高考数学 专题辅导与训练 4.2《圆锥曲线的概念与性质和存在性问题与曲线中的证明》课件 理 新人教版.ppt

热点考向1圆锥曲线的性质及其应用 例1 已知椭圆c的中心在坐标原点 焦点在x轴上 离心率为椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形的周长等于8 1 求椭圆c的标准方程 2 若过点 0 2 的直线l与椭圆c相交于a b两点 a b不是左右顶点 且以ab为直径的圆过椭圆的右顶点 求直线l的方程 解题指导 1 根据条件确定a c即可 2 利用待定系数法设出l的方程 根据右顶点与a b两点的夹角为直角 建立关于直线斜率的关系式进行求解 规范解答 1 由题意设椭圆的标准方程为 1 a b 0 由已知得4a 8 a 2 c 1 b2 a2 c2 3 椭圆的标准方程为 1 2 当直线l的斜率不存在时 a b分别为椭圆短轴的两个端点 显然以ab为直径的圆不过原点 故可设直线l的方程为y kx 2 由消去y整理得 3 4k2 x2 16kx 4 0 因为直线l与椭圆交于a b两点 故 16k 2 16 3 4k2 0 解得k2 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1 x2 y1y2 kx1 2 kx2 2 k2x1x2 2k x1 x2 4 因为以ab为直径的圆过椭圆的右顶点d 2 0 kadkbd 1 即 y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0 即k2 8k 7 0 解得k 1或k 7 满足k2 当k 1时 直线l过右顶点 2 0 不合题意 所以k 7 故所求直线的方程为y 7x 2 互动探究 本题 2 中 将 以ab为直径的圆过椭圆的右顶点 改为 以ab为直径的圆过原点 怎样求解 解析 当直线l的斜率不存在时 a b分别为椭圆短轴的两个端点 显然以ab为直径的圆不过原点 故可设直线l的方程为y kx 2 由消去y整理得 3 4k2 x2 16kx 4 0 因为直线l与椭圆交于a b两点 故 16k 2 16 3 4k2 0解得k2 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1 x2 y1 y2 kx1 2 kx2 2 k2x1x2 2k x1 x2 4 因为以ab为直径的圆过原点 则 x1x2 y1y2 0 解得k2 故k 满足k2 故满足条件的直线有两条 分别为y x 2和y x 2 1 圆锥曲线中离心率的解题策略椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度 双曲线的开口大小的量 其取值范围分别为01 在求解有关离心率的问题时 一般不是直接求出c和a的值去计算 而是根据题目给出的几何特征 建立关于参数c a b的方程或不等式 通过解方程或不等式求得离心率的值或范围 2 解决求值问题的关键在圆锥曲线的求值问题中 寻找等量关系 建立待求量的方程是解题的关键 本题中求直线的斜率是关键 其中以ab为直径的圆过椭圆的右顶点提供了等量关系 除了建立方程kadkbd 1外 也可以通过 0建立方程求解 如图 f1 f2分别是椭圆 1 a b 0 的左 右焦点 m为椭圆上一点 mf2垂直于x轴 椭圆下顶点和右顶点分别为a b 且om ab 1 求椭圆的离心率 2 过f2作与om垂直的直线交椭圆于点p q 若 求椭圆的方程 解析 1 设f1 c 0 f2 c 0 则m c y a 0 b b a 0 且om ab kom kab 又点m在椭圆上 解得e 2 由 1 得a c b c 椭圆方程为 1 kab 直线pq的方程为y x c 点f1到直线pq的距离d 又由 5x2 8cx 2c2 0 设p x1 y1 q x2 y2 x1 x2 x1x2 pq x1 x2 pq d 椭圆的方程为 热点考向2圆锥曲线中的存在性问题 例2 12分 2011 重庆高考 如图 椭圆的中心为原点o 离心率e 一条准线的方程是x 1 求该椭圆的标准方程 