小的一个为 极值 最大值 最小值 即时应用 1 思考 最值是否一定是极值 提示 不一定 如果最值在端点处取得就不是极值 2 函数f x 3x 4x3 x 0 1 的最大值是 解析 由f x 3 12x2 0得x f 0 0 f 1 f 1 1 f x max 1 答案 1 3 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处取极值10 则f 2 解析 f x 3x2 2ax b 由题意即得a 4或a 3 但当a 3时 b 3 f x 3x2 6x 3 0 故不存在极值 a 4 b 11 f 2 18 答案 18 4 导数的实际应用导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大 用料最省 效率最高等问题中 解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型 函数关系 再利用导数研究其单调性和最值 解题过程中要时刻注意实际问题的意义 即时应用 1 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 2 将边长为1m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块 其中一块是梯形 记s 则s的最小值是 解析 1 y x2 81 令y 0得x 9或x 9 舍去 当x 9时y 0 当x 9时y 0 故当x 9时函数有极大值 也是最大值 即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件 2 设剪成的小正三角形的边长为x 则 s s x 令s x 0 0 x 1 得x 当x 0 时 s x 0 s x 递减 当x 1 时 s x 0 s x 递增 故当x 时 s取得最小值答案 1 9万件 2 利用导数研究函数的单调性 方法点睛 1 导数在函数单调性方面的应用 1 利用导数判断函数的单调性 2 利用导数求函数的单调区间 3 已知函数单调性 求参数的范围 2 导数法求函数单调区间的一般步骤第一步 求定义域 求函数y f x 的定义域第二步 求根 求方程f x 0在定义域内的根第三步 划分区间 用求得的方程的根划分定义域所在的区间第四步 定号 确定f x 在各个区间内的符号第五步 结论 求得函数在相应区间上的单调性 即得函数y f x 的单调区间 提醒 当f x 不含参数时 也可通过解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 例1 1 2011 山东高考 函数y 2sinx的图象大致是 2 已知f x lnx 设f x f x 2 求f x 的单调区间 若不等式f x 1 f 2x 1 m2 3am 4对任意a 1 1 x 0 1 恒成立 求m的取值范围 解题指南 1 排除法与求导相结合 根据导数与函数单调性的关系判断 2 由题意只需解不等式f x 0和f x 0即可得到单调区间 原不等式恒成立可转化为恒成立 进一步转化为成立 规范解答 1 选c 当x 0时 y 0 排除a 当x 2 时 y 2sinx 0 排除d 由y 2cosx 0 得cosx 在满足上式的x的区间内 y是减函数 由余弦函数的周期性知 函数的增减区间有无数多个 b不正确 c正确 2 f x ln x 2 定义域为 2 1 1 f x 令f x 0 得单调增区间为和令f x 0 得单调减区间为和 不等式f x 1 f 2x 1 m2 3am 4化为 ln x 1 ln 2x 1 m2 3am 4即 3ma 4 m2 现在只需求y x 0 1 的最大值和y 3ma 4 m2 a 1 1 的最小值 因为在 0 1 上单调递减 所以y x 0 1 的最大值为0 而y 3ma 4 m2 a 1 1 是关于a的一次函数 故其最小值只能在a 1或a 1处取得 于是得到 解得0 m 1或 1 m 0 所以m的取值范围是 1 1 互动探究 若本例 2 第 问中条件改为 f x f x 2 kx在定义域内是单调递增函数 则k的取值范围是 解析 由题意f x k 0在 2 上恒成立 k 恒成立 k 0 答案 k 0 反思 感悟 1 求函数的单调区间时 切记定义域优先的原则 一定要注意先求定义域 2 恒成立问题的处理 一般是采用 分离参数 最值转化 的方法 变式备选 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调递增区间 2 是否存在a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 解析 f x ex a 1 若a 0 f x ex a 0恒成立 即f x 在r上递增 若a 0 令ex a 0 得ex a x lna f x 的单调递增区间为 lna 2 方法一 由题意知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上为增函数 当x 0时 ex最大为1 a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 a 1 方法二 由题意知 x 0为f x 的极小值点 f 0 0 即e0 a 0 a 1 验证a 1符合题意 利用导数研究函数的极值 最值 方法点睛 1 应用函数极值应注意的问题 1 注意极大值与极小值的判断 2 已知极值求参数的值 注意f x0 0是可导函数y f x 在x0处取得极值的必要不充分条件 2 数形结合求参数的范围利用导数研究了函数的单调性和极值后 可以画出草图 进行观察分析 确定满足条件的参数范围 例2 2012 韶关模拟 函数f x ax3 a b x2 bx c 其中a 0 b c r 1 若f 0 求函数f x 的单调增区间 2 求证 当0 x 1时 f x max f 0 f 1 注 max a b 表示a b中的最大值 解题指导 1 由f 0找出a b的关系 再通过f x 0得出可能的极值点 列表判断 2 写出f x 的解析式 根据函数f x 在 0 1 上的单调性 结合a b的不同取值范围讨论从而证明问题 解析 1 f x 3ax2 2 a b x b 由f 0 得a b 故f x ax3 2ax2 ax c 由f x a 3x2 4x 1 0 得x1 x2 1 列表 由表可得 函数f x 的单调增区间是 及 1 2 f x 3ax2 2 a b x b 当则f x 在 0 1 上是单调函数 所以f 1 f x f 0 或f 0 f x f 1 且f 0 f 1 a 0 所以 f x max f 0 f 1 当 即 a b 2a 则 f x max f 0 f 1 当所以f 1 所以 f x max f 0 f 1 当时 则 