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24 4弧长和扇形面积 一 知识要点概述 1 弧长公式和扇形面积公式 n 的圆心角所对的弧长l和含n 圆心角的扇形的面积公式不要死记硬背 可依比例关系很快地随手推来 这样就不至于因死记硬背而出错 将弧长公式代入扇形面积公式中 立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式 这一公式与三角形面积公式酷似 为了便于记忆 只要把扇形看成一个曲边三角形 把弧长l看成底 r看成底边上的高即可 2 弓形面积 弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的分解与组合 实际应用时 可根据图形直观选用下列公式 当弓形所含的弧是劣弧时 如图 甲 s弓形 s扇形oab s aob 当弓形所含的弧是优弧时 如图 乙 当弓形所含的弧是半圆时 如图 丙 3 圆锥的基本特征 如图 圆锥的轴通过底面的圆心 并且垂直于底面 圆锥的母线长都相等 经过圆锥的轴的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形 如图 sab就是一个经过圆锥的轴的截面 简称为轴截面 它是一个等腰三角形 底边ab是底面圆的直径 腰是圆锥的母线 高是圆锥的高 它的顶角叫做锥角 锥角的大小反映了圆锥母线对于底面的倾斜程度 4 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是一个扇形 其半径等于圆锥的母线长 弧长等于圆锥底面圆周长 如图 若圆锥的底面半径为r 母线长为l 则它的侧面积 即s侧 rl s全 s侧 s底 rl r2 r l r 注意 扇形的弧长就是底面圆的周长 扇形的半径就是母线长 二 重难点知识归纳 弧长公式 扇形面积公式 圆锥的侧面积和全面积 三 典型例题赏析 例1 如图 abc是正三角形 曲线cdef 叫做正三角形的渐开线 其中 的圆心依次按a b c循环 它们依次相连结 如果ab 1 那么曲线cdef的长是多少 例2 若一个扇形的弧长是12 它的圆心角是120 那么这个扇形的面积是多少 例3 如图 ab是 o的直径 c是 o上一点 且ac 2 cab 30 求图中阴影部分面积 例4 如图 直角梯形abcd中 b 90 ad bc ab 2cm bc 7cm ad 3cm 以bc为轴把直角梯形abcd旋转一周 求所得几何体的表面积 例5 山西省 2005 如图是一纸杯 它的母线ac和ef延长后形成的立体图形是圆锥 该圆锥的侧面展开图形是扇形oab 经测量 纸杯上开口圆的直径为6cm 下底面直径为4cm 母线长ef 8cm 求扇形oab的圆心角及这个纸杯的表面积 面积计算结果用 表示 例6 已知圆
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