2 设动点p满足 其中m n是椭圆上的点 直线om与on的斜率之积为 问 是否存在两个定点f1 f2 使得 pf1 pf2 为定值 若存在 求f1 f2的坐标 若不存在 说明理由 解题指导 1 由椭圆的离心率及准线的定义可求出a c的值 然后由b 可求出b的值 从而得出椭圆的标准方程 2 直接设出p m n的坐标 根据题目中的条件列出等式求解 规范解答 1 由e 解得a 2 c b2 a2 c2 2 故椭圆的标准方程为 1 4分 2 设p x y m x1 y1 n x2 y2 则由得 x y x1 y1 2 x2 y2 x1 2x2 y1 2y2 即x x1 2x2 y y1 2y2 因为点m n在椭圆x2 2y2 4上 所以x12 2y12 4 x22 2y22 4 6分故x2 2y2 x12 4x22 4x1x2 2 y12 4y22 4y1y2 x12 2y12 4 x22 2y22 4 x1x2 2y1y2 20 4 x1x2 2y1y2 8分 设kom kon分别为直线om on的斜率 由题设条件知kom kon 因此x1x2 2y1y2 0 所以x2 2y2 20 所以p点是椭圆 1上的点 10分该椭圆的焦点为f1 f2 则由椭圆的定义知 pf1 pf2 为定值 又因为c 因此两焦点的坐标为f1 0 f2 0 即存在两个定点f1 f2 使得 pf1 pf2 为定值 其坐标为 0 0 12分 1 存在性问题的常见类型 1 给出问题对象的一些特殊关系 要求探索出一般规律 并能论证所得规律的正确性 通常要求对已知关系进行观察 比较 分析 然后概括出一般规律 2 给出条件 要求根据此条件判定会不会出现某个结论 2 存在性问题的解题策略通常假定题中的数学对象存在 或结论成立 然后在这个前提下进行逻辑推理 若由此导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯定结论 其中反证法在解题中起着重要的作用 或者将该问题涉及的几何问题转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的 已知一条曲线c在y轴右边 c上每一点到点f 1 0 的距离减去它到y轴距离的差都是1 1 求曲线c的方程 2 是否存在正数m 对于过点m m 0 且与曲线c有两个交点a b的任一直线 都有 0 若存在 求出m的取值范围 若不存在 请说明理由 解析 1 设p x y 是曲线c上任意一点 那么p x y 满足 x 1 x 0 化简得y2 4x x 0 2 设经过点m m 0 m 0 的直线l与曲线c的交点为a x1 y1 b x2 y2 设直线l的方程为x ty m 由得y2 4ty 4m 0 16 t2 m 0 于是 又 x1 1 y1 x2 1 y2 0 x1 1 x2 1 y1y2 0 又x 于是不等式 等价于 y1y2 y1 y2 2 2y1y2 1 0 由 式 不等式 等价于m2 6m 1 4t2 对于任意实数t 4t2的最小值为0 所以不等式 对一切t成立等价于m2 6m 1 0即由此可见 存在正数m 对于过点m m 0 且与曲线c有两个交点a b的任一直线 都有 0 且m的取值范围是 热点考向3圆锥曲线中的证明问题 例3 12分 2011 大纲版全国卷 已知o为坐标原点 f为椭圆c 1在y轴正半轴上的焦点 过f且斜率为的直线l与c交于a b两点 点p满足 1 证明 点p在c上 2 设点p关于点o的对称点为q 证明 a p b q四点在同一圆上 解题指导 1 把用坐标表示后求出p点的坐标 然后再结合直线方程把p点的纵坐标也用a b两点的横坐标表示出来 从而求出点p的坐标 代入椭圆方程验证即可证明点p在c上 2 此问题证明有两种思路 关键是证明 apb aqb互补 通过证明这两个角的正切值互补即可 在求正切值时要注意利用到角公式 根据圆的几何性质可得圆心一定在弦的垂直平分线上 所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心n 然后证明n到四个点a b p q的距离相等即可 