数学转化的思想方法.pdf

上海 中学数 学 2 0 1 0年 第 1 0期 数 学转化 的思想方法 2 0 0 0 8 1 上 海市北郊高级 中学 曾 盛 数学 转化思 想是 把 问题元 素从 一种 形式 向另一 种 形 式转 化 的能 力 就 解 题 的本 质 而 言 解题既意味着转化 既把生 疏问题转 化为熟 习问题 把抽象问题转化为具 体 问题 把 复杂 问 题转化为 简单 问题 把一 般 问题转 化 为特殊 问 题 把高次 问题转化为底次 问题 把未知 条件转 化 为已知条 件 把 一个综 合 问题转 化 为几个 基 本 问题 把顺 向思 维转化 为逆 向思 维 因此学 生 学会数学转移 有利 于实现学 习迁 移 特别是原 理和态度 的迁 移 从 而可 以较快 地提 高 学 习质 量和数学能力 1 借助 函数进行转化 有些数学问题 本 身并无 明显 的函数关 系 但经仔细分析后 可以找到一个 函数 通过对此 函数的研 究 运用 函数 的有关性质 打通解题 的 思路 例 1 2 0 0 9安徽 卷 理 B 给定两个 长度 为 1的平 面 向 量 和磕 它们 的夹 角为 C 如 图 1 点 C在 以 O 为 圆 心的圆弧 上变动 若 一 O A 图 1 z0 十Y 其 中 z Y R 则 y的最 大值 是 分析 这个题 目虽然是 向量的形式 但 实际 却是考查 函数 的最值 的综合 题 因此此 题 可 以 借 助函数来 进行 转化 此题 借助 三角 函数 从 而利用求 函数最值的思想方法加以求解 解 把 向量形式转化为代 数 中的数 量关系 应用 3 圆系方程的逆用 例 4 已 知 圆 C z 2 y 2 3 a 4 z一 4 a 6 一2 a 一3 0 d R 求圆 C的切线 分析 圆 C的方程中含有常数 a 表明圆 C不 定 则此切线必为 a取任意值时所有圆的公切线 解 把圆 C的方程转 化为 y 4 x一6 y 一 3 口 3 z一4 一2 一0 a R 则 圆 C方程 可 看成过圆A z 2 2 4 x一6 y一3 0与直线 z 3 z 4 一2 一 的交 切 点 的圆系方程 而直线 恰为圆A 的切线 用 r 容 易判断 即直线 z 与圆 C只有一个交点 也就是圆 c 关键 是 如 何 将 Y表 示 出 来 如 果 过 点 C作 C D O B B 交 OA 于点 D 如 图 2 则 z一 1 O Dl l DCI 设 AOC a 0 a 1 2 0 ODC 6 O OC D 一 1 2 0 一 a 在 AODC 由正 弦定理 的 C D D 图 2 l O Dl s i n 1 2 0 一 a 一 万 1 所以3 一I c 一 2 s im z l l 一 2 s in 2 1 2 0 一d 一C O T s i n a 所 以 z C O T 去 sina 3 sim co m J sim 2 sin a 詈 2 2 借 助方程 组 进行转化 方程 组 是数学解题 中的一个极 为重 要的 工具 在解决某些问题 时 可直 接运用方程 的某 些性质 或可先设定一些未知 数 根据题设本 身 各数量之 间 的制 约关 系 列 出 方 程 求 得 未 知 数 所设未知数沟通了变量之 间的关系 使原 问 题转化为熟知的问题 例 2 全国高考题 已知两点 M 1 N 一4 一 给出下列曲线方程 1 4 x 2 y 一 1 0 2 z y 0 3 3 y 一 1 的切线 方程 为 3 一4 一2 0 综 上所 述 圆系方程 的思 想对 学生 而言虽 然有一定 的思维难度 但也 绝非高不 可攀 事实 上 利用好 圆系方程的思想 正可 以弥 补教材上 的某些不足 特别 是解决 不定 