b b 2a 所以 f x max f 0 f 1 综上所述 当0 x 1时 f x max f 0 f 1 反思 感悟 1 求函数的极值时 极易弄混极大值 极小值 2 利用导数研究了单调性和极值 就可以大体知道函数的图象 为数形结合解题提供了方便 变式训练 设函数f x x3 bx2 cx x r 已知g x f x f x 是奇函数 1 求b c的值 2 求g x 的单调区间与极值 解析 1 f x x3 bx2 cx f x 3x2 2bx c 从而g x f x f x x3 bx2 cx 3x2 2bx c x3 b 3 x2 c 2b x c是一个奇函数 所以g 0 0 得c 0 由奇函数的定义得b 3 2 由 1 知g x x3 6x 从而g x 3x2 6 由此可知 和 是函数g x 的单调递增区间 是函数g x 的单调递减区间 g x 在x 时 取得极大值 极大值为 g x 在x 时 取得极小值 极小值为 变式备选 2011 北京高考 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解析 1 f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 的变化情况如下 所以f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上 当k 1时 f x 在区间 0 1 上的最小值为 k 当1 k 2时 f x 在区间 0 1 上的最小值为 ek 1 当k 2时 f x 在区间 0 1 上的最小值为 1 k e 导数在实际问题中的应用 方法点睛 1 导数在实际问题中的应用在求实际问题中的最值时 一般要先恰当的选择变量 建立函数关系式 并确定其定义域 然后利用导数加以解决 注意检验结果与实际是否相符 2 实际问题中的最值根据实际意义 函数存在最值 而函数只有一个极值 则函数的极值就是最值 例3 2011 山东高考 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的容积为立方米 且l 2r 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元 半球形部分每平方米建造费用为c c 3 千元 设该容器的建造费用为y千元 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的r 解题指南 本题为应用题 1 先求出l和r的关系 再根据问题情境列出函数解析式 注意函数的定义域 2 利用导数求函数的最值 先求导 再判断函数的单调性 然后根据单调性求出极值 再由函数的定义域求出最值 规范解答 1 因为容器的容积为立方米 所以解得 由于l 2r 因此0 r 2 所以圆柱的侧面积为两端两个半球的表面积之和为4 r2 所以建造费用y 定义域为 0 2 2 因为y 由于c 3 所以c 2 0 所以令y 0得 令y 0得 0 r 当3 c 即 2时 函数y在 0 2 上是单调递减的 故建造费用最小时r 2 当c 即0 2时 函数y在 0 2 上是先减后增的 故建造费用最小时r 反思 感悟 1 解决实际问题 数学建模是关键 恰当变量的选择 决定了解答过程的繁简 函数模型的确定 决定了能否解决这个问题 2 解决实际问题必须考虑实际意义 忽视定义域是这类题目失分的主要原因 变式训练 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 升 关于行驶速度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 y 已知甲 乙两地相距100千米 1 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解析 1 当x 40时 汽车从甲地到乙地行驶了 2 5小时 要耗油 17 5 升 答 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油17 5升 2 当速度为x千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为h x 升 依题意得h x h x 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是减函数 当x 80 120 时 h x 0 h x 是增函数 当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 答 当汽车以80千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 变式备选 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为3元 并且每件产品需向总公司交a元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润l 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润l最大 并求出l的最大值q a 解析 1 分公司一年的利润l 万元 与售价x的函数关系式为 l x 3 a 12 x 2 x 9 11 2 l 12 x 2 2 x 3 a 12 x 12 x 18 2a 3x 令l 0得x 6 或x 12 不合题意 舍去 在x 6 两侧 由左向右l 的值由正变负 所以 当8 6 9即3 a 时 lmax l 9 9 3 a 12 9 2 9 6 a 当9 6 即 a 5时 lmax 所以q a 即 若3 a 则当每件售价为9元时 分公司一年的利润l最大 最大值q a 9 6 a 万元 若 a 5 则当每件售价为 6 元时 分公司一年的利润l最大 最大值q a 4 3 3 万元 满分指导 函数综合题的规范解答 典例 12分 2011 湖南高考 设函数f x x alnx a r 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个极值点x1和x2 记过点a x1 f x1 b x2 f x2 的直线的斜率为k 问 是否存在a 使得k 2 a 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 解题指南 1 对f x 求导 就a的取值分类讨论 2 假设存在a满足条件 判断条件是否满足 规范解答 1 f x 的定义域为 0 f x 2分令g x x2 ax 1 其判别式 a2 4 当 a 2时 0 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 3分 当a 2时 0 g