规范解答 1 由条件得直线方程l为 y x 1 1分由消去y整理得 4x2 2x 1 0 2分设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1x2 3分由得p x1 x2 y1 y2 又 x1 x2 y1 y2 x1 1 x2 1 x1 x2 2 1 故点p的坐标为p 1 5分所以 1 所以点p在c上 6分 2 方法一 tan apb 8分 同理tan aqb 10分所以 apb aqb互补 11分因此a p b q四点在同一圆上 12分 方法二 由p 1 和题设知 q 1 pq的垂直平分线l1的方程为y x 7分设ab的中点为m 则m ab的垂直平分线l2的方程为y 8分由 得l1 l2的交点为n 9分 同理 nq ab x2 x1 am mn na 11分故 np na np nq na nb 所以a p b q四点在同一圆圆n上 12分 1 圆锥曲线中证明题的类型从高考的命题趋势来看 圆锥曲线中的证明问题主要有两类 1 证明位置关系 如证明点共线 线共点 点共圆等 2 证明数量关系 即证明几何量之间存在着一定的数量关系 如证明等式 2 解决圆锥曲线中证明题的策略 1 对于位置性关系的证明题一般有两种方法 一是用代数法解决 即把位置关系的问题转化为数量关系的运算来解决 二是利用几何方法解决 即利用几何图形的性质或平面几何的知识来解决 2 对于数量关系的证明问题 首先应将所证明的量表示为某一参数的代数式 然后通过对该代数式的化简 运算进行证明 本例 2 中的方法一运用的是 对角互补的四边形内接于圆 的方法 方法二运用的是 a p b q四点到同一点的距离相等 来证明 特别是在证明圆锥曲线中的位置关系问题时 一定要注意几何图形的性质的应用 已知抛物线 x2 2py p 0 1 若抛物线上点m m 2 到焦点f的距离为3 求抛物线的方程 2 设过焦点f的动直线l交抛物线于a b两点 连接ao bo并延长分别交抛物线的准线于c d两点 求证 以cd为直径的圆过焦点f 解析 1 由抛物线定义可知 点m m 2 到y 的距离为3 2 3 解得p 2 抛物线的方程为x2 4y 2 直线l的斜率显然存在 设l y kx 由消去y整理得 x2 2pkx p2 0 且 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 2pk x1 x2 p2 a x1 y1 直线oa y 与y 联立可得c 同理得d 焦点f 0 以cd为直径的圆过焦点f 解决轨迹问题的常用方法1 直接法 根据条件直接将所给的关系 翻译 成含有x y的等式得到曲线的轨迹方程 2 定义法 若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义 则可根据定义直接求出动点的轨迹方程 3 几何法 若所求的轨迹满足某些几何性质 则可以用几何法列出几何式 再代入点的坐标求解出曲线的轨迹方程 4 相关点法 如果所求的动点是随着另一动点 称之为相关点 而运动的 则可以用动点的坐标表示相关点的坐标 根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程 求轨迹方程需要注意的几个问题1 熟记常见圆锥曲线的定义及标准方程 解题中要注意定义法 待定系数法的运用 2 求出曲线的轨迹方程后需要验证曲线上是否有不符合条件的点或遗漏的点 对于多余的点要去掉 而对于遗漏的点要补出 3 要正确区分求轨迹方程与求轨迹两个概念的区别 求轨迹时 要在求出轨迹方程的基础上再说明曲线的形状 典例 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为以原点为圆心 椭圆短半轴长为半径的圆与直线y x 2相切 1 求a与b 2 设该椭圆的左 右焦点分别为f1和f2 直线l1过f2且与x轴垂直 动直线l2与y轴垂直 l2交l1于点p 求线段pf1的垂直平分线与l2的交点m的轨迹方程 并指明曲线类型 解题指导 1 由椭圆中基本量的关系建立a b的等量关系 再根据直线与