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第一章 集合 常用逻辑用语 四种命题与充分条件 必要条件 第3讲 四种命题及其关系 例1 设原命题是 已知a b c d是实数 若a b c d 则a c b d 写出它的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 解析 逆命题 已知a b c d是实数 若a c b d 则a b c d 假命题 否命题 已知a b c d是实数 若a b或c d 则a c b d 假命题 逆否命题 已知a b c d是实数 若a c b d 则a b或c d 真命题 点评 对于命题 要注意大前提以及命题的条件和结论 在写命题的其他形式时 大前提一般不动 只是对条件和结论作相应的改写 变式练习1 已知命题p 若a 0 则方程x2 x a 0有实数根 写出命题p的否命题和逆否命题 并分别判断其真假 解析 否命题 若a 0 则方程x2 x a 0没有实数根 该命题是假命题 逆否命题 若方程x2 x a 0无实数根 则a 0 该命题为真命题 充分 必要条件的判断 例2 在下列四个结论中 正确的是 填上你认为正确的所有答案的序号 x 0 是 x x 0 的必要不充分条件 已知a b r 则 a b a b 的充要条件是ab 0 a 0 且 b2 4ac 0 是 一元二次不等式ax2 bx c 0的解集是r 的充要条件 x 1 是 x2 1 的充分不必要条件 解析 因为由x 0推不出x x 0 如x 1 x x 0 而x x 0 x 0 故 正确 因为a 0时 也有 a b a b 故 错误 正确的应该是 a b a b 的充分不必要条件是ab 0 由二次函数的图象可知 正确 x 1时 有x2 1 故 错误 正确的应该是 x 1 是 x2 1 的必要不充分条件 所以 正确 答案 点评 判断充分条件和必要条件可以从逻辑上判断 也可以从命题的关系上判断 还可以从集合的角度判断 同时 要善于通过举反例说明一个命题不成立 充分条件和必要条件的应用 点评 要理解充分条件和必要条件 能够正确地将充分条件和必要条件转化为集合之间的关系 图形之间的关系 也即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题 2 2 1 命题 若x2 1 则 1 x 1 的逆否命题是 若x 1或x 1 则x2 1 3 命题 若a b 则2a 2b 1 的否命题为 若a b 则2a 2b 1 5 已知集合p x x 1 2 s x x2 a 1 x a 0 若 x p 的充要条件是 x s 求a的值 1 判断一个语句是否为命题 关键要看能否判断其真假 陈述句 反意疑问句都是命题 祈使句 疑问句 感叹句都不是命题 2 在判断四种命题的相互关系时 首先要分清原命题的条件和结论 再写出其它相应命题的条件和结论 而在判断命题真假性时 经常利用判断其逆否命题的真假性判断原命题的真假性 如判断命题 若ab 0 则a 0或b 0 的
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