【优化方案】高中数学 第1章3.2 等比数列的前n项和课件 北师大版必修5.ppt

3 2等比数列的前n项和 学习目标1 理解 错位相减法 求等比数列的前n项和公式 掌握等比数列求和公式 并能应用公式解决有关问题 2 灵活运用等比数列前n项和的性质 进一步理解等比数列的性质 课堂互动讲练 知能优化训练 3 2等比数列的前n项和 课前自主学案 课前自主学案 1 等比数列的前n项和公式 2 等比数列前n项和的性质 1 连续m项的和 如sm s2m sm s3m s2m 仍组成等比数列 注意 这连续m项的和必须非零才能成立 2 an 为公比不为1的等比数列 sn aqn b a b 0 3 sn m sm qmsn q为公比 1 如何从函数的观点看等比数列前n项和与n之间的函数关系 提示 在计算等比数列的前n项和时 总是忘记公比q 1的情形 其突破方法是明确等比数列的前n项和公式的推导过程 再就是注意经验的积累 在推导等比数列 an 的前n项和公式过程中 sn a1 a1q a1qn 1 当等式两边同乘以q后 得qsn a1q a1q2 a1qn 当q 1时 qsn a1q a1q2 a1qn与sn a1 a1q a1qn 1是同一个等式 它们相减后得到0 0 没有什么意义 因此当q 1时 它们相减后得到的等式 1 q sn a1 a1qn才具有意义 当q 1时 等比数列 an 是常数列 则sn na1 因此等比数列的前n项和公式要分类讨论 根据解题经验 在计算等比数列的前n项和时 首先考虑公比等于1的情形 否则易出错 课堂互动讲练 答案 c 误区警示 运用等比数列的前n项和公式时 必须注意公比q是否为1 并且常用到等式两边约分或两式相除的办法进行化简或消元 在解等比数列问题时 要注意合理应用等比数列的性质 与等比数列前n项和有关的性质有 项数相同 对应项的下标差相等 则这些项的和成等比数列 连续m项和 如sm s2m sm s3m s2m 仍组成等比数列 注意此连续m项的和必须非零才成立 an 为等比数列 且q 1 sn aqn a a 0 已知sn是等比数列 an 的前n项和 且s10 5 s20 15 1 求s30 2 s10 s20 s10 s30 s20是否是等比数列 3 求证 sn s2n sn s3n s2n是等比数列 思路点拨 灵活应用等比数列的前n项和公式 紧扣定义解答 2 s10 5 s20 s10 10 s30 s20 20 且 s20 s10 2 s10 s30 s20 s10 s20 s10 s30 s20是等比数列 3 证明 sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 a1 1 q qn 1 s3n s2n a2n 1 a2n 1q a2n 1q2 a2n 1qn 1 a2n 1 1 q qn 1 s2n sn an 1 an 1q an 1q2 an 1qn 1 an 1 1 q qn 1 而a1 an 1 a2n 1是等比数列 sn s2n sn s3n s2n是等比数列 名师点评 在解题时 选择适当方法可以提高解题速度 减少解题时间 本题结论很重要 是等比数列较常用的性质之一 互动探究若将本例条件变为 各项均为正数的等比数列 an 中 s10 10 s30 70 求s40 所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边同乘等比数列的公比 然后错位相减 使其转化为等比数列求和问题 此种方法一般应用于形如数列 anbn 的求和 其中数列 an 是等差数列 数列 bn 是等比数列 2010年高考四川卷 已知等差数列 an 的前3项和为6 前8项和为 4 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n n 求数列 bn 的前n项和sn 思路点拨 由题意列方程组可求出an 将an代入bn可知数列 bn 的各项由两部分组成 一部分是等差数列 另一部分成等比数列 故考虑用错位相减法求和 2 由 1 的解答可得 bn n qn 1 于是sn 1 q0 2 q1 3 q2 n qn 1 若q 1 将上式两边同乘以q 有qsn 1 q1 2 q2 n 1 qn 1 n qn 名师点评 一般地 若数列 an 为等差数列 bn 为等比数列且公比为q q 1 求 an bn 的前n项和时 常用 乘公比 错位减 的方法求和 在写出 sn 与 q sn 时 应特别注意将两式 错项对齐 以便进一步地写出 sn qsn 的表达式 最后求和 特别注意公比是否为1 若不确定 必须对q 1和q 1加以讨论 这种求和的方法在高考中经常考查 且要求较高 1 在等比数列前n项和公式的应用中 注意前n项和公式要分q 1和q 1讨论 采用不同的公式形式 不可忽略q 1的情况 2 等比数列的通项公式和前n项和公式共涉及五个量 a1 q n an sn 其中a1和q为基本量 且五个量 知三可求二 在解决等比数列问题