圆的 问题 更是 简 洁明了 甚至一语道破 显示 出其独特 的优 势与 魅力 这点对学生是极有 吸引力 的 笔者 的实践 表 明 圆系方 程有效 地帮 助学 生培 养 了学 习 圆 锥 曲线 的兴趣 提高了思维能 力 丰富 了解题 思 路 为学生今后进一步研究 探 索曲线系方程 打 下 了坚实 的基础 上海 中学数 学 2 0 1 0年第 l O期 4 2 一 y 2 1 在曲线上存在 P满足 l MP l l NP l 的所 有 曲线方程是 A 1 3 B 2 4 C 1 2 3 D 2 3 4 分析 从题 意知 点 P在线段 MN 的垂直平 分线上 于是用 转化 的思想 把命 题转化 为 MN 的垂直平分线 方程与 下列 曲线 方程组成 的方程 组是否有实数解 如有实数解 说明在 曲线 上存 在一点 P 满足 l MPl l NP 如没有实数解 即在 曲线上不存在一点 P 解 先求线 段 MN 的垂直 平分线 的方 程 为 2 x 3 0 c 三 0 显 然 方 程 组 无 解 不 存在点 P 2 丰 盂 3 0 方 程 组 有 解 存 在 点 P 3 2x 2 2v y 2 3 一 2 方 程 组 有 解 存 在 点 P 一 1 4 2 方程组有解 存在点 P 1 2 z 3 一O 综 合上述结果 2 3 4 均有 实数解 应 选 D 3 借助辅助命题进行转化 对于某些数学问题 在求解 时 如果缺 乏现 成的依据 不 能 由问题 的条件 简捷地 推 出其结 论 那 么我们 不妨构 建或借 用一 个辅 助命 题作 为依据 只要证明这个辅助命题是 真命题 以它 为依据 就可 以使原问题迎 刃而解 例 3 全 国高 考 题 z Y 是 s i n x s i n y 的 条件 分析 否定形式对判断充分 必 要条件带来 一 定 的难度 原命题 与它 的逆否 命题 是 同时 正 确或 同时错误 此时可 以借 助辅 助命题 来进 行 转化 可 以把一个 否定 形式转 化 成一个 肯定 形 式来处理 解 转化为等价命题 来处 理 s i n x s i n y z Y 由于一个命题 与它 的逆否 命题等价 s i n r s i n y 即 z 是 s i n x s i n y 的 必要不充分条件 4 借助等价变换进行转化 等价变换实质上是把待解决 或难解决 的问 题 通过某 种转化 归结 为 已解 决或 较容 易解 决 的问题 最终求得原 问题的解决 例 4 2 0 1 0年上海 高考题 某 人要作一 个 1 1 三角形 要求它的三条高 的长度分别是 0 1 1 则此人将 J A 不能作 出满足条件的三角形 B 作出一个 锐角三角形 C 作出一个直角三 角形 D 作 出一个钝角三角形 分析 如果给出的是三条边 的关系 学 生很 容易想 到利 用余 弦定理 来判 断三 角形 的形 状 从 而解决此 问题 但 是此 题给 出 的是三 条高 的 关系 很多学生就感 觉无 从下 手 了 事实上 首先 应该想到把高 的关 系等 价转化 为边 的关 系 这 个可以借助三角形 的面积来 实现 因为 2 S n 占 厶 h 一b h b c h 一 k 得 a K b K c f Ln f L b L 所 以 a 一1 3 k b 一1 l 走 c 一5 k 从 而把 条件 中 c 的高的关 系等价 转化 成 了边 的关系 再 利 用余 弦定 理此题 也就迎刃而解 了 评述 本题在已知三条 高的条件下 运用 等 面积原理 将 三角形 中三 条高 的关 系等 价转 化 为三条边 的关 系 从 而把 一个 陌生 的 问题等 价 转化成一个 熟悉 的问题 再利 用熟悉 的方法处 理 问题 这里有一定的技 巧 但也含 