【立体设计】高考数学 8.9 曲线与方程知识研习课件 理（通用版）.ppt

1 曲线与方程一般地 在平面直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下关系 1 2 那么这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫方程的曲线 曲线上点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 2 常见的轨迹 1 在平面内 到两定点的距离相等的点的轨迹是 2 平面内到角两边距离相等的点的轨迹是 3 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是 4 平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是 连结两定点的线段的垂直平分线 这个角的平分线 以定点为圆心 定长为半径的圆 与这条直线平行的两条直线 1 方程4x2 y2 4x 2y 0表示的曲线是 a 一个点b 两条互相平行的直线c 两条互相垂直的直线d 两条相交但不垂直的直线解析 由4x2 4x 1 y2 2y 1 0 得 2x 1 2 y 1 2 0 所以 2x y 2x y 2 0 所以2x y 0或2x y 2 0 曲线为两条相交但不垂直的直线 答案 d 2 双曲线经过原点 一个焦点是 4 0 实轴长为2 则双曲线中心的轨迹方程是 a x 2 2 y2 1b x 2 2 y2 9c x 2 2 y2 1或 x 2 2 y2 9d x 2 2 y2 1 x 2 解析 由椭圆的定义 ac af 2a bc bf 因为 ac 13 bc 15 所以13 af 15 bf 所以 af bf 2 所以f点的轨迹是以a b为两焦点的双曲线的下支 答案 a 4 曲线x2 4y2 4关于点m 3 5 对称的曲线方程为 1 用直接法求曲线方程是解析几何中最重要的方法 在求解时 如果题设条件中未给出坐标 要建立适当的坐标系 选择适当坐标系的原则是 避繁就简 一般地 1 若条件中只出现一个定点 常以该点为坐标原点 2 若已知两定点 常以这两定点的中点为原点 以两定点所在的直线为坐标轴 3 若已知两条互相垂直的直线 常以它们为坐标轴建立直角坐标系 4 若已知一定点和一定直线 常以定点到定直线的垂线段的中点为原点 以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系 5 若已知定角 常以定角的顶点为原点 定角的平分线为x轴建立直角坐标系 坐标系建立的不同 同一曲线在不同坐标系中的方程也不同 但它们始终表示同一曲线 2 求轨迹方程的常用方法 1 直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系 即可用求曲线方程的五个步骤直接求解 2 定义法 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可依定义写出轨迹方程 3 代入法 如果动点p x y 依赖于另一个动点q x1 y1 而q x1 y1 又在某已知曲线上 则可先列出关于x y x1 y1的方程组 利用x y表示x1 y1 把x1 y1代入已知曲线方程即得所求 4 参数法 如果动点p x y 的坐标之间的关系不易找到 可考虑将x y用一个或几个参数来表示 消去参数即得其轨迹方程 5 交轨法 写出动点所满足的两个轨迹方程后 组成方程组 消参即可得解 此法常适用于求两动直线交点的轨迹方程 3 求曲线的方程与求轨迹是有不同要求的 若是求轨迹则不仅要求出方程 而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形 在何处 即图形的形状 位置 大小都需要说明 讨论清楚 求 轨迹 时首先要求出 轨迹方程 然后说明方程的轨迹图形 最后 补漏 和 去掉增多 的点 若轨迹有不同的情况 应分别讨论 以保证它的完整性 4 描绘曲线的图形要注意曲线范围的研究及曲线的对称性 或利用基本的曲线图形 考点一曲线与方程的概念 案例1 若曲线l上的点的坐标满足f x y 0 则下列说法正确的是 a 曲线l的方程是f x y 0b 方程f x y 0的曲线是lc 坐标不满足方程f x y 0的点都不在曲线上d 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线上关键提示 考查曲线与方程的对应关系 解析 方法1 上述说法写成命题的形式为 若点m x y 是曲线l上的点 则m点的坐标适合方程f x y 0 其逆否命题为 若点m的坐标不适合方程f x y 0 则m点不在曲线上 所以选c 方法2 本题亦可考虑采用特值法 作直线l y 1 考查l与f x y y2 1 0的关系知a b d三种说法均不正确 选c 答案 c 点评 1 判断曲线与方程的对应关系有两种方法 等价转换和特值讨论 它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性 2 处理 曲线与方程 的概念题 可采用直接法 如上述题解 也可采用特殊值法 即时巩固1 已知定点p x0 y0 不在直线l f x y 0上 则方程f x y f x0 y0 0表示一条 a 过点p且垂直于l的直线b 过点p且平行于l的直线c 不过点p但垂直于l的直线d 不过点p但平行于l的直线解析 显然f x0 y0 f x0 y0 0 故排除c d 又两直线平行 故b正确 答案 b 关键提示 求出椭圆的方程后 对 进行分类讨论 即时巩固2 2009 湖南 在平面直角坐标系xoy中 点p到点f 3 0 的距离的4倍与它到直线x 2的距离的3倍之和记为d 当p点运动时 d恒等于点p的横坐标与18之和 求点p的轨迹c 考点三定义法求曲线方程 轨迹 案例3 已知椭圆的焦点是f1 f2 p是椭圆的一个动点 若m是线段f1p的中点 则动点m的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线的一支d 抛物线关键提示 作出图形 利用曲线方程的定义来求它的轨迹 即时巩固3 如图 已知圆a x 2 2 y2 1与点a 2 0 b 2 0 分别求出满足下列条件的动点p的轨迹方程 1 pab的周长为10 2 圆p与圆a外切 p为动圆圆心 且过点b 考点四代入法求曲线方程 案例4 已知 abc的两顶点a b的坐标分别为a 0 0 b 6 0 顶点c在曲线y x2 3上