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2019北师大九年级数学上册期中复习资料第一章 特殊的平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行,四边相等对边平行,四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角; 是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形,且有一组邻边相等；是菱形,且有一个角是直角。对称性既是轴对称图形,又是中心对称图形矩形,菱形和正方形之间的联系如下表所示：例：如图,矩形中,是与的交点,过点的直线与的延长线分别交于（1）求证：；（2）当与满足什么关系时,以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论FDOCBEA8 / 82019北师大九年级数学上册期中复习资料一、知识结构：一元二次方程二、考点精析考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： 难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。例：方程是关于x的一元二次方程,则m的值为 。考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例：关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为 。 考点三、解法1 方法： 直接开方法； 因式分解法； 配方法； 公式法关键点：降次类型一、直接开方法：对于,等形式均适用直接开方法例： 解方程： =0; 类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,方程形式：如, ,典型例题：例1、的根为（ ）A B C D 例2、若,则4x+y的值为 。类型三、配方法在解方程中,多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、 试用配方法说明的值恒大于0。例2、 已知x、y为实数,求代数式的最小值。例3、 分解因式：类型四、公式法条件：2 求根公式： ,例：选择适当方法解下列方程：1 2 考点四、根的判别式根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根,则m的取值范围是( )A. B. C. D.考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程有两个实数根,则m为 ,3 只有一个根,则m为 。 例2、不解方程,判断关于x的方程根的情况。考点六、应用解答题1、 列一元二次方程应用题的一般步骤：【1】审题、【2】设元、【3】列方程、【4】解方程、【5】检验、【6】写答； 2、 若百位数字为a,十位数为b,个位数字为c,则这个三位数为 ；3、 若设共有a人患病,每轮平均一个人传b个人,则一轮后传染了 人,共有 人患病, 第二轮传染了 人,共有 人患病。 4、 变化率：基本关系,其中a是增长（或降低）的基础量,x是平均增长（或降低）率,n是增长（或降低）的次数,b是增长（或降低）后的数量。实际问题与一元二次方程解决有关面积问题应掌握以下面积公式：= 、= 、= 、= 一些不规则图形求面积问题,可以通过 等方法,把不规则图形编程 ,利用规则图形的面积公式列方程求解。若三角形的一边长是该边上高的2倍,且面积是32,则该边长为 考点七、根与系数的关系前提：对于而言,当满足、时,才能用韦达定理。主要内容：应用：整体代入求值。典型例题：例：已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根,则这个直角三角形的斜边是（ ） A. B.3 C.6 D.第三章：概率的进一步认识知识点一、频率与概率的关系在进行试验时,当试验的次数很多时,某个事件发生的频率会稳定在相应的概率附近.可以通过多次试验用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.知识点二、用实物模拟试验估计事件发生的概率在用试验法求某些事件发生的概率时,往往受试验条件的限制,试验很难做或所做的结果误差较大,或者试验次数太多,因而完成即费时又费力.这时,我们可以采用模拟试验的方法来估计事件发生的概率.注意：必须保证利用替代物进行试验时,事件发生的概率与原事件发生的概率相同。即在用实物进行模拟试验时,选取的替代物不能影响试验的结果.知识点三、概率的计算方法1、列表法用列表法进行计算的概率往往是两次操作作为一次试验（例如摸扑克牌两次,扔硬币两次等）,或者在事件中有两个并列条件（例如两个转盘）.2、画树状图当一次试验涉及时两次或两次以上(3个或更多个因素)操作,列表法就不方便了,为了不重复、遗漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法.事件A包含的结果数注意：用树状图和列表的方法求概率时,应该注意各种结果出现的可能性务必相同.所有等可能的结果数3、概率的计算公式:P(A)=例：小婷和小英做游戏,她们在一个盒子里装了标号为1、2、3、4的四个乒乓球,现在小婷从盒子里随机摸出一个乒乓球后,小英再从盒子里剩下的三个乒乓球中随机摸出第二个乒乓球,如果摸出的乒乓球上的数字和为4或5,则小婷获胜,否则小英获胜,你认为这个游戏对她们公平吗？请说明理由.第二章 图形的相似第一节 成比例线段知识点一、两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们的长度之比,即AB:CD=m:n,或写成,其中,线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项。如果把表示成比值k,那么,或者AB=kCD。注意：1、 求两条线段的比的时候两条线段的长度单位要统一,当长度单位不统一时,要先化成同一单位长度；2、两条线段的比是一个没有单位的正实数,与所选线段的单位无关,只要选取相同的长度单位即可。知识点二、成比例线段 对于四条线段a,b,c,d,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段是成比例线段,简称比例线段。注意：1、如果,那么b叫做a和c的比例中项； 2、在比例式a:b=c:d中,d叫做a,b,c的第四比例项； 3、成比例线段是有顺序的,即a,b,c,d是成比例线段,则是a:b=c:d知识点三、比例的性质 1、比例的基本性质：如果,那么ad=bc； 如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0）,那么2、 等比性质：如果,那么方法：（1）使用等比性质,比例的后项之和不能为0,它是对多条成比例线段进行变形的依据；（2） 引入连比的比值k,是解决这类问题的常用方法：如令ab=cd=mn=k,则a=bk,c=dk,m=nk. 3、合比性质：如果,那么第二节 平行线分线段成比例知识点1、平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截,所得到的对应线段成比例.点拨：（1）对应线段是指一条直线被三条平行直线截得的线段与另一条直线被这三条平行直线截得的线段对应.