有思维 的基 本规律 5 借助 降维 幂 进行转化 在解答 数 学问题 有 时采用 以退为 进 的策 略 如对于空 间的问题 转化 为平 面 的问题 来处 理 对于高次 的问题通 过换 元转 化为 低 次的 问 题来解决 例 5 全 国高考 题 如图 3 在三棱锥 S ABC 中 S在底 面 上 的射 影 N 位 于底 面 的 高 C D 上 M A 是侧棱 S C上 的一点 使截 面 MAB 与底面 所成 角等 于 NS C 求 证 S C垂 直 于 截 面 MAB 图 3 C 分析 由三垂线定理 容易证 明 S C上AB 再 在平 面 S DNC中利 用平 面几何知识 证 明 S C上 DM 证 明 由 已知可 得 S N上 底 面 AB C AB上 CD C D是斜线 S C在底面AB的射影 AB上 S C AB上 S C AB上 C D AB L平 面 S DNC MDC就是截 面 MAB与底面 所成 上海 中学数 学 2 0 1 0年 第 1 0期 一 类高考题 的简解及探究 4 3 2 6 0 0 湖北省安 陆二 中 张正金沈继峰 例 1 2 0 0 9年 山东卷 理科 第 2 2题 设椭 圆 E 一 1 a b 0 过 M 2 2 N 1 两点 0为坐标 原点 1 求椭 圆 E 的 方程 2 是否存在 圆心在原点 的圆 使 得该 圆 的任意一条切线与椭 圆 E恒有 两个交 点 A B 且 上 若存 在 写 出该 圆 的方 程 并 求 l A Bl 的取值范围 若不存在说明理 由 分析 此题是考查 圆锥 曲线 的一道综合 题 标准答案的运算较 复杂 学 生得分率 较低 笔者 尝试用参数方 程 的方 法给 出较 简单 的解 法 并 从一般化的角 度探究 它 的本 质 以便 更好 地掌 握这类圆锥曲线 问题 的解法 探究 1 设椭圆 E 告一l 口 6 o 是 否存 在圆心在原 点 的圆 使得 该 圆的任 意 一条 切线 与椭 圆 E恒有两个交点 A B 且 l I 若存 在 求 出 I ABl 的取值范围 解 假设存在圆 O 3 2 0 y 一R 满足 条件 设 椭 圆 上 两 点 A r l c o s 0 r l s i n 0 B 一 r 2 s i n 0 2 c o s 0 直 线AB 与 圆 0 切 于 C 点 则 f C O S 2 0 s i n 2 0 即 六 十 1 一 1 一t 1 易 求 l 十 一 一 的二 面 角 由 已知 得 MDC一 NS C 又 DC M 一 S C N DC M S C N DMC一 S NC 即 S C上DM 所 以 S C上截面 M AB 评述 立体几何中有些 问题 的证 明 可以转 化为平面几何 证 明来解 决 即考虑 在一 个平 面 上的证 明时运用平面几何知识 6 借助代换进行转化 已知边角 的关 系 求 角 的三角 函数 或判 断 三角形的形状等情况 可 以运用 正 余 弦定理将 三角形的边 与角 的函数进 行代 换转 化 或者运 用变量代换 把复杂的问题简单化 从 而达到解 题 的 目的 r z s i n 0 n1 2 0 原点 0到直线 AB 的距 离 一 一 丽 r l r 2 1 1 所 以 切 点C 的 轨 迹 方 程 为 O z 一 丁 T 口 2 b 2 所 以存在 圆 O X 2 z 一 满 足 条件 AB 一 兰 1 1 蓦 暑 2 其 中 r t r l b 2 a Z 由 上 式 易 知 当 鸶 一 1 时 lA B I 取 最 小 值 妻 r 2 z z 当 凳 一 或 时 fA B f取 最 大 值 蕊 所 以 l A BI 由 探 究 1 的 结 论 可 知 例 1 的 解 为 1