大学数学(高数微积分)第三章线性方程组第五节课件(课堂讲义).ppt

主要内容 线性方程组的向量表示形式 线性方程组有解判别定理 第五节 一般线性方程组的解法 线性方程组有解判别定理 线性方程组的求解步骤 在有了向量和矩阵的理论准备之后 我们现在 可以来分析一下线性方程组的问题 给出线性方程 组有解的判别条件 设线性方程组为 一 线性方程组的向量表示形式 引入向量 于是线性方程组 1 可以改写成向量方程 x1 1 x2 2 xn n 3 显然 线性方程组 1 有解的充分必要条件为 向量 可以表示成向量组 1 2 n的线性组 合 用秩的概念 这个条件可以叙述如下 二 线性方程组有解判别定理 定理7线性方程组 1 有解的充分必要条件 为它的系数矩阵 与增广矩阵 有相同的秩 证明 先证必要性 设线性方程组 1 有解 就是说 可以经向量组 1 2 n线性表出 由此立即推出 向量组 1 2 n与 1 2 n 等价 因而有相同的秩 这两个向量组分别 有相同的秩 再证充分性 就 是说 它们的列向量组 1 2 n与 1 2 n 有相同的秩 令它们的秩为r 1 2 n 中的极大线性无关组是由r个向量组成 无妨设 1 2 r是它的一个级大线性无关组 显然 1 2 r也是 1 2 r 的一个级大线 性无关组 因此向量 可以经 1 2 r线性 表出 它当然可以经 1 2 n线性表出 因此 方程组 1 有解 证毕 三 一般线性方程组的解法 根据克拉默法则 可以得到一般线性方程组的 一个解法 这个解法有时在理论上是有用的 等于r 而D是矩阵A的一个不为零的r级子式 起见 不妨设D位于A的左上角 大线性无关组 第r 1 s行都可以经它们线 性表出 因此 方程组 1 与 同解 当r n时 由克拉默法则 方程组 4 有唯一 解 也就是方程组 1 有唯一解 当r n时 将方程组 4 改写为 方程组 5 作为以x1 x2 xr为变量的一个方程 组 它的系数行列式D 0 由克拉默法则 对于 xr 1 xn的任意一组值 方程组 5 也就是方 程组 1 都有唯一解 xr 1 xn就是方程组 1 的一组自由未知量 对 5 用克拉默法则 可以解 出x1 x2 xr 6 就是方程组 1 的一般解 上述一般线性方程组的求解方法 可归纳成以 下步骤 例1解线性方程 解 首先我们来判别方程组是否有解 把方 程组的增广矩阵化为行阶梯形 初等行变换 因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为2 所以方 程组有解 它的一个同解方程组是 把x1 x5取作非自由未知量 x2 x3 x4当作自由未 知量 并把方程组变形成 解之得方程组的一般解为 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束