(2)对应线段成比例是指同一直线上所截两条线段的比(部分与部分之比或部分与整体之比)等于另一条直线上所截两条线段的比(部分与部分之比或部分与整体之比).知识点2、平行线分线段成比例定理的推论： 平行于三角形一边的直线与其它两边相交,截得的对应线段成比例.第三节 相似多边形知识点1、各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形, 相似多边形对应边的比叫做相似比。知识点2、相似多边形的性质：对应角相等,对应边成比例； 相似多边形的判定:边数相等；对应角相等；对应边成比例。 判断两个多边形相似,这三个条件缺一不可。第四节 相似三角形的判定知识点1、相似三角形：三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 如图所示：ABC与相似,记做ABC,其中,k为相似比。注意：（1）对应性：两个三角形相似时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的,如：ABC,它们的相似比为k,则；如果写成ABC,它们的相似比为,则,因此（3）传递性：若ABC,则ABC。 二、探索：如何判断两个三角形相似？2019北师大九年级数学上册期中复习资料判定方法1：两角分别相等的两个三角形相似。 即：已知ABC和,若A=A,B=B,则ABC。注意：（1）在两个三角形中,只需找到有两组角分别相等,就可以判定两个三角形相似； （2）这种方法说明我们不用边就可以判定两个三角形相似。 相似三角形常见构图方式： （1）平行线型：若DEBC, 则（2） 相交线型：若AED=B,则 （3）“子母”型：若ACD=B,则判定方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 即：已知ABC和,若,A=A,则ABC。注意：通过此法判定三角形相似类似于判定三角形全等中的“SAS”。判定方法3：三边成比例的两个三角形相似。 即：已知ABC和,若,则ABC。知识点3、黄金分割：如图所示,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,若,那么就称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比。 记忆口诀：大：全=小：大注意：（1）由黄金分割的意义可知：; （2）黄金比 （3）线段AB有两个黄金分割点,其中一个点D靠近A点,有；另一点靠近点B,有,并且AD=BC,AC=BD.第五节 利用相似三角形测高知识点1、利用阳光下的影子测量旗杆的高度：让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端,然后一部分同学测量该同学的影长,另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。原理：太阳是平行光线 ABCD,B=DCE ACB=DEC=90 ACBDEC 结论：同一时刻,知识点2、利用标杆测量旗杆的高度工具：皮尺、标杆步骤：（1）测量出标杆CD的长度,测出观测者眼部以下高度EF； （2）让标杆竖直立于地面,调整观测者EF的位置,当旗杆顶部、标杆顶端、观测者的眼睛三者在同一条直线上,测出观测者距标杆底端的距离FD和距旗杆底部的距离FB； （3）根据,求得AH的长,再加上EF的长即为旗杆AB的高度。依据：如图,过点E作EHAB于点H,交CD于点G CDAB ECG=EAH CEG=AEH ECGEAH EG=FD,EH=FB,CG=CD-GD=CD-EF, 且FD,FB,CD,EF可测 可求AH的长度 AB=AH+HB=AH+EF知识点3、利用镜子的反射杆测量旗杆的高度 工具：皮尺、镜子 步骤：（1）在观测者与旗杆之间放一面镜子,在镜子上做一个标记；（2）测出观测者眼睛到地面的距离；（3）观测者看着镜子来回移动,直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合,此时测出镜子上标记O到人脚底D的距离OD及镜子上的标记O到旗杆底部的距离OB；（4）把测得的数据代入,即可求得旗杆的高度AB。依据：在COD与AOB中 COD=AOB,CDO=ABO=90 CODAOB CD,OD,OB皆可测得 AB可求。第六节 相似三角形的性质知识点1、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例；2、相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比；3、相似三角形的周长比等于相似比；4、相似三角形的面积比等于相似比的平方。注意：1、相似三角形的面积比等于相似比的平方,在计算时平方切记不可忘； 2、性质中的高、中线、角平分线必须是对应边上的,要一一对应； 3、面积比是相似比的平方切记不可与等底或等高的两个三角形面积比等于高或底之比想混淆。提示：以上性质为我们的推理与计算带来了方便,可直接利用其求角、线段、周长、面积等,也可以证明角相等、线段成比例等。知识点2、相似多边形的性质：1、相似多边形的对应角相等,对应边成比例；2、 相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方；3、相似多边形对应对角线的比等于相似比；4、相似多边形被对角线分成的对应三角形相似,其相似比等于相似多边形的相似比。第七节 图形的位似知识点1、位似多边形的概念： 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P所在的直线都经过同一点O,且有OP=kOP（k0）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形,点O叫做位似中心,k就是相似比。例如下图：知识点2、位似多边形的性质：1、位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；2、位似多边形上对应点和位似中心在同一条直线上；3、位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上；4、位似多边形是特殊的相似图形,因此位似图形具有相似图形的一切性质。注意：对某一图形进行放大（或缩小）,使得放大（或缩小）前后的两个图形是位似图形。知识点3、位似多边形的画法： 步骤：（1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点。通常是多边形的顶点； （3）确定相似比； （4）找出新图形的对应关键点； （5）顺次连接各点,得到放大或缩小的图形。知识点4、平面直角坐标系中的位似变换：1、位似多边形对应点的坐标变化规律 在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横纵坐标都乘以同一个数k（k0）,所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它们的相似比是。注意：（1）这是以原点为位似中心的位似变换中图形的变化规律； （2）当位似图形在原点同侧时,其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时,其对应顶点的坐标的比为-k； （3）当k1时,图形扩大为原来的k倍；当0k1时,图形缩小为原来的k。2、位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系与区别 位似