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13 4直接证明与间接证明1 直接证明 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 最后推导出所要证明的结论 这种证明方法叫综合法 框图表示 其中P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示要证的结论 推理论证 成立 2 分析法 定义 从出发 逐步寻求使它成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明方法叫做分析法 框图表示 2 间接证明反证法 假设原命题 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫反证法 要证明的结论 充分条件 得到一个明显成立的条件 不成立 矛盾 基础自测1 分析法是从要证的结论出发 寻求使它成立的 A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 A 2 否定 自然数a b c中恰有一个偶数 时 正确的反设为 A a b c都是奇数B a b c都是偶数C a b c中至少有两个偶数D a b c中至少有两个偶数或都是奇数 D 题型一综合法设a b c 0 证明 本题因为有三项分式 不主张用分析法 综合法证明不等式 要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用 这里可从去分母的角度去运用基本不等式 证明 a b c 0 根据基本不等式 题型分类深度剖析 知能迁移1已知x y z 1 求证 证明 x2 y2 2xy x2 z2 2xz y2 z2 2yz 2x2 2y2 2z2 2xy 2xz 2yz 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 3 x2 y2 z2 x y z 2 1 题型三反证法若x y都是正实数 且x y 2 求证 中至少有一个成立 证明 因为x 0且y 0 所以1 x 2y 且1 y 2x 得2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知条件x y 2相矛盾 当一个命题的结论是以 至多 至少 惟一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是 与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等方面 知能迁移3已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能同时大于 证明假设三式同时大于 a b c 0 1 三式同向相乘得 1 a b 1 b c 1 c a 1 实数a b c满足a b c 0 abc 0 则的值 A 一定是正数B 一定是负数C 可能是0D 正 负不能确定解析 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac 0且a2 b2 c2 0 由abc 0知a b c均不为零 ab bc ac 0 B 练习 2 设x y z R 则a b c三数 A 至少有一个不大于2B 都小于2C 至少有一个不小于2D 都大于2解析假设a b c都小于2 则a b c 6 而事实上 a b c a b c中至少有一个不小于2 C 失误与防范1 利用反证法证明数学问题时 要假设结论错误 并用假设命题进行推理 没有用假设命题推理而推出矛盾结果 其推理过程是错误的 2 用分析