【立体设计】高考数学 第2章 第8节 函数与方程知识研习（福建版）.ppt

1 方程f x 0有实数根 函数y f x 有零点 2 零点判断法 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 函数y f x 的图象与x 轴有交点 函数y f x 在区间 a b 内有零点 f c 0 3 对于在区间 a b 上连续不断 且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在区间 使区间的两个端点逐步 这种得到零点近似值的方法叫做二分法 4 用二分法求零点近似值的步骤 第一步 第二步 第三步 计算f x1 一分 为二 逼近零点 取一个区间 a b 使f a f b 0 取区间 a b 的中点x1 1 若f x1 0 则x1就是函数的零点 2 若f x1 f a 0 则令b x1 此时 零点x0 a x1 3 若f x1 f b 0 则令a x1 此时 零点x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值 否则重复第二 四步 1 函数y x2 2x 3的零点和顶点坐标分别是 答案 1 3 1 4 2 方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内有实根 取区间中点x0 2 5 那么下一个有根区间是 解析 因为f 2 0 故在区间 2 2 5 内有根 答案 2 2 5 3 函数f x 3ax 2a 1在 1 1 上存在一个零点 则a的取值范围是 解析 令f x 0 解得x 1 答案 1 1 二次函数f x ax2 bx c图象的形状 对称轴 顶点坐标 开口方向等是处理二次函数问题的重要依据 2 二次函数 一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体 要深刻理解它们相互之间的关系 能用函数思想来研究方程和不等式 3 对于函数f x a x h 2 k a 0 x p q 的最值问题 最好用图象法 尤其是当 轴变区间定 和 轴定区间变 时 利用图象作参考找出讨论时分类的标准 当 轴定区间也定 时 也可以不利用图象 若h p q 则x h时有最小值k 最大值是f p 与f q 中较大者 若h p q 则f p 与f q 中较小者为最小值 较大者为最大值 即最值在区间的端点处取得 4 对于f x 0在区间 p q 上恒成立问题 等价转换成f x 在 p q 上的最小值问题 若f x 中含有参数 则要求对参数进行讨论 这类问题解决起来往往比较麻烦 5 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数f x 有零点 6 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 即时巩固详解为教师用书独有 考点一求二次函数的解析式的问题 案例1 设二次函数f x 满足f x 2 f x 2 且f x 0的两实数根的平方和为10 图象过点 0 3 求f x 的解析式 关键提示 根据条件可用一般式设出其解析式 再由已知条件确定字母a b c的值 解 设f x ax2 bx c a 0 因为f x 2 f x 2 所以该函数的图象关于直线x 2对称 所以b2 2ac 10a2 由 得a 1 b 4 c 3 故f x x2 4x 3 点评 1 二次函数解析式的一般式在任何题目中都适用 其缺点是字母较多 而其他的形式要有适当的条件才行 2 已知函数图象与x轴交点的坐标 可考虑用坐标式 在解题时 遵循的原则是出现的字母越少越好 即时巩固1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数 关键提示 由已知条件分析解析式的结构 可用几种不同的方法求解 并进行对比 解 方法1 利用一般式 设f x ax2 bx c a 0 方法3 利用坐标式 由已知得f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 考点二二次函数的值域和最值问题 案例2 函数f x x2 4x 4在闭区间 t t 1 t r 上的最小值记为g t 1 试写出g t 的函数表达式 2 作g t 的图象 并写出g t 的最小值 关键提示 要求f x 的最小值 关键是分析其对称轴x 2与区间 t t 1 的位置关系 解 1 f x x2 4x 4 x 2 2 8 当t 2时 f x 在 t t 1 上是增函数 所以g t f t t2 4t 4 当t 2 t 1 即1 t 2时 g t f 2 8 当t 1 2 即t 1时 f x 在 t t 1 上是减函数 所以g t f t 1 t2 2t 7 2 g t 的图象如图所示 由图象易知g t 的最小值为 8 点评 1 对于含有参数的二次函数的值域与最值问题 主要考虑其顶点 对称轴 与定义域区间的位置关系 由此进行分类讨论 2 二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系 定义域区间在对称轴右侧 定义域区间在对称轴左侧 定义域区间在对称轴的两侧 即时巩固2 已知函数f x 4x2 4ax a2 2a 2在区间 0 2 上有最小值3 求实数a的值 考点三二次函数的综合性问题 案例3 已知函数f x mx2 m 3 x 1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧 求实数m的取值范围 关键提示 本题中函数二次项系数为m 但不一定为二次函数 所以先讨论m 0 再讨论m 0 解 若m 0 则f x 3x 1 显然满足要求 若m 0 交点有两种情况 即时巩固3 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1在区间 1 1 内至少存在一个实数c 使f c 0 求实数p的取值范围 解 方法1 由题意可得f 1 0或f 1 0 即2p2 p 1 0或2p2 3p 9 0 考点四零点的判断 案例4 函数f x 在区间 a b 上是减函数 则f x 在区间 a b 内 a 至少有一个零点b 有且仅有一个零点c 至多只有一个零点d 没有零点解析 由图象知 在区间 a b 上 f x 的图象与x轴至多只有一个交点 即f x 在区间 a b 内至多只有一个零点 选c 答案 c 即时巩固4 二次函数f x 满足f a f b 0 a b 则f x 在区间 a b 内 a 没有零点b 有且仅有一个零点c 有两个零点d 零点个数无法确定解析 由零点存在定理结合二次函数的图象可知 f x 在区间 a b 内有且仅有一个零点 选b 答案 b 考点五函数零点个数的判断关键提示 本小题主要考查数学思想中的函数与方程思想 以及对数函数 二次函数 分段函数的概念 同时考查了函数的零点及考生的计算能力 答案 b 所以f x 在 1 1 上是单调递增函数 所以f x 在 1 1 上有且只有一个零点 考点六用二分法求函数零点的近似值 案例6 求方程x2 2x 1的一个近似解 精确度0 1 关键提示 依据二分法求函数的零点近似值 解 设f x x2 2x 1 因为f 2 10 所以在区间 2 3 内 方程x2 2x 1 0有一解 记为x0 取2与3的中间数2 5 因为f 2 5 0 25 0 所以2 x0 2 5 再取2与2 5的中间数2 25 因为f 2 25 0 4375 0 所以2 25 x0 2 5 同理可得 x0 2 375 2 5 x0 2 375 2 4375 2 4375 2 375 0 0625 0 1